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【Python】1.3:ベクトルのスカラー倍の可視化【『スタンフォード線形代数入門』のノート】

はじめに

 『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』の学習ノートです。
 「数式の行間埋め」や「Pythonを使っての再現」によって理解を目指します。本と一緒に読んでください。

 この記事は1.3節「ベクトルスカラー積」の内容です。
 ベクトルの定数倍を可視化します。

【前の内容】

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【他の内容】

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【今回の内容】

ベクトルのスカラー倍の可視化

 ベクトルとスカラーの積(vector-scalar product)をグラフで確認します。

 利用するライブラリを読み込みます。

# 利用ライブラリ
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation


2次元の場合

 まずは、2次元空間(平面)上でベクトルの和を可視化します。

 2次元ベクトルと係数(スカラー値)を指定します。

# ベクトルを指定
a = np.array([4.0, 2.0])

# 係数を指定
beta = 0.75

  \mathbf{a} = (a_1, a_2)^{\top}a \betabetaとして値を指定します。ただし、Pythonでは0からインデックスが割り当てられるので、 a_1の値はa[0]に対応します。

 2次元空間上にベクトル \mathbf{a}を描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1]])) + 1

# (原点からの)2Dベクトルを作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.5), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.annotate(xy=0.5*a, text='a', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルaラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+')', loc='left')
fig.suptitle('a', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

元のベクトル

 ベクトル \mathbf{a}のグラフをaxes.quiver()で描画します。第1・2引数に始点の座標、第3・4引数にベクトルのサイズ(変化量)を指定します。この例では、原点を始点とします。
 配列aの前に*を付けてアンパック(展開)して指定しています。

  \beta \mathbf{a}のベクトルを描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], beta*a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], beta*a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], beta*a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], beta*a[1]])) + 1

# 2Dベクトルのスカラー積を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.5), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
          fc='none', ec='black', lw=1, ls='dashed', label='$a$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *beta*a, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
          color='red', label='$\\beta a$') # ベクトルβa
ax.annotate(xy=0.5*beta*a, text='$\\beta a$', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルβaラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('$a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             '\\beta='+str(beta)+'$', loc='left')
fig.suptitle('$\\beta a$', fontsize=20)
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

定数倍したベクトル

 ベクトル \mathbf{a} \betaの積は、 \beta > 0のときは同じ方向に、 \beta \lt 0のときは反対方向に、 \mathbf{a} |\beta|倍したベクトルになります。ただし、 \beta = 0のとき \beta \mathbf{a}はゼロベクトルになるので、点になります。

 係数の値を変化させたアニメーションを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を設定
frame_num = 51

# ベクトルを指定
a = np.array([4.0, 2.0])

# 係数として利用する値を指定
beta_vals = np.linspace(start=-2.0, stop=2.0, num=frame_num)

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], *beta_vals*a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], *beta_vals*a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], *beta_vals*a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], *beta_vals*a[1]])) + 1

# 作図用のオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.5), facecolor='white')
fig.suptitle('$\\beta a$', fontsize=20)
    
# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目の係数を作成
    beta = beta_vals[i]
    
    # 2Dベクトルのスカラー積を作図
    ax.quiver(0, 0, *a, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
              fc='none', ec='black', lw=1, ls='dashed', label='$a$') # ベクトルa
    ax.quiver(0, 0, *beta*a, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
              color='red', label='$\\beta a$') # ベクトルβa
    ax.annotate(xy=0.5*beta*a, text='$\\beta a$', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルβaラベル
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
    ax.grid()
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_title('$a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
                 '\\beta='+str(beta.round(2))+'$', loc='left')
    ax.legend()
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save('scalarprod_vector_2d.gif')

 作図処理をupdate()として定義して、FuncAnimation()でgif画像を作成します。

2次元空間上のベクトルスカラー積

  \betaの正負によって向きが変わるのを確認できます。

3次元の場合

 続いて、3次元空間上でベクトルのスカラー積を可視化します。

 3次元ベクトルと係数(スカラー値)を指定します。

# ベクトルを指定
a = np.array([4.0, 2.0, 3.0])

# 係数を指定
beta = 0.75

  \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^{\top}aとして値を指定します。

 3次元空間上にベクトル \mathbf{a}を描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2]])) + 1

# (原点からの)3Dベクトルを作図
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={'projection': '3d'}, 
                       figsize=(7, 7), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, 0, *a, arrow_length_ratio=0.05, color='black') # ベクトルa
ax.text(*0.5*a, s='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
ax.quiver([0, a[0]], [0, a[1]], [z_min, z_min], 
          [0, 0], [0, 0], [-z_min, a[2]-z_min], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
ax.set_zlim(z_min, z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+')', loc='left')
fig.suptitle('a', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

元のベクトル

 axes.quiver()の第1・2・3引数に始点の座標、第4・5・6引数にベクトルのサイズを指定します。この例では、原点を始点とします。

  \beta \mathbf{a}のベクトルを描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], beta*a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], beta*a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], beta*a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], beta*a[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], beta*a[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], beta*a[2]])) + 1

# 3Dベクトルのスカラー積を作図
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={'projection': '3d'}, 
                       figsize=(7, 7), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, 0, *a, arrow_length_ratio=0.05, 
          color='black', ls='dashed', label='$a$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *beta*a, arrow_length_ratio=0.1, 
          color='red', label='$\\beta a$') # ベクトルβa
ax.text(*0.5*beta*a, s='$\\beta a$', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルβaラベル
ax.quiver([0, a[0], beta*a[0]], [0, a[1], beta*a[1]], [z_min, z_min, z_min], 
          [0, 0, 0], [0, 0, 0], [-z_min, a[2]-z_min, beta*a[2]-z_min], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
ax.set_zlim(z_min, z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('$a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             '\\beta='+str(beta)+'$', loc='left')
fig.suptitle('$\\beta a$', fontsize=20)
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

定数倍したベクトル

 3次元でも同様なのを確認できます。

 係数の値を変化させたアニメーションを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を設定
frame_num = 51

# ベクトルを指定
a = np.array([4.0, 2.0, 3.0])

# 係数として利用する値を指定
beta_vals = np.linspace(start=-2.0, stop=2.0, num=frame_num)

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], *beta_vals*a[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], *beta_vals*a[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], *beta_vals*a[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], *beta_vals*a[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], *beta_vals*a[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], *beta_vals*a[2]])) + 1

# 作図用のオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={'projection': '3d'}, 
                       figsize=(7, 7), facecolor='white')
fig.suptitle('$\\beta a$', fontsize=20)

# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目の係数を作成
    beta = beta_vals[i]
    
    # 3Dベクトルのスカラー積を作図
    ax.quiver(0, 0, 0, *beta*a, arrow_length_ratio=0.05, 
              color='red', label='$\\beta a$', zorder=-100) # ベクトルβa
    ax.quiver(0, 0, 0, *a, arrow_length_ratio=0.1, 
              color='black', lw=2, ls='dashed', label='$a$', zorder=100) # ベクトルa
    ax.text(*0.5*beta*a, s='$\\beta a$', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルβaラベル
    ax.quiver([0, a[0], beta*a[0]], [0, a[1], beta*a[1]], [z_min, z_min, z_min], 
              [0, 0, 0], [0, 0, 0], [-z_min, a[2]-z_min, beta*a[2]-z_min], 
              color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
    ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
    ax.set_zlim(z_min, z_max)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_zlabel('z')
    ax.set_title('$a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
                 '\\beta='+str(beta.round(2))+'$', loc='left')
    ax.legend()
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save('scalarprod_vector_3d.gif')

3次元空間上のベクトルスカラー積


 この記事では、ベクトルのスカラー倍を可視化しました。次の記事では、ベクトルの線形結合を可視化します。

参考書籍

  • Stephen Boyd・Lieven Vandenberghe(著),玉木 徹(訳)『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』講談社サイエンティク,2021年.

おわりに

 流石にもう少し負荷のあることをしたいです。他と比べてさっぱりした内容になってしまったと思ったのですが、この内容だけでもnotebookからコピペしたら(Pythonコード・LaTeXコマンド込みで)1万文字だったので、まぁこれくらいが構成上丁度いいのかと思います。ちなみに、前回は1.7万文字で次回は1.4万文字でした。

【次の内容】

www.anarchive-beta.com