【R】tanh関数の可視化

はじめに

　R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズのスピンオフです。

　この記事では、tanh関数のグラフを作成します。

【前の内容】

www.anarchive-beta.com

【他の記事一覧】

www.anarchive-beta.com

【この記事の内容】

tanh関数の可視化

　双曲線関数の1つであるtanh関数(双曲線正接関数・ハイパボリックタンジェント関数・hyperbolic tangent function)をグラフで確認します。

　利用するパッケージを読み込みます。

# 利用パッケージ
library(tidyverse)
library(patchwork)
library(gganimate)
library(magick)

　この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2を読み込む必要があります。
　また、ネイティブパイプ演算子|>を使っています。magrittrパッケージのパイプ演算子%>%に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittrも読み込む必要があります。

定義式の確認

　まずは、tanh関数の定義式を確認します。

　tanh関数は、次の式で定義されます。

$$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x} } $$

　$\sinh x$はハイパボリックサイン関数、$\cosh x$はハイパボリックコサイン関数です。また、$e^x$はネイピア数$e$を底とする自然指数関数です。sinh関数については「【R】sinh関数の可視化 - からっぽのしょこ」、cosh関数については「【R】cosh関数の可視化 - からっぽのしょこ」を参照してください。

　tanh関数は、$-1 < \tanh x < 1$の値をとります。深層学習(ニューラルネットワーク)における活性化関数として利用されます。

tanh関数曲線の作図

　次に、tanh関数のグラフを作成します。

　作図用の変数の値を作成します。

# 作図用の変数の値を指定
theta_vec <- seq(from = -5, to = 5, by = 0.01)
head(theta_vec)

## [1] -5.00 -4.99 -4.98 -4.97 -4.96 -4.95

　作図に利用する変数$\theta$の範囲と間隔を指定してtheta_vecとします。

・作図コード(クリックで展開)

　tanh関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# tanh曲線の描画用
tanh_df <- tibble::tibble(
  t = theta_vec, 
  tanh_t = tanh(theta_vec)
)
tanh_df

## # A tibble: 1,001 × 2
##        t tanh_t
##    <dbl>  <dbl>
##  1 -5     -1.00
##  2 -4.99  -1.00
##  3 -4.98  -1.00
##  4 -4.97  -1.00
##  5 -4.96  -1.00
##  6 -4.95  -1.00
##  7 -4.94  -1.00
##  8 -4.93  -1.00
##  9 -4.92  -1.00
## 10 -4.91  -1.00
## # … with 991 more rows

　$\theta$の値と$\tanh \theta$の値をデータフレームに格納します。tanh関数はtanh()で計算できます。(値が丸められて表示されているためtanh_t列の値が-1.00になっています。)

　tanh関数のグラフを作成します。

# tanh関数曲線を作図
ggplot() + 
  geom_line(data = tanh_df, mapping = aes(x = t, y = tanh_t), 
            size = 1) + # tanh曲線
  labs(title = "tanh function", 
       x = expression(theta), y = expression(tanh~theta))

　x軸を$\theta$、y軸を$\tanh \theta$として、geom_line()で折れ線グラフを描画します。

tanh関数のグラフ

　変数$\theta$の値が小さいほど$-1$、大きいほど$1$に漸近するのを確認できます。

双曲線の作図

　続いて、tanh関数の可視化に利用する単位双曲線(unit hyperbola)のグラフを作成します。双曲線については「【R】双曲線の作図 - からっぽのしょこ」を参照してください。

・作図コード(クリックで展開)

　作図に利用するデータフレームを作成します。

# 作図用の変数の値を指定
theta_vec <- seq(from = -2, to = 2, by = 0.002)

# 双曲線の描画用
hyperbola_df <- tibble::tibble(
  t = c(theta_vec, theta_vec), 
  sinh_t = c(sinh(theta_vec), sinh(theta_vec)), 
  cosh_t = c(cosh(theta_vec), -cosh(theta_vec)), 
  sign = rep(c("plus", "minus"), each = length(theta_vec))# 符号
)

# 軸の最大値を設定
axis_max <- hyperbola_df[["cosh_t"]] |> 
  max() |> 
  ceiling()

# 漸近線の描画用
asymptote_df <- tibble::tibble(
  x = seq(from = -axis_max, to = axis_max, length.out = 100) |> 
    rep(times = 2), 
  y = rep(c(1, -1), each = 100) * x, 
  slope = rep(c("plus", "minus"), each = 100) # 符号
)

# 正方形グリッドの描画用
square_df <- tibble::tibble(
  x = c(1, 1, -1, -1, 1), 
  y = c(1, -1, -1, 1, 1)
)

# 軸線の描画用
axis_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(-axis_max, 0), 
  y_from = c(0, -axis_max), 
  x_to = c(axis_max, 0), 
  y_to = c(0, axis_max), 
  axis = c("x", "y")
)

　双曲線と補助線のグラフを作成します。

# 単位双曲線を作図
ggplot() + 
  geom_segment(data = axis_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, group = "axis"), 
               arrow = arrow(length = unit(10, units = "pt"))) + # 軸線
  geom_path(data = square_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), linetype = "dashed") + # 正方形グリッド
  geom_line(data = asymptote_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = slope), linetype = "dashed") + # 漸近線
  geom_path(data = hyperbola_df, 
            mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t, group = sign), 
            size = 1) + # 双曲線
  theme(legend.text.align = 0.5) + # 凡例の体裁:(凡例表示用)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_max, axis_max), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 表示範囲
  labs(title = "unit hyperbola", 
       x = "x", y = "y")

単位双曲線のグラフ

　このグラフ上に双曲線関数を描画します。

双曲線上のtanh関数の可視化

　次は、単位双曲線上における双曲線関数(tanh・sinh・cosh)のグラフを作成します。

グラフの作成

　変数を固定したtanh関数をグラフで確認します。

　変数の値を設定します。

# 変数の値を指定
theta <- 1.5

　変数$\theta$の値を指定します。

・作図コード(クリックで展開)

　曲線上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 曲線上の点の描画用
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  tanh_t = tanh(theta), 
  sinh_t = sinh(theta), 
  cosh_t = cosh(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 4
##       t tanh_t sinh_t cosh_t
##   <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl>
## 1   1.5  0.905   2.13   2.35

　tanh曲線上の点のx軸の値$\theta$とy軸の値$\tanh \theta$、単位双曲線上の点のx軸の値$\cosh \theta$とy軸の値$\sinh \theta$を格納します。

　変数の値(の半分)を面積(塗りつぶし領域)として描画するためのデータフレームを作成します。

# 変数(面積)の描画用
variable_area_df <- tibble::tibble(
  x = seq(from = 0, to = cosh(theta), length.out = 50), 
  sign = dplyr::if_else(theta >= 0, true = 1, false = -1), # 符号
  curve = sign * sqrt(x^2 - 1), # x軸と双曲線上の線分
  straight = sinh(theta)/cosh(theta) * x # 原点と曲線上の点の線分
) |> 
  dplyr::mutate(
    curve = dplyr::if_else(is.na(curve), true = 0, false = curve)
  ) # 双曲線の範囲外を0に置換
variable_area_df

## # A tibble: 50 × 4
##         x  sign curve straight
##     <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl>
##  1 0          1     0   0     
##  2 0.0480     1     0   0.0435
##  3 0.0960     1     0   0.0869
##  4 0.144      1     0   0.130 
##  5 0.192      1     0   0.174 
##  6 0.240      1     0   0.217 
##  7 0.288      1     0   0.261 
##  8 0.336      1     0   0.304 
##  9 0.384      1     0   0.348 
## 10 0.432      1     0   0.391 
## # … with 40 more rows

　「原点と双曲線上の点を結ぶ線分」と「$0 \leq x < 1$の範囲のx軸線($y = 0$の直線)と$1 \leq x \leq \cosh \theta$の範囲の双曲線」の範囲を塗りつぶします。ただし、双曲線について、$\theta > 0$のときは$y > 0$の範囲を塗りつぶすため$y = \sqrt{x^2 - 1}$、$\theta < 0$のときは$y < 0$の範囲を塗りつぶすため$y = - \sqrt{x^2 - 1}$を使います。
　x軸の値として$0$から$\cosh \theta$の範囲の値を作成してx列とします。
　thetaの正負によって符号を変更してsign列としておき、双曲線を計算してcurve列とします。ただし、$0$から$1$の範囲がNaNになるので0に置き換えます。
　原点と点$(\cosh \theta, \sinh \theta)$を結ぶ直線の傾きは$a = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}$です。$y = a x$を計算してstraight列とします。

　双曲線関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)")

# 双曲線関数の描画用
function_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(1, cosh(theta), 0, 0), 
  y_from = c(0, 0, 0, 0), 
  x_to = c(1, cosh(theta), cosh(theta), cosh(theta)), 
  y_to = c(tanh(theta), sinh(theta), 0, sinh(theta)), 
  fnc = c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec) # 色分け用
)
function_df

## # A tibble: 4 × 5
##   x_from y_from  x_to  y_to fnc    
##    <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <fct>  
## 1   1         0  1    0.905 tanh   
## 2   2.35      0  2.35 2.13  sinh   
## 3   0         0  2.35 0     cosh   
## 4   0         0  2.35 2.13  (other)

　関数を区別するためのfnc列の因子レベルをfnc_level_vecとして指定しておきます。因子レベルは、辺(線分)の描画順(重なり順)や色付け順に影響します。

　各線分の始点の座標をx_from, y_from列、終点の座標をx_to, y_to列とします。
　tanh関数は点$(1, \tanh \theta)$からx軸線への垂線、sinh関数は点$(\cosh \theta, \sinh \theta)$からx軸線への垂線、cosh関数は点$(\cosh \theta, \sinh \theta)$からy軸線への垂線に対応します。この例では、関数ごとの対応関係を分かりやすくするために、平行移動した座標を指定しています。
　また、原点と双曲線上の点を結ぶ座標も描画します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 双曲線関数ラベルの描画用
function_label_df <- tibble::tibble(
  x = c(1, cosh(theta), 0.5*cosh(theta)), 
  y = c(0.5*tanh(theta), 0.5*sinh(theta), 0), 
  angle = c(90, 90, 0), 
  v = c(-0.5, 1, 1), 
  fnc = c("tanh", "sinh", "cosh") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色分け用
  fnc_label = c("tanh~theta", "sinh~theta", "cosh~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 3 × 6
##       x     y angle     v fnc   fnc_label 
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <fct> <chr>     
## 1  1    0.453    90  -0.5 tanh  tanh~theta
## 2  2.35 1.06     90   1   sinh  sinh~theta
## 3  1.18 0         0   1   cosh  cosh~theta

　関数を示す線分の中点に関数名を配置します。ギリシャ文字などの記号や数式を表示する場合は、expression()の記法を使います。
　ラベルの表示角度をangle列、上下の表示位置をv列として値を指定します。

　関数の値を表示するための文字列を作成します。

# 変数ラベルの描画用
function_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", theta, 
  ", tanh~theta==", round(tanh(theta), digits = 2), 
  ", sinh~theta==", round(sinh(theta), digits = 2), 
  ", cosh~theta==", round(cosh(theta), digits = 2), 
  ")"
)
function_label

## [1] "list(theta==1.5, tanh~theta==0.91, sinh~theta==2.13, cosh~theta==2.35)"

　等号は==、複数の(数式上の)変数を並べるにはlist(変数1, 変数2)とします。(プログラム上の)変数の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。

　双曲線上に双曲線関数を重ねたグラフを作成します。

# 双曲線関数を作図
ggplot() + 
  geom_segment(data = axis_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, group = "axis"), 
               arrow = arrow(length = unit(10, units = "pt"))) + # 軸線
  geom_line(data = asymptote_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = slope), linetype = "dashed") + # 漸近線
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tanh関数用の補助線
  geom_path(data = hyperbola_df, 
            mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t, group = sign), 
            size = 1) + # 双曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t), 
             size = 4) + # 双曲線上の点
  geom_ribbon(data = variable_area_df, 
              mapping = aes(x = x, ymin = curve, ymax = straight), 
              fill = "#00A968", alpha = 0.5) + # 変数(面積)
  geom_text(mapping = aes(x = 0.5, y = 0.25*tanh(theta), label = "frac(theta, 2)"), parse = TRUE, 
            size = 3) + # 変数ラベル
  geom_segment(data = function_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 双曲線関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, angle = angle, vjust = v), parse = TRUE, 
            show.legend = FALSE) + # 双曲線関数ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_max, axis_max), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 表示範囲
  labs(title = "hyperbolic functions", 
       subtitle = parse(text = function_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

　geom_segment()で線分を描画して、各関数の値を可視化します。
　geom_ribbon()で原点から曲線上の点の範囲を塗りつぶして、変数の値を可視化します。
　geom_label()でラベル(文字列)を描画します。この例では、変数ラベルを$(0.5, 0.25 \tanh \theta)$の位置に配置します。

双曲線におけるtanh関数の値

　tanh関数の値は、「原点$(0, 0)$と双曲線上の点$(\cosh \theta, \sinh \theta)$を結ぶ線分」と「$x = 1$の直線」の交点の高さに対応します。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 101

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2, to = 2, length.out = frame_num) # 範囲を指定
head(theta_i)

## [1] -2.00 -1.96 -1.92 -1.88 -1.84 -1.80

　フレーム数frame_numを指定して、frame_num個の$\theta$の値を作成します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム切替用のラベルとして使う文字列ベクトルを作成します。

# フレーム切替用ラベルのレベルを作成
frame_label_vec <- paste0(
  "θ = ", round(theta_i, digits = 2), 
  ", tanh θ = ", round(tanh(theta_i), digits = 2), 
  ", sinh θ = ", round(sinh(theta_i), digits = 2), 
  ", cosh θ = ", round(cosh(theta_i), digits = 2)
)
head(frame_label_vec)

## [1] "θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63, cosh θ = 3.76"   
## [2] "θ = -1.96, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.48, cosh θ = 3.62"
## [3] "θ = -1.92, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.34, cosh θ = 3.48"
## [4] "θ = -1.88, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.2, cosh θ = 3.35" 
## [5] "θ = -1.84, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.07, cosh θ = 3.23"
## [6] "θ = -1.8, tanh θ = -0.95, sinh θ = -2.94, cosh θ = 3.11"

　この例では、変数と関数の値をグラフに表示するために、フレームごとの値をフレーム切替用のラベル列として使います。
　theta_iの値と対応する関数の値を文字列結合します。

　曲線上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 曲線上の点の描画用
anim_point_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  sinh_t = sinh(theta_i), 
  cosh_t = cosh(theta_i), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_point_df

## # A tibble: 101 × 4
##        t sinh_t cosh_t frame_label                                             
##    <dbl>  <dbl>  <dbl> <fct>                                                   
##  1 -2     -3.63   3.76 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63, cosh θ = 3.76   
##  2 -1.96  -3.48   3.62 θ = -1.96, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.48, cosh θ = 3.62
##  3 -1.92  -3.34   3.48 θ = -1.92, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.34, cosh θ = 3.48
##  4 -1.88  -3.20   3.35 θ = -1.88, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.2, cosh θ = 3.35 
##  5 -1.84  -3.07   3.23 θ = -1.84, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.07, cosh θ = 3.23
##  6 -1.8   -2.94   3.11 θ = -1.8, tanh θ = -0.95, sinh θ = -2.94, cosh θ = 3.11 
##  7 -1.76  -2.82   2.99 θ = -1.76, tanh θ = -0.94, sinh θ = -2.82, cosh θ = 2.99
##  8 -1.72  -2.70   2.88 θ = -1.72, tanh θ = -0.94, sinh θ = -2.7, cosh θ = 2.88 
##  9 -1.68  -2.59   2.78 θ = -1.68, tanh θ = -0.93, sinh θ = -2.59, cosh θ = 2.78
## 10 -1.64  -2.48   2.67 θ = -1.64, tanh θ = -0.93, sinh θ = -2.48, cosh θ = 2.67
## # … with 91 more rows

　変数$\theta$と関数$\sinh \theta, \cosh \theta$の値をフレーム切替用のラベルとあわせて格納します。

　変数の値(の半分)を面積(塗りつぶし領域)として描画するためのデータフレームを作成します。

# 変数(面積)の描画用
anim_variable_area_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
) |> 
  dplyr::group_by(t, frame_label) |> # x軸の値の作成用
  dplyr::summarise(
    x = seq(from = 0, to = cosh(t), length.out = 50), .groups = "drop"
  ) |> # フレームごとにx軸の値を作成
  dplyr::mutate(
    sign = dplyr::if_else(t >= 0, true = 1, false = -1), # 符号
    curve = sign * sqrt(x^2 - 1), # x軸と双曲線上の線分
    curve = dplyr::if_else(is.na(curve), true = 0, false = curve), # 双曲線の範囲外を0に置換
    straight = sinh(t)/cosh(t) * x # 原点と曲線上の点の線分
  )
anim_variable_area_df

## # A tibble: 5,050 × 6
##        t frame_label                                   x  sign curve straight
##    <dbl> <fct>                                     <dbl> <dbl> <dbl>    <dbl>
##  1    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0         -1     0   0     
##  2    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.0768    -1     0  -0.0740
##  3    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.154     -1     0  -0.148 
##  4    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.230     -1     0  -0.222 
##  5    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.307     -1     0  -0.296 
##  6    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.384     -1     0  -0.370 
##  7    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.461     -1     0  -0.444 
##  8    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.537     -1     0  -0.518 
##  9    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.614     -1     0  -0.592 
## 10    -2 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63,… 0.691     -1     0  -0.666 
## # … with 5,040 more rows

　変数の値とフレーム切替用のラベルを格納して、変数の値(フレーム)ごとに(t, frame_label列でグループ化して)、塗りつぶし範囲の曲線と直線(下限と上限)の値を計算します。
　変数の値に応じてx軸の範囲($0 \leq x \leq \cosh \theta$)が変わるので、フレームごとにsummarise()でx列の値を作成して計算に使います。

　変数ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# 変数ラベルの描画用
anim_variable_label_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  x = 0.5, 
  y = 0.25 * tanh(theta_i), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_variable_label_df

## # A tibble: 101 × 4
##        t     x      y frame_label                                             
##    <dbl> <dbl>  <dbl> <fct>                                                   
##  1 -2      0.5 -0.241 θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.63, cosh θ = 3.76   
##  2 -1.96   0.5 -0.240 θ = -1.96, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.48, cosh θ = 3.62
##  3 -1.92   0.5 -0.239 θ = -1.92, tanh θ = -0.96, sinh θ = -3.34, cosh θ = 3.48
##  4 -1.88   0.5 -0.239 θ = -1.88, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.2, cosh θ = 3.35 
##  5 -1.84   0.5 -0.238 θ = -1.84, tanh θ = -0.95, sinh θ = -3.07, cosh θ = 3.23
##  6 -1.8    0.5 -0.237 θ = -1.8, tanh θ = -0.95, sinh θ = -2.94, cosh θ = 3.11 
##  7 -1.76   0.5 -0.236 θ = -1.76, tanh θ = -0.94, sinh θ = -2.82, cosh θ = 2.99
##  8 -1.72   0.5 -0.234 θ = -1.72, tanh θ = -0.94, sinh θ = -2.7, cosh θ = 2.88 
##  9 -1.68   0.5 -0.233 θ = -1.68, tanh θ = -0.93, sinh θ = -2.59, cosh θ = 2.78
## 10 -1.64   0.5 -0.232 θ = -1.64, tanh θ = -0.93, sinh θ = -2.48, cosh θ = 2.67
## # … with 91 more rows

　この例では、$x = 0.5$の位置に変数ラベルを配置します。塗りつぶし範囲のy軸の中点は$\frac{x \tanh \theta}{2}$で計算できます。

　双曲線関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 双曲線関数の描画用
anim_function_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(
    rep(1, times = frame_num), cosh(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num)
  ), 
  y_from = c(
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num)
  ), 
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), cosh(theta_i), 
    cosh(theta_i), cosh(theta_i)
  ), 
  y_to = c(
    tanh(theta_i), sinh(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), sinh(theta_i)
  ), 
  fnc = c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色分け用
  label_flag = c(TRUE, TRUE, TRUE, FALSE) |> 
    rep(each = frame_num), # # 関数ラベル用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 4) |> 
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_df

## # A tibble: 404 × 7
##    x_from y_from  x_to   y_to fnc   label_flag frame_label                    
##     <dbl>  <dbl> <dbl>  <dbl> <fct> <lgl>      <fct>                          
##  1      1      0     1 -0.964 tanh  TRUE       θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh … 
##  2      1      0     1 -0.961 tanh  TRUE       θ = -1.96, tanh θ = -0.96, sin…
##  3      1      0     1 -0.958 tanh  TRUE       θ = -1.92, tanh θ = -0.96, sin…
##  4      1      0     1 -0.954 tanh  TRUE       θ = -1.88, tanh θ = -0.95, sin…
##  5      1      0     1 -0.951 tanh  TRUE       θ = -1.84, tanh θ = -0.95, sin…
##  6      1      0     1 -0.947 tanh  TRUE       θ = -1.8, tanh θ = -0.95, sinh…
##  7      1      0     1 -0.943 tanh  TRUE       θ = -1.76, tanh θ = -0.94, sin…
##  8      1      0     1 -0.938 tanh  TRUE       θ = -1.72, tanh θ = -0.94, sin…
##  9      1      0     1 -0.933 tanh  TRUE       θ = -1.68, tanh θ = -0.93, sin…
## 10      1      0     1 -0.927 tanh  TRUE       θ = -1.64, tanh θ = -0.93, sin…
## # … with 394 more rows

　「グラフの作成」と同様に、frame_num個の座標を格納します。
　関数ラベルを描画する辺(線分)をlabel_flag列に指定しておきます。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 双曲線関数ラベルの描画用
anim_function_label_df <- anim_function_df |> 
  dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする辺を抽出
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    # 線分の中点に配置
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = rep(c(90, 90, 0), each = frame_num), 
    v = rep(c(-0.5, 1, 1), each = frame_num), 
    fnc_label = rep(c("tanh~theta", "sinh~theta", "cosh~theta"), each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 303 × 7
##    fnc   frame_label                           x      y angle     v fnc_label 
##    <fct> <fct>                             <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr>     
##  1 tanh  θ = -2, tanh θ = -0.96, sinh θ =…     1 -0.482    90  -0.5 tanh~theta
##  2 tanh  θ = -1.96, tanh θ = -0.96, sinh …     1 -0.481    90  -0.5 tanh~theta
##  3 tanh  θ = -1.92, tanh θ = -0.96, sinh …     1 -0.479    90  -0.5 tanh~theta
##  4 tanh  θ = -1.88, tanh θ = -0.95, sinh …     1 -0.477    90  -0.5 tanh~theta
##  5 tanh  θ = -1.84, tanh θ = -0.95, sinh …     1 -0.475    90  -0.5 tanh~theta
##  6 tanh  θ = -1.8, tanh θ = -0.95, sinh θ…     1 -0.473    90  -0.5 tanh~theta
##  7 tanh  θ = -1.76, tanh θ = -0.94, sinh …     1 -0.471    90  -0.5 tanh~theta
##  8 tanh  θ = -1.72, tanh θ = -0.94, sinh …     1 -0.469    90  -0.5 tanh~theta
##  9 tanh  θ = -1.68, tanh θ = -0.93, sinh …     1 -0.466    90  -0.5 tanh~theta
## 10 tanh  θ = -1.64, tanh θ = -0.93, sinh …     1 -0.464    90  -0.5 tanh~theta
## # … with 293 more rows

　flag_label列がTRUEの列を取り出して、関数とフレームごとに(fnc, frame_label列でグループ化して)、中点の座標をmedian()で計算します。

　単位双曲線上の双曲線関数のアニメーションを作成します。

# 双曲線関数のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_segment(data = axis_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, group = "axis"), 
               arrow = arrow(length = unit(10, units = "pt"))) + # 軸線
  geom_line(data = asymptote_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = slope), 
            linetype = "dashed") + # 漸近線
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tanh関数用の補助線
  geom_path(data = hyperbola_df, 
            mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t, group = sign), 
            size = 1) + # 双曲線
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t), 
             size = 4) + # 双曲線上の点
  geom_ribbon(data = anim_variable_area_df, 
              mapping = aes(x = x, ymin = curve, ymax = straight), 
              fill = "#00A968", alpha = 0.5) + # 変数(面積)
  geom_text(data = anim_variable_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "frac(theta, 2)", parse = TRUE, 
            size = 3) + # 変数ラベル
  geom_segment(data = anim_function_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 双曲線関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, angle = angle, vjust = v), parse = TRUE, 
            show.legend = FALSE) + # 双曲線関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_max, axis_max), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 表示範囲
  labs(title = "hyperbolic functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 10, width = 600, height = 600)

　gganimateパッケージを利用して、アニメーション(gif画像)を作成します。
　transition_manual()のフレーム制御の引数framesにフレーム(変数)ラベル列frame_labelを指定して、グラフを作成します。
　animate()のplot引数にグラフオブジェクト、nframes引数にフレーム数frame_numを指定して、gif画像を作成します。また、fps引数に1秒当たりのフレーム数を指定できます。

双曲線における変数とtanh関数の値の関係

双曲線上の点とtanh曲線の関係の可視化

　最後は、双曲線上におけるtanh関数の値(直線)と、tanh関数の曲線の関係をグラフで確認します。

グラフの作成

　変数を固定したグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　双曲線上の点とtanh曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# tanh曲線との対応用
l <- 0.5
segment_hyperbola_df <- tibble::tibble(
  x_from = 1, 
  x_to = axis_max+l, 
  y = tanh(theta)
)
segment_hyperbola_df

## # A tibble: 1 × 3
##   x_from  x_to     y
##    <dbl> <dbl> <dbl>
## 1      1   4.5 0.905

　曲線上の点からy軸の反対側への垂線を引くように座標を指定します。

　双曲線のグラフを作成します。

# 変数ラベルの描画用
hyperbola_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", theta, 
  ", cosh~theta==", round(cosh(theta), digits = 2), 
  ", sinh~theta==", round(sinh(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# 双曲線関数を作図
hyperbola_graph <- ggplot() + 
  geom_segment(data = axis_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, group = "axis"), 
               arrow = arrow(length = unit(10, units = "pt"))) + # 軸線
  geom_line(data = asymptote_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = slope), 
            linetype = "dashed") + # 漸近線
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tanh関数用の補助線
  geom_path(data = hyperbola_df, 
            mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t, group = sign), 
            size = 1) + # 双曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t), 
             size = 4) + # 双曲線上の点
  geom_ribbon(data = variable_area_df, 
              mapping = aes(x = x, ymin = curve, ymax = straight), 
              fill = "#00A968", alpha = 0.5) + # 変数(面積)
  geom_text(mapping = aes(x = 0.5, y = 0.25*tanh(theta), label = "frac(theta, 2)"), parse = TRUE, 
            size = 3) + # 変数ラベル
  geom_segment(data = segment_hyperbola_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y, xend = x_to, yend = y), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # tanh曲線との対応線
  geom_segment(data = function_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 双曲線関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, angle = angle, vjust = v), parse = TRUE, 
            show.legend = FALSE) + # 双曲線関数ラベル
  scale_color_manual(breaks = c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)"), 
                     values = c("red", "purple", "blue", "black")) + 
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_max, axis_max), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 表示範囲
  labs(title = "hyperbola", 
       subtitle = parse(text = hyperbola_label), 
       color = "function", 
       x = expression(cosh~theta), y = expression(sinh~theta))
hyperbola_graph

双曲線

　tanh曲線上の点と双曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# 双曲線との対応用
d <- 1.1
l <- 0.6
segment_tanh_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(theta, theta), 
  y_from = c(tanh(theta), tanh(theta)), 
  x_to = c(theta, min(theta_vec)-l), 
  y_to = c(-axis_max*d, tanh(theta))
)
segment_tanh_df

## # A tibble: 2 × 4
##   x_from y_from  x_to   y_to
##    <dbl>  <dbl> <dbl>  <dbl>
## 1    1.5  0.905   1.5 -4.4  
## 2    1.5  0.905  -2.6  0.905

　曲線上の点からx軸とy軸への垂線を引くように座標を指定します。

　tanh関数曲線のグラフを作成します。

# tanh曲線の描画用
tanh_df <- tibble::tibble(
  t = theta_vec, 
  tanh_t = tanh(theta_vec)
)

# 関数ラベルの描画用
tanh_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", theta, 
  ", tanh~theta==", round(tanh(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# tanh関数を作図
tanh_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = tanh_df, 
            mapping = aes(x = t, y = tanh_t), 
            color = "red", size = 1) + # tanh曲線
  geom_segment(data = segment_tanh_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # 双曲線との対応線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = t, y = tanh_t), 
             size = 4) + # tanh曲線上の点
  coord_cartesian(clip = "off", 
                  xlim = c(min(theta_vec), max(theta_vec)), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 
  labs(title = "tanh function", 
       subtitle = parse(text = tanh_label), 
       x = expression(theta), y = expression(tanh~theta))
tanh_graph

tanh関数

　2つのグラフを並べて描画します。

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(hyperbola_graph, tanh_graph, guides = "collect")

　patchworkパッケージのwrap_plots()を使ってグラフを並べます。

双曲線上の点とtanh関数曲線上の点の関係

　$x = 1$における高さがtanh関数の曲線に対応しているのを確認できます。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 101

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2, to = 2, length.out = frame_num) # 範囲を指定
head(theta_i)

## [1] -2.00 -1.96 -1.92 -1.88 -1.84 -1.80

　フレーム数frame_numを指定して、frame_num個の$\theta$の値を作成します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出して作図し、グラフを書き出します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)")

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の描画用
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    tanh_t = tanh(theta), 
    sinh_t = sinh(theta), 
    cosh_t = cosh(theta)
  )
  
  # 変数(面積)の描画用
  variable_area_df <- tibble::tibble(
    x = seq(from = 0, to = cosh(theta), length.out = 50), 
    sign = dplyr::if_else(theta >= 0, true = 1, false = -1), # 符号
    curve = sign * sqrt(x^2 - 1), # x軸と双曲線上の線分
    straight = sinh(theta)/cosh(theta) * x # 原点と曲線上の点の線分
  ) |> 
  dplyr::mutate(
    curve = dplyr::if_else(is.na(curve), true = 0, false = curve)
  ) # 双曲線の範囲外を0に置換
  
  # 双曲線関数の描画用
  function_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(1, cosh(theta), 0, 0), 
    y_from = c(0, 0, 0, 0), 
    x_to = c(1, cosh(theta), cosh(theta), cosh(theta)), 
    y_to = c(tanh(theta), sinh(theta), 0, sinh(theta)), 
    fnc = c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec) # 色分け用
  )
  
  # 双曲線関数ラベルの描画用
  function_label_df <- tibble::tibble(
    x = c(1, cosh(theta), 0.5*cosh(theta)), 
    y = c(0.5*tanh(theta), 0.5*sinh(theta), 0), 
    angle = c(90, 90, 0), 
    v = c(-0.5, 1, 1), 
    fnc = c("tanh", "sinh", "cosh") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色分け用
    fnc_label = c("tanh~theta", "sinh~theta", "cosh~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # tanh曲線との対応用
  l <- 0.5
  segment_hyperbola_df <- tibble::tibble(
    x_from = 1, 
    x_to = axis_max+l, 
    y = tanh(theta)
  )
  
  # 変数ラベルの描画用
  hyperbola_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", theta, 
    ", cosh~theta==", round(cosh(theta), digits = 2), 
    ", sinh~theta==", round(sinh(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 双曲線関数を作図
  hyperbola_graph <- ggplot() + 
    geom_segment(data = axis_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, group = "axis"), 
               arrow = arrow(length = unit(10, units = "pt"))) + # 軸線
    geom_line(data = asymptote_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, group = slope), linetype = "dashed") + # 漸近線
    geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tanh関数用の補助線
    geom_path(data = hyperbola_df, 
              mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t, group = sign), 
              size = 1) + # 双曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cosh_t, y = sinh_t), 
               size = 4) + # 双曲線上の点
    geom_ribbon(data = variable_area_df, 
                mapping = aes(x = x, ymin = curve, ymax = straight), 
                fill = "#00A968", alpha = 0.5) + # 変数(面積)
    geom_text(mapping = aes(x = 0.5, y = 0.25*tanh(theta), label = "frac(theta, 2)"), parse = TRUE, 
              size = 3) + # 変数ラベル
    geom_segment(data = segment_hyperbola_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 linetype = "dotted") + # tanh曲線との対応線
    geom_segment(data = function_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
                 size = 1) + # 双曲線関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, angle = angle, vjust = v), parse = TRUE, 
              show.legend = FALSE) + # 双曲線関数ラベル
    scale_color_manual(breaks = c("tanh", "sinh", "cosh", "(other)"), 
                       values = c("red", "purple", "blue", "black")) + 
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_max, axis_max), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 表示範囲
    labs(title = "hyperbola", 
         subtitle = parse(text = hyperbola_label), 
         color = "function", 
         x = expression(cosh~theta), y = expression(sinh~theta))
  
  # tanh曲線の描画用
  tanh_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    tanh_t = tanh(theta_vec)
  )
  
  # 双曲線との対応用
  d <- 1.1
  l <- 0.6
  segment_tanh_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(theta, theta), 
    y_from = c(tanh(theta), tanh(theta)), 
    x_to = c(theta, min(theta_vec)-l), 
    y_to = c(-axis_max*d, tanh(theta))
  )
  
  # 関数ラベルの描画用
  tanh_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", theta, 
    ", tanh~theta==", round(tanh(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # tanh関数を作図
  tanh_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = tanh_df, 
              mapping = aes(x = t, y = tanh_t), 
              color = "red", size = 1) + # tanh曲線
    geom_segment(data = segment_tanh_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to), 
                 linetype = "dotted") + # 双曲線との対応線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = tanh_t), 
               size = 4) + # tanh曲線上の点
    coord_cartesian(clip = "off", 
                    xlim = c(min(theta_vec), max(theta_vec)), ylim = c(-axis_max, axis_max)) + # 
    labs(title = "tanh function", 
         subtitle = parse(text = tanh_label), 
         x = expression(theta), y = expression(tanh~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(hyperbola_graph, tanh_graph, guides = "collect")
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") 
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1200, height = 600, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　変数の値ごとに「グラフの作成」と同様に処理します。作成したグラフをggsave()で保存します。

　tanh関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "tanh.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出

　全てのファイルパスを作成して、image_read()で画像ファイルを読み込んで、image_animate()でgif画像に変換して、image_write_gif()でgifファイルを書き出します。delay引数に1秒当たりのフレーム数の逆数を指定します。

双曲線上の点とtanh関数曲線上の点の関係

　-1から1の範囲で推移するのを確認できます。

　この記事では、tanh関数を可視化しました。次の記事では、csch関数を可視化します。

おわりに

　深層学習の活性化関数として登場したtanh関数ってこう定義されてたんですね。面白かった。さて他の関数もやろうかどうか。

　投稿日前日に公開されたこの曲を絶対に聴きましょう。

　元モーニング娘。のまーちゃんこと佐藤優樹さんのソロデビュー1曲目のMVです！
　遂にというか何と言うか、ソロ活動を目にする日が来ようとは。語彙なんていらねぇとっても楽しみ♬

【次の内容】

www.anarchive-beta.com