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多次元ガウス分布の定義式

はじめに

 機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。

 この記事では、多次元ガウス分布(多変量正規分布)の定義式を確認します。

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【この記事の内容】

多次元ガウス分布の定義式

 多次元ガウス分布(Multivariate Gaussian Distribution)・多変量正規分布(Multivariate Normal Distribution)の定義を確認します。

定義式

 多次元ガウス分布は、1次元ガウス分布を多次元に拡張(一般化)した分布です。2種類のパラメータによる定義式を確認します。1次元ガウス分布については「1次元ガウス分布の定義式の確認 - からっぽのしょこ」を参照してください。

 ガウス分布は、パラメータ$\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}$を用いて、次の式で定義されます。

$$ \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} \tag{1} $$

 または、$\boldsymbol{\Lambda}$を用いて、次の式でも定義されます。

$$ \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Lambda}^{-1}) = \left\{ \frac{|\boldsymbol{\Lambda}|}{(2 \pi)^D} \right\}^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Lambda} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} \tag{2} $$

 ここで、$D$は次元数、$\boldsymbol{\mu}$は平均ベクトル、$\boldsymbol{\Sigma}$は分散共分散行列、$\boldsymbol{\Lambda}$は精度行列、$\pi$は円周率です。また、$\mathbf{A}^{\top}$は行列$\mathbf{A}$の転置行列、$\mathbf{A}^{-1}$は逆行列、$|\mathbf{A}|$は行列式、ネイピア数$e$による指数関数$e^x = \exp(x)$、平方根$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$です。
 $\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu}$は$D$次元ベクトル、$\boldsymbol{\Sigma}$は$D \times D$の行列です。

$$ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_D \end{pmatrix} ,\ \boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_D \end{pmatrix} ,\ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{1,2} & \cdots & \sigma_{1,D} \\ \sigma_{2,1} & \sigma_2^2 & \cdots & \sigma_{2,D} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{D,1} & \sigma_{D,2} & \cdots & \sigma_D^2 \end{pmatrix} $$

 $\sigma_d$は$x_d$の標準偏差、$\sigma_d^2 = \sigma_{d,d}$は$x_d$の分散、$\sigma_{i,j}$は$x_i$と$x_j$の共分散です。
 $x_d$は実数をとり、$\mu_d$は実数、$\sigma, \sigma_d^2$は正の実数、$\sigma_{i,j}\ (i \neq j)$は実数、また$\boldsymbol{\Sigma}$は正定値行列を満たす必要があります。
 精度行列は、分散共分散行列の逆行列で定義されます。

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\Lambda} &= \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \\ \boldsymbol{\Sigma} &= \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \end{aligned} $$

 精度行列も正定値行列を満たします。

 ガウス分布の対数をとると、それぞれ次の式になります。

$$ \begin{aligned} \log \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) &= - \frac{1}{2} \Bigl\{ D \log(2 \pi) + \log |\boldsymbol{\Sigma}| + (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \Bigr\} \\ \log \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Lambda}^{-1}) &= - \frac{1}{2} \Bigl\{ D \log (2 \pi) - \log |\boldsymbol{\Lambda}| + (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Lambda} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \Bigr\} \end{aligned} $$

 対数の性質より$\log x^a = a \log x$、$\log (x y) = \log x + \log y$、$\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$です。

定義式の関係

 2つの定義式と1次元の定義式の対応関係を導出します。1次元ガウス分布については「1次元ガウス分布の定義式の確認 - からっぽのしょこ」を参照してください。

分散共分散行列による式と精度行列による式の変換

 まずは、$\boldsymbol{\Sigma}$を用いた定義式と$\boldsymbol{\Lambda}$を用いた定義式の関係を考えます。

 $\boldsymbol{\Sigma}$を用いた定義式(1)について、平方根の性質$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$、$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$より、変形します。

$$ \begin{align} \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) &= \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} \tag{1}\\ &= \left\{ \frac{1}{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Sigma}|} \right\}^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} \end{align} $$

 定義より、$\boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \boldsymbol{\Lambda}$を代入します。

$$ \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) = \left\{ \frac{1}{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Lambda}^{-1}|} \right\}^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Lambda} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} $$

 行列式の性質$|\mathbf{A}^{-1}| = |\mathbf{A}|^{-1}$、逆数$x^{-1} = \frac{1}{x}$より、変形します。

$$ \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) = \left\{ \frac{|\boldsymbol{\Lambda}|}{(2 \pi)^D} \right\}^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Lambda} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} = \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Lambda}^{-1}) \tag{2} $$

 $\boldsymbol{\Lambda}$を用いた定義式(2)が得られました。

1次元ガウス分布との関係

 次は、1次元の場合の定義式を考えます。

 1次元$D = 1$のとき、$\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}$はそれぞれスカラになります。

$$ \begin{align} \mathcal{N}(\mathbf{x} = x_1 | \boldsymbol{\mu} = \mu_1, \boldsymbol{\Sigma} = \sigma_1^2) &= \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^1 |\sigma_1^2}|} \exp \Bigl\{ - \frac{1}{2} (x_1 - \mu_1)^{\top} \sigma_1^{-1} (x_1 - \mu_1) \Bigr\} \tag{1'}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_1^2}} \exp \left\{ - \frac{(x_1 - \mu_1)^2}{2 \sigma_1} \right\} = \mathcal{N}(x = x_1 | \mu = \mu_1, \sigma^2 = \sigma_1^2) \end{align} $$

 スカラなので、転置と行列式はそのまま$x^{\top} = x, |x| = x$、逆行列は逆数$x^{-1} = \frac{1}{x}$になります。

 $\boldsymbol{\Lambda}$を用いる場合も同様です。

$$ \begin{align} \mathcal{N}(\mathbf{x} = x_1 | \boldsymbol{\mu} = \mu_1, \boldsymbol{\Lambda}^{-1} = \lambda_1^{-1}) &= \left\{ \frac{|\lambda_1|}{(2 \pi)^1} \right\}^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (x_1 - \mu_1)^{\top} \lambda_1 (x_1 - \mu_1) \right\} \tag{2'}\\ &= \left( \frac{\lambda_1}{2 \pi} \right)^{\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{\lambda_1 (x_1 - \mu_1)^2}{2} \right\} = \mathcal{N}(x = x_1 | \mu = \mu_1, \lambda^{-1} = \lambda_1^{-1}) \end{align} $$

 それぞれ1次元ガウス分布の定義式が得られました。

変数間に依存関係がない場合

 続いて、変数間に依存関係がない(独立である)場合のガウス分布を考えます。

 まずは、分散共分散行列について確認します。

 各変数が独立のとき全ての共分散が0になります。

$$ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_D^2 \end{pmatrix} $$

 各変数$x_d$の分散$\sigma_d^2$を対角成分とする対角行列になります。

 対角行列の逆行列は、対角成分の逆数を対角成分とする対角行列になります。

$$ \boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma_2^2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{\sigma_D^2} \end{pmatrix} $$

 各変数$x_d$の分散$\sigma_d^2$の逆数$\frac{1}{\sigma_d^2} = \sigma_d^{-2}$を対角成分とする対角行列になります。

 次に、定義式(1)の各因子を変形します。

$$ \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} \tag{1} $$

 $(2 \pi)^D$は、$D$個の$2 \pi$の積で表せます。

$$ (2 \pi)^D = \prod_{d=1}^D 2 \pi $$

 分散共分散行列の行列式$|\boldsymbol{\Sigma}|$は、対角行列の行列式は対角成分の積になるので、各次元($D$個)の分散の積になります。

$$ \begin{aligned} |\boldsymbol{\Sigma}| &= \left| \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_D^2 \end{pmatrix} \right| \\ &= \sigma_1^2 \sigma_2^2 \cdots \sigma_D^2 \\ &= \prod_{d=1}^D \sigma_d^2 \end{aligned} $$

 よって、正規化係数の計算は、次のように変形できます。

$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^D |\boldsymbol{\Sigma}|}} &= \frac{ 1 }{ \sqrt{ \prod_{d=1}^D 2 \pi \sigma_d^2 } } \\ &= \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi \sigma_1^2 2 \pi \sigma_2^2 \cdots 2 \pi \sigma_D^2 } } \\ &= \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi \sigma_1^2} \sqrt{2 \pi \sigma_2^2} \cdots \sqrt{2 \pi \sigma_D^2} } \\ &= \prod_{d=1}^D \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_d^2}} \tag{a} \end{align} $$

 平方根の性質$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$より、$\prod$をルートの外に出せます。

 続いて、二次形式を計算します。

$$ \begin{aligned} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) &= \begin{pmatrix} x_1 - \mu_1 & x_2 - \mu_2 & \cdots & x_D - \mu_D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma_2^2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{\sigma_D^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - \mu_1 \\ x_2 - \mu_2 \\ \vdots \\ x_D - \mu_D \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{x_1 - \mu_1}{\sigma_1^2} & \frac{x_2 - \mu_2}{\sigma_2^2} & \cdots & \frac{x_D - \mu_D}{\sigma_D^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - \mu_1 \\ x_2 - \mu_2 \\ \vdots \\ x_D - \mu_D \end{pmatrix} \\ &= \frac{(x_1 - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(x_2 - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} + \cdots + \frac{(x_D - \mu_D)^2}{\sigma_D^2} \\ &= \sum_{d=1}^D \frac{(x_d - \mu_d)^2}{\sigma_d^2} \end{aligned} $$

 行列の積の計算において次元の異なる項は0によって消えるので、各次元の因子の和になります。

 よって、指数部分は、次のように変形できます。

$$ \begin{align} \exp \left\{ - \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\} &= \exp \left\{ - \frac{1}{2} \sum_{d=1}^D \frac{(x_d - \mu_d)^2}{\sigma_d^2} \right\} \\ &= \exp \left\{ - \frac{(x_1 - \mu_1)^2}{2 \sigma_1^2} - \frac{(x_2 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \cdots - \frac{(x_D - \mu_D)^2}{2 \sigma_D^2} \right\} \\ &= \exp \left\{ - \frac{(x_1 - \mu_1)^2}{2 \sigma_1^2} \right\} \exp \left\{ - \frac{(x_2 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} \right\} \cdots \exp \left\{ - \frac{(x_D - \mu_D)^2}{2 \sigma_D^2} \right\} \\ &= \prod_{d=1}^D \exp \left\{ - \frac{(x_d - \mu_d)^2}{2 \sigma_d^2} \right\} \tag{b} \end{align} $$

 指数の性質$\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)$より、総和$\sum$を指数関数の外に出すと総乗$\prod$になります。

 各因子の計算を確認できたので、式(1)に式(a,b)を代入します。

$$ \begin{aligned} \mathcal{N}(\mathbf{x} | \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) &= \prod_{d=1}^D \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_d^2}} \exp \left\{ - \frac{(x_d - \mu_d)^2}{2 \sigma_d^2} \right\} \\ &= \prod_{d=1}^D \mathcal{N}(x_d | \mu_d, \sigma_d^2) \end{aligned} $$

 各次元($D$個)の1次元ガウス分布の積になるのが分かりました。

 ここまでで、ガウス分布の定義式を確認しました。

統計量の計算式

 ガウス分布の期待値・分散・最頻値は、定義より次になります。詳しくはいつか書きます。分散共分散行列に関する統計量については「分散共分散行列と相関行列の関係の導出 - からっぽのしょこ」を参照してください。

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[\mathbf{x}] &= \boldsymbol{\mu} \\ \mathbb{E}[x_d] &= \mu_d \\ \mathbb{V}[x_d] &= \sigma_d^2 \\ \mathrm{Cov}[x_i, x_j] &= \sigma_{i,j} \\ \mathrm{mode}[\mathbf{x}] &= \boldsymbol{\mu} \\ \mathrm{mode}[x_d] &= \mu_d \end{aligned} $$

 期待値と最頻値は一致します。

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参考文献

  • 須山敦志『ベイズ推論による機械学習入門』(機械学習スタートアップシリーズ)杉山将監修,講談社,2017年.

おわりに

 メモ程度の内容になるかなと思いながら書き始めましたが、意外と充実したような気がします。その結果、一部の内容が別の記事として独立しました。

【次の内容】

つづく