はじめに

　調べても分からなかったので自分なりにやってみる黒魔術シリーズです。もっといい方法があれば教えてください。

　この記事では、3次元空間上の平面上の点の座標を計算します。

【目次】

はじめに
3次元空間における原点と2点を通る平面上の点を求めたい
- 平面上の点の計算式の導出
- 平面上の点の計算の可視化
  - 平面の計算
  - 平面上の点の計算
おわりに

3次元空間における原点と2点を通る平面上の点を求めたい

　この記事では、3次元空間において、原点と任意の2点を通る平面(2つのベクトルに平行な平面)上の点に関して、x軸とy軸の値が与えられたときのz軸の値を計算したい。
　「3次元空間における3点を通る平面上の点を求めたい - からっぽのしょこ」では、任意の3点を通る平面上の点を考える。

　検索したら色々出てきて分からなかったので、自分で考えてみた。もっといい方法があれば教えてほしい。

平面上の点の計算式の導出

　まずは、3次元空間における平面上の点について、x軸とy軸の値が与えられたときのz軸の値の計算式を導出する。

　原点を $O$ 、任意の2点を $A, B$ とする。
　点 $A, B$ の座標を、それぞれ次の3次元ベクトルで表す。

$\displaystyle \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} ,\ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ は、平行でなく、どちらも0ベクトルでないとする。
　原点 $O$ と点 $A = \mathbf{a}, B = \mathbf{b}$ を通る平面(ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ によって張られる平面)上の点を考える。

　実数(スカラ) $\alpha, \beta$ を係数として、ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を線形結合したベクトルを $\mathbf{p}$ とする。

$\displaystyle \mathbf{p} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} \tag{1}$

　 $\mathbf{p} = (x, y, z)^{\top}$ とすると、各成分は次の式で表わせる。

$\displaystyle \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha a_1 + \beta b_1 \\ \alpha a_2 + \beta b_2 \\ \alpha a_3 + \beta b_3 \end{bmatrix} \tag{1'}$

　 $\mathbf{p}$ を点 $P$ の座標とすると、点 $P = \mathbf{p}$ はベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ による平面上の点になり、式(1)は次の式で表せる。

$\displaystyle \overrightarrow{OP} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$

　点 $P$ のx軸とy軸の値 $x, y$ が与えられたときのz軸の値 $z$ を求める。

　平面上の点 $P$ の座標(ベクトル $\mathbf{p}$ の成分)は、式(1')よりそれぞれ次の式で計算できる。

$\displaystyle \begin{cases} x = \alpha a_1 + \beta b_1 &\qquad (2) \\ y = \alpha a_2 + \beta b_2 &\qquad (3) \\ z = \alpha a_3 + \beta b_3 &\qquad (4) \end{cases}$

　x軸の式(2)を $\alpha, \beta$ それぞれについて整理する。

$\displaystyle \begin{cases} \alpha = \frac{x}{a_1} - \frac{\beta b_1}{a_1} \\ \beta = \frac{x}{b_1} - \frac{\alpha a_1}{b_1} \end{cases} \tag{2'}$

　同様に、y軸の式(3)を整理する。

$\displaystyle \begin{cases} \alpha = \frac{y}{a_2} - \frac{\beta b_2}{a_2} \\ \beta = \frac{y}{b_2} - \frac{\alpha a_2}{b_2} \end{cases} \tag{3'}$

　 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ が0ベクトルだと0除算になってしまう。

　 $\alpha$ に関する式について式(2')を式(3')に代入して、 $\beta$ について整理する。

$\displaystyle \begin{align} \frac{x}{a_1} - \frac{\beta b_1}{a_1} &= \frac{y}{a_2} - \frac{\beta b_2}{a_2} \\ \Rightarrow a_2 x - \beta a_2 b_1 &= a_1 y - \beta a_1 b_2 \\ \Rightarrow \beta a_1 b_2 - \beta a_2 b_1 &= a_1 y - a_2 x \\ \Rightarrow \beta (a_1 b_2 - a_2 b_1) &= a_1 y - a_2 x \\ \Rightarrow \beta &= \frac{ a_1 y - a_2 x }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } \tag{5} \end{align}$

　 $\beta$ の計算式が得られた。1行目から2行目では、両辺に $a_1 a_2$ を掛けて分母を払った。

　同様に、 $\beta$ に関する式について式(2')を式(3')の代入して、 $\alpha$ について整理する。

$\displaystyle \begin{align} \frac{x}{b_1} - \frac{\alpha a_1}{b_1} &= \frac{y}{b_2} - \frac{\alpha a_2}{b_2} \\ \Rightarrow b_2 x - \alpha a_1 b_2 &= b_1 y - \alpha a_2 b_1 \\ \Rightarrow \alpha a_1 b_2 - \alpha a_2 b_1 &= b_2 x - b_1 y \\ \Rightarrow \alpha ( a_1b_2 - a_2 b_1) &= b_2 x - b_1 y \\ \Rightarrow \alpha &= \frac{ b_2 x - b_1 y }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } \tag{6} \end{align}$

　 $\alpha$ の計算式が得られた。1行目から2行目では、両辺に $b_1 b_2$ を掛けて分母を払った。

　 $\alpha$ の式(5)と $\beta$ の式(6)をz軸の式(4)に代入して、式を整理する。

$\displaystyle \begin{align} z &= \alpha a_3 + \beta b_3 \tag{4}\\ &= \frac{ b_2 x - b_1 y }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } a_3 + \frac{ a_1 y - a_2 x }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } b_3 \\ &= \frac{ a_3 b_2 x - a_3 b_1 y + a_1 b_3 y - a_2 b_3 x }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } \\ &= \frac{ (a_3 b_2 - a_2 b_3) x + (a_1 b_3 - a_3 b_1) y }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } \\ &= \frac{ a_3 b_2 - a_2 b_3 }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } x + \frac{ a_1 b_3 - a_3 b_1 }{ a_1 b_2 - a_2 b_1 } y \tag{7} \end{align}$

　点 $P$ のx軸とy軸の値が与えられたときのz軸の値の計算式が得られた。
　 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ が0ベクトルだと0除算になってしまう。また、 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ が平行だと、 $a_i = \gamma b_i$ が成り立つので分母が $a_1 b_2 - a_2 b_1 = \gamma a_1 a_2 - \gamma a_2 a_1 = 0$ になり、0除算になってしまう。
　逆に、 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ が平行でなく0ベクトルでもないと分子は0にならないので、 $x, y$ が0でないとき $\mathbf{p}$ は0ベクトルにならない。 $x, y$ が0のとき点 $P$ は原点( $\mathbf{p}$ は0ベクトル)になる。

平面上の点の計算の可視化

　次は、3次元空間における線形結合(平面上の点の計算)と、x軸とy軸の値が与えられたときのz軸の値の計算をグラフで可視化する。
　線形結合については「【Python】1.3：ベクトルの線形結合の可視化【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」も参照のこと。

　利用するライブラリを読み込む。

# 利用ライブラリ
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

平面の計算

　3次元ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を指定する。

# 3次元ベクトルを指定
a = np.array([-2.0, 1.5, 1.0])
b = np.array([-2.0, -2.0, -2.0])

　 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^{\top}, \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)^{\top}$ をa, bとして、それぞれ値を指定する。Pythonではインデックスが0から割り当てられるので、 $a_1$ はa[0]に対応することに注意する。

　3次元空間におけるベクトル $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}, \overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ をグラフで確認する。

# グラフサイズ用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], b[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], b[2]])) + 1

# 矢のサイズを指定
l = 0.4

# 基底ベクトルa,bを作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white', 
                       subplot_kw={'projection': '3d'})
ax.quiver(0, 0, 0, *a, 
          color='red', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(a), 
          label='$a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+')$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, 
          color='blue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(b), 
          label='$b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')$') # ベクトルb
ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='left', va='top') # 原点ラベル
ax.text(*a, s='A', size=15, ha='center', va='bottom') # 点aラベル
ax.text(*b, s='B', size=15, ha='right', va='bottom') # 点bラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0]], 
          [0, a[1], b[1]], 
          [0, a[2], b[2]], 
          [0, 0, 0], 
          [0, 0, 0], 
          [z_min, z_min-a[2], z_min-b[2]], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 座標用の補助線
ax.set_xlim(left=x_min, right=x_max)
ax.set_ylim(bottom=y_min, top=y_max)
ax.set_zlim(bottom=z_min, top=z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('$O = (0, 0, 0)$', loc='left')
fig.suptitle('$A = a, B = b$', fontsize=20)
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
#ax.view_init(elev=90, azim=270) # xy面
#ax.view_init(elev=0, azim=270) # xz面
plt.show()

　axes.quiver()でベクトルを描画する。第1・2・3引数に始点の座標、第4・5・6引数にベクトルのサイズ(移動量)を指定する。この例では、原点を始点とする。
　配列a, bの前に*を付けてアンパック(展開)して座標を指定している。

　arrow_length_ratio引数で矢のサイズ(全体に対する矢の割合)を指定できる。この例では、各ベクトルのノルムの逆数を指定することで、ベクトルのサイズに関わらず、全ての矢のサイズを統一している。
　さらに、全てのベクトルで同じ値lを掛けることで、サイズを調整する。

　係数 $\alpha, \beta$ を指定して、ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の線形結合(平面上の点 $P = \mathbf{p}$ )を計算する。

# 係数を指定
alpha = 2.0
beta  = -0.5

# 線形結合を計算:式(1)
p = alpha * a + beta * b
print(p)

[-3.  4.  3.]

　各ベクトルのスカラー倍の和を計算する。

　ベクトルの線形結合(ベクトル $\overrightarrow{OP} = \mathbf{p}$ )をグラフで確認する。

・作図コード(クリックで展開)

# グラフサイズ用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0], alpha*a[0], beta*b[0], p[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0], alpha*a[0], beta*b[0], p[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1], alpha*a[1], beta*b[1], p[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1], alpha*a[1], beta*b[1], p[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], b[2], alpha*a[2], beta*b[2], p[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], b[2], alpha*a[2], beta*b[2], p[2]])) + 1

# 矢のサイズを指定
l = 0.4

# ベクトルa,bの線形結合を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white', 
                       subplot_kw={'projection': '3d'})
ax.quiver(0, 0, 0, *a, 
          color='red', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(a), 
          label='$a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+')$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, 
          color='blue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(b), 
          label='$b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')$') # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, 0, *alpha*a, 
          color='deeppink', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(alpha*a), 
          label='$\\alpha a=('+', '.join(map(str, (alpha*a).round(2)))+')$') # ベクトルαa
ax.quiver(*beta*b, *alpha*a, 
          color='deeppink', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルαaの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *beta*b, 
          color='deepskyblue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(beta*b), 
          label='$\\beta b=('+', '.join(map(str, (beta*b).round(2)))+')$') # ベクトルβb
ax.quiver(*alpha*a, *beta*b, 
          color='deepskyblue', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルβbの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *p, 
          color='purple', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(p), 
          label='$p=('+', '.join(map(str, p.round(2)))+')$') # ベクトルp
ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='left', va='top') # 原点ラベル
ax.text(*a, s='A', size=15, ha='left', va='center') # 点aラベル
ax.text(*b, s='B', size=15, ha='right', va='bottom') # 点bラベル
ax.text(*p, s='P', size=15, ha='center', va='bottom') # 点pラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0], alpha*a[0], beta*b[0], p[0]], 
          [0, a[1], b[1], alpha*a[1], beta*b[1], p[1]], 
          [0, a[2], b[2], alpha*a[2], beta*b[1], p[2]], 
          [0, 0, 0, 0, 0, 0], 
          [0, 0, 0, 0, 0, 0], 
          [z_min, z_min-a[2], z_min-b[2], z_min-alpha*a[2], z_min-beta*b[2], z_min-p[2]], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 座標用の補助線
ax.set_xlim(left=x_min, right=x_max)
ax.set_ylim(bottom=y_min, top=y_max)
ax.set_zlim(bottom=z_min, top=z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('$\\alpha=' + str(alpha) + ', ' + 
             '\\beta=' + str(beta) + '$', loc='left')
fig.suptitle('$p = \\alpha a + \\beta b$', fontsize=20)
ax.legend(prop={'size': 9})
ax.set_aspect('equal')
#ax.view_init(elev=90, azim=270) # xy面
#ax.view_init(elev=0, azim=270) # xz面
plt.show()

　点 $\alpha A$ から $\beta \mathbf{b}$ 移動、または点 $\beta B$ から $\alpha \mathbf{a}$ 移動した点が $P$ になるのを確認できる。

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ と平行な平面の座標を計算する。

# (平面の描画用の)係数を作成
alpha_vals = np.linspace(start=-1.0, stop=3.0, num=9)
beta_vals  = np.linspace(start=-1.5, stop=2.0, num=8)
print(alpha_vals)
print(beta_vals)

# 格子状の点を作成
alpha_grid, beta_grid = np.meshgrid(alpha_vals, beta_vals)
print(alpha_grid.shape)
print(beta_grid.shape)

# ベクトルa,bと平行な平面の座標を計算:式(1')
x_grid = alpha_grid * a[0] + beta_grid * b[0]
y_grid = alpha_grid * a[1] + beta_grid * b[1]
z_grid = alpha_grid * a[2] + beta_grid * b[2]

[-1.  -0.5  0.   0.5  1.   1.5  2.   2.5  3. ]
[-1.5 -1.  -0.5  0.   0.5  1.   1.5  2. ]
(8, 9)
(8, 9)

　係数 $\alpha, \beta$ の値を等間隔で作成してalpha_vals, beta_valsとする。
　alpha_vals, beta_valsの格子状の点(全ての組み合わせ)をnp.meshgrid()で作成してalpha_grid, beta_gridとする。
　alpha_vals, beta_valsを用いて、成分ごとに線形結合(1')の計算を行う。

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ によって張られる平面をグラフで確認する。

・作図コード(クリックで展開)

# グラフサイズ用の値を設定
x_min = np.floor(x_grid.min())
x_max = np.ceil(x_grid.max())
y_min = np.floor(y_grid.min())
y_max = np.ceil(y_grid.max())
z_min = np.floor(z_grid.min())
z_max = np.ceil(z_grid.max())

# 矢のサイズを指定
l = 0.6

# タイトル用の符号を設定
sgn_beta = '+' if beta >= 0.0 else ''

# ベクトルa,bと平行な平面を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white', 
                       subplot_kw={'projection': '3d'})
ax.plot_wireframe(x_grid, y_grid, z_grid, 
                  alpha=0.5, label='$\\alpha a + \\beta b$') # ベクトルa,bによる平面
ax.quiver(0, 0, 0, *a, 
          color='red', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(a), 
          label='$a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+')$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, 
          color='blue', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(b), 
          label='$b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')$') # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, 0, *alpha*a, 
          color='deeppink', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(alpha*a)) # ベクトルαa
ax.quiver(*beta*b, *alpha*a, 
          color='deeppink', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルαaの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *beta*b, 
          color='deepskyblue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(beta*b)) # ベクトルβb
ax.quiver(*alpha*a, *beta*b, 
          color='deepskyblue', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルβbの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *p, 
          color='purple', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(p), 
          label='$p=('+', '.join(map(str, p.round(2)))+')$') # ベクトルp
ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='left', va='top') # 原点ラベル
ax.text(*a, s='A', size=15, ha='right', va='center') # 点aラベル
ax.text(*b, s='B', size=15, ha='right', va='bottom') # 点bラベル
ax.text(*p, s='P', size=15, ha='center', va='bottom') # 点pラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0], p[0]], 
          [0, a[1], b[1], p[1]], 
          [0, a[2], b[2], p[2]], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [z_min, z_min-a[2], z_min-b[2], z_min-p[2]], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 座標用の補助線
ax.set_xlim(left=x_min, right=x_max)
ax.set_ylim(bottom=y_min, top=y_max)
ax.set_zlim(bottom=z_min, top=z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('$p=' + str(alpha) + 'a' + sgn_beta + str(beta) + 'b$', loc='left')
fig.suptitle('linear combination of two vectors', fontsize=20)
ax.legend(prop={'size': 9})
ax.set_aspect('equal')
#ax.view_init(elev=90, azim=270) # xy面
#ax.view_init(elev=0, azim=270) # xz面
plt.show()

　平面(水色のグリッド線)は、係数 $\alpha, \beta$ を変更したときの線形結合(点 $P$ )が取り得る座標を表す。

平面上の点の計算

　点 $\mathbf{p}$ のx軸とy軸の値 $x, y$ を指定して、z軸の値 $z$ を計算する。

# x軸とy軸の値を指定
x = 4.0
y = 2.0
#x, y = p[0], p[1]

# z軸の値を計算:式(7)
z = (a[2]*b[1] - a[1]*b[2]) * x
z += (a[0]*b[2] - a[2]*b[0]) * y
z /= (a[0]*b[1] - a[1]*b[0])

# 座標を格納
p = np.array([x, y, z])
print(p)

[4.         2.         2.28571429]

　 $x, y$ をx, yとして値を指定する。先ほど計算したpの0番目の要素をx、1番目の要素をyとすると、z軸の値p[2]を計算できるのを確認できる。
　式(7)により $z$ を計算してzとする。
　x, y, zを配列に格納してpとする。

　 $\mathbf{p}$ から係数 $\alpha, \beta$ を計算する。

# 係数を計算:式(6)(5)
alpha = (b[1]*x - b[0]*y) / (a[0]*b[1] - a[1]*b[0])
beta  = (a[0]*y - a[1]*x) / (a[0]*b[1] - a[1]*b[0])
print(alpha)
print(beta)

-0.5714285714285714
-1.4285714285714286

　式(6)(5)により係数を計算してalpha, betaとする。

　確認のため、求めた係数を用いて線形結合を計算する。

# 線形結合を計算:式(1)
p = alpha * a + beta * b
print(p)

[4.         2.         2.28571429]

　値が変わらないのを確認できる。

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{p}$ と平行な平面の座標を計算する。

# (平面の描画用の)係数の値を作成
alpha_min = np.min([-2.0, np.floor(alpha)])
alpha_max = np.max([2.0, np.ceil(alpha)])
beta_min  = np.min([-2.0, np.floor(beta)])
beta_max  = np.max([2.0, np.ceil(beta)])
alpha_vals = np.linspace(start=alpha_min, stop=alpha_max, num=int(2*(alpha_max-alpha_min)+1))
beta_vals  = np.linspace(start=beta_min, stop=beta_max, num=int(2*(beta_max-beta_min)+1))
print(alpha_vals)
print(beta_vals)

# 格子状の点を作成
alpha_grid, beta_grid = np.meshgrid(alpha_vals, beta_vals)

# ベクトルa,bと平行な平面の座標を計算:式(1')
x_grid = alpha_grid * a[0] + beta_grid * b[0]
y_grid = alpha_grid * a[1] + beta_grid * b[1]
z_grid = alpha_grid * a[2] + beta_grid * b[2]

[-2.  -1.5 -1.  -0.5  0.   0.5  1.   1.5  2. ]
[-2.  -1.5 -1.  -0.5  0.   0.5  1.   1.5  2. ]

　先ほどと同様にして、平面の座標を計算する。こちらは、係数の範囲をいい感じに設定している。

　平面上の点 $P$ をグラフで確認する。

・作図コード(クリックで展開)

# グラフサイズ用の値を設定
x_min = np.floor(x_grid.min())
x_max = np.ceil(x_grid.max())
y_min = np.floor(y_grid.min())
y_max = np.ceil(y_grid.max())
z_min = np.floor(z_grid.min())
z_max = np.ceil(z_grid.max())

# 矢のサイズを指定
l = 0.6

# タイトル用の文字列を指定
form_label = 'z = '
form_label += '\\frac{a_3 b_2 - a_2 b_3}{a_1 b_2 - a_2 b_1} x'
form_label += '+ \\frac{a_1 b_3 - a_3 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} y'

# タイトル用の符号を設定
sgn_beta = '+' if beta >= 0.0 else ''

# ベクトルa,bと平行な平面上の点を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white', 
                       subplot_kw={'projection': '3d'})
ax.plot_wireframe(x_grid, y_grid, z_grid, 
                  alpha=0.5, label='$\\alpha a + \\beta b$') # ベクトルa,bによる平面
ax.scatter(*p, s=50, zorder=-100) # 点p
ax.quiver(0, 0, 0, *a, 
          color='red', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(a), 
          label='$a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+')$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, 
          color='blue', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(b), 
          label='$b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')$') # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, 0, *alpha*a, 
          color='deeppink', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(alpha*a)) # ベクトルαa
ax.quiver(*beta*b, *alpha*a, 
          color='deeppink', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルαaの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *beta*b, 
          color='deepskyblue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(beta*b)) # ベクトルβb
ax.quiver(*alpha*a, *beta*b, 
          color='deepskyblue', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルβbの平行線
ax.quiver(0, 0, 0, *p, 
          color='purple', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(p), 
          label='$p=('+', '.join(map(str, p.round(2)))+')$') # ベクトルp
ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='right', va='bottom') # 原点ラベル
ax.text(*a, s='A', size=15, ha='right', va='bottom') # 点aラベル
ax.text(*b, s='B', size=15, ha='right', va='bottom') # 点bラベル
ax.text(*p, s='P', size=15, ha='left', va='top', zorder=100) # 点pラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0], p[0]], 
          [0, a[1], b[1], p[1]], 
          [0, a[2], b[2], p[2]], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [z_min, z_min-a[2], z_min-b[2], z_min-p[2]], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 座標用の補助線
ax.set_xlim(left=x_min, right=x_max)
ax.set_ylim(bottom=y_min, top=y_max)
ax.set_zlim(bottom=z_min, top=z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('$p=(x, y, z)=' + 
             str(alpha.round(2)) + 'a' + sgn_beta + str(beta.round(2)) + 'b$', loc='left')
fig.suptitle('$' + form_label + '$', fontsize=20)
ax.legend(prop={'size': 9})
ax.set_aspect('equal')
#ax.view_init(elev=90, azim=270) # xy面
#ax.view_init(elev=0, azim=270) # xz面
plt.show()

　点 $P$ とベクトル $\mathbf{p}$ が平面上の点であるのを確認できる。

　グラフを回転させて確認する。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を指定
frame_num = 60

# 水平方向の角度として利用する値を作成
h_vals = np.linspace(start=0.0, stop=360.0, num=frame_num+1)[:frame_num]

# グラフオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white', 
                       subplot_kw={'projection': '3d'})
fig.suptitle('$' + form_label + '$', fontsize=20)

# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()

    # i番目の角度を取得
    h = h_vals[i]
    
    # ベクトルa,bと平行な平面上の点を作図
    ax.plot_wireframe(x_grid, y_grid, z_grid, 
                      alpha=0.5, label='$\\alpha a + \\beta b$') # ベクトルa,bによる平面
    ax.scatter(*p, s=100) # 点p
    ax.quiver(0, 0, 0, *a, 
              color='red', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(a), 
              label='$a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+')$') # ベクトルa
    ax.quiver(0, 0, 0, *b, 
              color='blue', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(b), 
              label='$b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')$') # ベクトルb
    ax.quiver(0, 0, 0, *alpha*a, 
              color='deeppink', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(alpha*a)) # ベクトルαa
    ax.quiver(*beta*b, *alpha*a, 
              color='deeppink', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルαaの平行線
    ax.quiver(0, 0, 0, *beta*b, 
              color='deepskyblue', arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(beta*b)) # ベクトルβb
    ax.quiver(*alpha*a, *beta*b, 
              color='deepskyblue', linestyle=':', arrow_length_ratio=0.0) # ベクトルβbの平行線
    ax.quiver(0, 0, 0, *p, 
              color='purple', linewidth=3, arrow_length_ratio=l/np.linalg.norm(p), 
              label='$p=('+', '.join(map(str, p.round(2)))+')$') # ベクトルp
    ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='center', va='bottom') # 原点ラベル
    ax.text(*a, s='A', size=15, ha='center', va='bottom') # 点aラベル
    ax.text(*b, s='B', size=15, ha='center', va='bottom') # 点bラベル
    ax.text(*p, s='P', size=15, ha='center', va='bottom') # 点pラベル
    ax.quiver([0, a[0], b[0], p[0]], 
              [0, a[1], b[1], p[1]], 
              [0, a[2], b[2], p[2]], 
              [0, 0, 0, 0], 
              [0, 0, 0, 0], 
              [z_min, z_min-a[2], z_min-b[2], z_min-p[2]], 
              color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 座標用の補助線
    ax.set_xlim(left=x_min, right=x_max)
    ax.set_ylim(bottom=y_min, top=y_max)
    ax.set_zlim(bottom=z_min, top=z_max)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_zlabel('z')
    ax.set_title('$p=(x, y, z)=' + 
                 str(alpha.round(2)) + 'a' + sgn_beta + str(beta.round(2)) + 'b$', loc='left')
    ax.legend(prop={'size': 9})
    ax.set_aspect('equal')
    ax.view_init(elev=30, azim=h) # 表示角度

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save('OPonPlane_3d.gif')