はじめに

　『スタンフォード　ベクトル・行列からはじめる最適化数学』の学習ノートです。
　「数式の行間埋め」や「Pythonを使っての再現」によって理解を目指します。本と一緒に読んでください。

　この記事は3.4節「角度」の内容です。
　なす角の定義を確認します。

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【今回の内容】

はじめに
なす角の定義
余弦関数と逆余弦関数
参考書籍
おわりに

なす角の定義

　まずは、2つのベクトルのなす角の定義を数式で確認します。
　内積については「1.4：内積の性質と計算例【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」、ユークリッドノルムについては「3.1-2：ユークリッドノルム・ユークリッド距離の性質と計算例【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」を参照してください。

　同じサイズ(次元数)のベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のなす角は、次の式で定義されます。

$\displaystyle \theta = \arccos \left( \frac{ \mathbf{a}^{\top} \mathbf{b} }{ \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| } \right)$

　ただし、 $\mathbf{a}$ または $\mathbf{b}$ が0ベクトルだと0除算になるため定義できません。

　 $\arccos x$ は逆コサイン関数(コサイン関数 $\cos x$ の逆関数)、 $\|\mathbf{x}\|$ はユークリッドノルムです。
　 $\theta$ は、弧度法における角度であり、ラジアンと呼びます。度数法における角度を $\theta^{\circ}$ で表すと、 $\theta$ と $\theta^{\circ}$ は $\theta = \theta^{\circ} \frac{2 \pi}{360}$ 、 $\theta^{\circ} = \theta \frac{360}{2 \pi}$ で変換できます。よって、 $\theta^{\circ} = 0^{\circ}$ のとき $\theta = 0$ であり、 $\theta^{\circ} = 180^{\circ}$ のとき $\theta = \pi$ です。

　逆関数の性質より $x = \cos(\arccos x)$ なので、定義式を次の式に変形できます。

$\displaystyle \cos \theta = \frac{ \mathbf{a}^{\top} \mathbf{b} }{ \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| }$

　さらに、両辺にノルムの積を掛けると、「内積」と「ノルムの積」の関係が得られます。

$\displaystyle \mathbf{a}^{\top} \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta$

　例えば、 $\theta = 0$ のとき $\cos \theta = 1$ なので $\mathbf{a}^{\top} \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|$ になります。

余弦関数と逆余弦関数

　次は、余弦関数(コサイン関数・cosine function)と、余弦関数の逆関数である逆余弦関数(逆コサイン関数・inverse cosine function)をグラフで確認します。

　利用するライブラリを読み込みます。

# 利用ライブラリ
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

　コサイン関数を計算します。

# 余弦関数の変数(ラジアン)を作成
t_vals = np.linspace(start=-2.0*np.pi, stop=2.0*np.pi, num=500)
print(t_vals[:10].round(2))

# 余弦関数を計算
cos_vals = np.cos(t_vals)
print(cos_vals[:10].round(2))

[-6.28 -6.26 -6.23 -6.21 -6.18 -6.16 -6.13 -6.11 -6.08 -6.06]
[1.   1.   1.   1.   0.99 0.99 0.99 0.98 0.98 0.97]

　コサイン関数の入力変数(ラジアン)を作成して、コサイン関数を計算します。コサイン関数 $\cos x$ はnp.cos()で計算できます。
　円周率 $\pi$ はnp.piで扱えます。
　

　コサイン関数のグラフを作成します。

# 軸目盛ラベル用の値を設定
denom = 3.0
n_ticks = np.arange(
    start=np.floor(t_vals.min() / np.pi * denom), 
    stop=np.ceil(t_vals.max() / np.pi * denom) + 1, 
    step=1)
#t_labels = ['$\\frac{' + str(int(n)) + '}{' + str(int(denom)) + '} \pi$' for n in n_ticks]
t_labels = ['$' + ('-' if n < 0.0 else '') + '\\frac{' + str(int(abs(n))) + '}{' + str(int(denom)) + '} \pi$' for n in n_ticks]

# 余弦関数を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6), facecolor='white')
ax.plot(t_vals, cos_vals, label='cos t')
ax.set_xticks(ticks=n_ticks*np.pi/denom, labels=t_labels)
ax.set_xlim(left=t_vals.min(), right=t_vals.max())
ax.grid()
ax.set_xlabel('t')
ax.set_ylabel('cos t')
fig.suptitle('cosine function', fontsize=20)
ax.legend()
plt.show()

　コサイン関数は $-1 \leq \cos t \leq 1$ の値をとります。また、ラジアンが $2 \pi$ (角度だと $360^{\circ}$ )のサイズで周期的に推移します。

　続いて、逆コサイン関数を計算します。

#　逆余弦関数の変数(余弦関数の出力)を作成
#u_vals = np.linspace(start=-1.5, stop=1.5, num=500)
u_vals = np.sort(np.unique(cos_vals))
print(u_vals[:10].round(2))

# 逆余弦関数を計算
arccos_vals = np.arccos(u_vals)
print(arccos_vals[:10].round(2))

[-1. -1. -1. -1. -1. -1. -1. -1. -1. -1.]
[3.14 3.12 3.11 3.1  3.08 3.08 3.07 3.06 3.06 3.05]

　逆コサイン関数の入力変数を作成して、逆コサイン関数を計算します。逆コサイン関数 $\arccos x = \cos^{-1} x$ はnp.arccos()で計算できます。

　逆コサイン関数のグラフを作成します。

# 軸目盛ラベル用の値を設定
denom = 3.0
n_ticks = np.arange(
    start=0.0, 
    stop=np.ceil(1.0 * denom) + 1, 
    step=1)
t_labels = ['$\\frac{'+str(int(n)) + '}{' + str(int(denom)) + '} \pi$' for n in n_ticks]

# 逆余弦関数を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6), facecolor='white')
ax.plot(u_vals, arccos_vals, label='arccos u')
ax.set_yticks(ticks=n_ticks*np.pi/denom, labels=t_labels)
ax.grid()
ax.set_xlabel('u')
ax.set_ylabel('arccos u')
fig.suptitle('inverse cosine function', fontsize=20)
ax.legend()
plt.show()

　「逆コサイン関数の入力」は「コサイン関数の出力」、「逆コサイン関数の出力」は「コサイン関数の入力」つまり「ラジアン」に対応します。
　よって、入力は $-1 \leq u \leq 1$ の範囲に限られ、出力は $0 \leq \arccos u \leq \pi$ (角度だと $0^{\circ} \leq \arccos u \leq 180^{\circ}$ )の範囲の値をとります。入力が範囲外の場合はnanになります。