はじめに
『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』の学習ノートです。
「数式の行間埋め」や「Pythonを使っての再現」によって理解を目指します。本と一緒に読んでください。
この記事は3.1節「ノルム」と3.2節「距離」の内容です。
ユークリッドノルムとユークリッド距離の定義式を確認して、性質を導出し、内積を使った計算を確認します。
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ノルムの定義
まずは、ユークリッドノルム(euclidean norm)の定義を確認します。
内積については、「1.4:内積の性質と計算例【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」を参照してください。
のユークリッドノルムは、2乗和(内積)の平方根で定義されます。
ユークリッドノルム(2乗和のノルム)をL2ノルムとも呼びます。
その他のノルム(一般化したノルム)や、ノルムのグラフについては次の記事を参照してください。
ノルムの性質
次は、ノルムの性質を導出します。
非負同時性
非負同時性として、次の関係が成り立ちます。
左辺を展開して整理すると、右辺が得られます。
平方根の性質、
を使いました。
ノルムの計算例
続いて、ユークリッドノルムを用いた計算例を数式で確認します。
二乗平均平方根
定義
二乗平均は、次の式で定義されました(1.4節)。
二乗平均平方根は、二乗平均の平方根で定義されます。
のノルムを用いて、次の式でも表せます。
性質
の全ての要素が同じ値
のとき、
は、1ベクトルのスカラー積で表わせます。
このとき、のノルムは、次の式になります。
1ベクトルの内積はです(1.4節)。
のとき(
のとき)
になります。
よって、の二乗平均平方根は、次の式になります。
のとき(
のとき)
になります。
和のノルム
2つのベクトルの和のノルムは、次の式になります。
内積の性質より、です(1.4節)。
この記事では、ユークリッドノルムの性質を確認しました。次の記事では、ユークリッド距離の性質を確認します。
距離の定義
まずは、ユークリッド距離(euclidean distance)の定義を確認します。
ユークリッド距離は、ベクトルの差のユークリッドノルムで定義されます。
ユークリッド距離をL2距離とも呼びます。
距離の性質
ユークリッド距離の性質を導出します。
対称性
対称性として、次の関係が成り立ちます。
右辺を展開すると、次の式になります。
内積の性質より、です。
同様に右辺を展開すると、次の式になります。
両辺が一致しました。
この記事では、ユークリッド距離の定義と性質を確認しました。次の記事では、ユークリッドノルムを作図します。
参考書籍
- Stephen Boyd・Lieven Vandenberghe(著),玉木 徹(訳)『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』講談社サイエンティク,2021年.
おわりに
距離に関して書くことが少なすぎたのでくっつけました。節の区切りとしては都合が悪いですが、内容的には一緒の方が分かりやすいかもしれません。
三角不等式についてはルートの不等式の操作がよく分からなかったので飛ばしました。読み終わる頃には導けるようになってたりしないかな。
さてこの記事の投稿日に公開された新曲を聴きましょうか。
まぁ可愛い。キメキメな格好良さも魅力だけど、やっぱり楽しそうな笑顔が好き。
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