はじめに
『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』の学習ノートです。
「数式の行間埋め」や「Pythonを使っての再現」によって理解を目指します。本と一緒に読んでください。
この記事は1.4節「内積」の内容です。
内積の定義式を確認して、性質を導出し、内積を使った計算を確認します。
【前の内容】
【他の内容】
【今回の内容】
内積の定義
まずは、内積(inner product)の定義を確認します。
ベクトルの内積は、2つのベクトルの積和で定義されます。
2つのベクトルは同じサイズ(要素数)である必要があります。
内積の性質
次は、内積の性質を導出します。
交換法則
交換法則として、次の式が成り立ちます。
左辺は、「定義の確認」と同じ式です。
右辺を展開すると、次の式になります。
両辺が一致しました。
結合法則
スカラー積の結合法則として、次の式が成り立ちます。
左辺を展開すると、次の式になります。
右辺について、括弧を「定義の確認」の式に置き換えます。
両辺が一致しました。
分配法則
ベクトル和の分配法則として、次の式が成り立ちます。
左辺を展開すると、次の式になります。
右辺を展開すると、次の式になります。
両辺が一致しました。
内積の計算例
続いて、内積を用いた計算式を導出します。
標準単位ベクトル
標準単位ベクトルは、1つの要素(成分)が1でそれ以外の要素が0のベクトルです。
番目の要素
が1の単位ベクトルを
とします。
との内積は、
番目の要素になります。
に対応する要素
は0で消え、
に対応する要素
のみが残ります。
和
1ベクトルは、全ての要素が1のベクトルです。
ベクトルのサイズは文脈に依存します。ここでは個とします。
との内積は、
個の要素の和になります。
1との積和なので、の総和になります。
平均
個の標本平均は、次の式で定義されます。
の平均を
で表します。
平均は、との内積で計算できます。
または、「和」の式に置き換えます。
総和を要素数で割るので、の平均になります。
二乗和
同じベクトルの内積は、2乗和になります。
同じ要素の積和なので、の2乗和になります。
二乗平均
個の要素の二乗平均は、次の式で定義されます。
の二乗平均を
で表します。
二乗平均は、内積を用いて、次の式でも計算できます。
選択的総和
が1でそれ以外の要素が0のベクトルを
とすると、
との内積は、次の式になります。
「標準単位ベクトル」との内積と同様に、値が1の要素に対応する要素のみが取り出されるので、それらの和になります。
この記事では、内積の性質を確認しました。次の記事では、ノルムの性質を確認します。
参考書籍
- Stephen Boyd・Lieven Vandenberghe(著),玉木 徹(訳)『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』講談社サイエンティク,2021年.
おわりに
1章の数式の行間埋めは飛ばしてもいいかなと思っててたのですが、が今後も登場するようなので引用しやすいように書いておきました。
3月10日はさとうの日ということで佐藤優樹さんの新曲を聴きましょう。
デビューまで1か月を切ってワクワクソワソワする。
【次の内容】