ガンマ関数の性質の導出

はじめに

　機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。

　ガンマ関数の性質を導出します。

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【この記事の内容】

ガンマ関数の性質の導出

　ガンマ関数(Gamma Function)の定義と性質を確認します。

定義

　ガンマ関数は、次の式で定義されます。

$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} u^{x-1} e^{-u} du $$

　ここで、$e$はネイピア数です。$e^x = \exp(x)$で表記することもあります。

　ガンマ関数には、次の3つの性質があります。

$$ \begin{aligned} \Gamma(x + 1) &= x \Gamma(x) &\quad (x > 0) \\ \Gamma(1) &= 1 \\ \Gamma(n + 1) &= n! &\quad (n > 0) \end{aligned} $$

　これらの性質を導出します。

性質1

　まずは、$x$が非負の実数の場合を考えます。ガンマ関数の定義式の$x$を$x + 1$に置き換えます。

$$ \begin{aligned} \Gamma(x + 1) &= \int_0^{\infty} u^{(x+1)-1} e^{-u} du \\ &= \int_0^{\infty} u^x e^{-u} du \end{aligned} $$

　部分積分$\int_a^b f'(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]_a^b - \int_a^b f(x) g'(x) dx$を行うために、後の項を変形します。
　微分と積分は打ち消し合うので、$f(x) = \{\int f(x) dx\}'$です。また、係数を含む指数関数の積分$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$を行います。

$$ \begin{aligned} e^{-u} &=\left\{ \int e^{-u} du \right\}' \\ &= \Bigl\{ - e^{-u} \Bigr\}' \end{aligned} $$

　係数を含む指数関数の微分(合成関数の微分)$(e^{ax})' = e^{ax} (a x)' = a e^{ax}$より、この式が成り立つのを確認できます。
　変形した項に置き換えます。

$$ \Gamma(x + 1) = \int_0^{\infty} u^{x} \Bigl\{ - e^{-u} \Bigr\}' du $$

　$f(x) = - e^{-u}$、$f'(x) = \{- e^{-u}\}'$、$g(x) = u^x$、$g'(x) = x u^{x-1}$として部分積分を行います。

$$ \Gamma(x + 1) = \left[ u^x \Bigl( - e^{-u} \Bigr) \right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} x u^{x-1} \Bigl( - e^{-u} \Bigr) du $$

　定積分$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$について、$u \rightarrow \infty$のとき$e^{-u} \rightarrow e^{-\infty} = 0$、$u = 0$のとき$u^x = 0^x = 0$となります。また、$u$と無関係な$-x$を$\int$の外に出します。

$$ \Gamma(x + 1) = 0 - 0 + x \int_0^{\infty} u^{x-1} e^{-u} du $$

　ガンマ関数の定義より置き換えます。

$$ \Gamma(x + 1) = x \Gamma(x) $$

　1つ目の性質の式が得られました。

性質2

　次に、$x$が1の場合を考えます。ガンマ関数の定義式に$x = 1$を代入します。

$$ \begin{aligned} \Gamma(1) &= \int_0^{\infty} u^{1-1} e^{-u} du \\ &= \int_0^{\infty} u^0 e^{-u} du \end{aligned} $$

　性質1のときと同様に、部分積分$\int_a^b f'(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]_a^b - \int_a^b f(x) g'(x) dx$を行えるように、項を変形します。また、べき乗の定義より$x^0 = 1$です。

$$ \Gamma(1) = \int_0^{\infty} 1 \Bigl( - e^{-u} \Bigr)' du $$

　$f(x) = - e^{-u}$、$f'(x) = \{- e^{-u}\}'$、$g(x) = 1$、$g'(x) = 0$として部分積分を行います。

$$ \Gamma(1) = [- e^{-u}]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} 0 \Bigl( - e^{-u} \Bigr) du $$

　定積分$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$について、$u \rightarrow \infty$のとき$e^{-u} \rightarrow e^{-\infty} = 0$、$u = 0$のとき$e^{-u} = e^0 = 1$となります。

$$ \begin{aligned} \Gamma(1) &= 0 - (-1) - 0 \\ &= 1 \end{aligned} $$

　2つ目の性質の式が得られました。

性質3

　最後に、$x$が自然数の場合を考えます。性質1の式を用います。

$$ \Gamma(x + 1) = x \Gamma(x) $$

　性質1より$\Gamma(x) = (x - 1) \Gamma(x - 1)$になります。

$$ \Gamma(x + 1) = x (x - 1) \Gamma(x - 1) $$

　同様に、$\Gamma(x - 1) = (x - 2) \Gamma(x - 2)$になるので、更に繰り返します。

$$ \Gamma(x + 1) = x (x - 1) (x - 2) \cdots 2 * 1 * \Gamma(1) $$

　性質2より$\Gamma(x) = 1$なので、式全体が1から$x$の自然数の積(階乗)$x!$となります。

$$ \Gamma(x + 1) = x! $$

　3つ目の性質の式が得られました。

関連する記事

　グラフを描きます。

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参考文献

• 岩田具治『トピックモデル』(機械学習プロフェッショナルシリーズ)講談社,2015年.

おわりに

　加筆修正の際に記事を分割して青トピシリーズから独立させました。

【次の内容】

つづく