はじめに

　調べても分からなかったので自分なりにやってみる黒魔術シリーズです。もっといい方法があれば教えてください。

　この記事では、円周上の2点をいい感じに繋ぐ曲線のグラフを作成します。

【前の内容】

【目次】

はじめに
円周上の2点を結ぶ円弧を作図したい
- なす角の描画
- 円弧の描画
おわりに

円周上の2点を結ぶ円弧を作図したい

　Matplotlibライブラリを利用して、2次元空間における円周(circle)上の2点を結ぶ良い感じの曲線を作成したい。また、その円弧(circular arc)の半径を調整して、2つの2次元ベクトルのなす角(angle between two vectors)を示したい。
　度数法と弧度法の角度の関係や、角度と座標の関係については「円周の作図【Matplotlib】 - からっぽのしょこ」を参照のこと。

　利用するライブラリを読み込みます。

# 利用ライブラリ
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

なす角の描画

　まずは、完成図(やりたいこと)を確認する。

　2つの2次元ベクトルのなす角を円弧(角マーク)で示すグラフを作成する。
　なす角については「【Python】3.4：2つのベクトルのなす角の可視化【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」を参照のこと。

　2次元ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を作成して、なす角を計算する。

# 2次元ベクトルを指定
a = np.array([2.0, 1.0])
b = np.array([-2.0, -2.0])

# ベクトルa,bのなす角(ラジアン)を計算
cos_theta = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(a) / np.linalg.norm(b)
theta = np.arccos(cos_theta)
print(theta) # 0からπの値
print(theta / np.pi) # 0から1の値

2.819842099193151
0.8975836176504333

　2つのベクトル $\mathbf{a} = (a_1, a_2), \mathbf{b} = (b_1, b_2)$ を1次元配列 a, b として値を指定する。Pythonではインデックスが0から割り当てられるので、 $a_1$ は a[0] に対応することに注意する。

　 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ は、次の式で計算できる。

$\displaystyle \theta = \arccos \left( \frac{ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} }{ \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| } \right)$

　 $\theta$ はラジアン(弧度法における角度)であり、 $0 \leq \theta \leq \pi$ の値(度数法による角度 $0^{\circ} \leq \theta^{\circ} \leq 180^{\circ}$ に対応)をとる。ただし、 $\mathbf{a}$ または $\mathbf{b}$ が0ベクトルだと0除算になるため定義できない(計算結果が nan になる)。
　コサイン関数 $\cos x$ の逆関数(逆コサイン関数) $\arccos x$ は np.arccos()、内積 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ は np.dot()、ユークリッドノルム $|\mathbf{x}|$ は np.linalg.norm() で計算できる。

　2つのベクトル(線分)によって、劣角 $0 \leq \theta \leq \pi$ と優角 $2 \pi - \theta$ の2つの角(度数法だと劣角 $0^{\circ} \leq \theta^{\circ} \leq 180^{\circ}$ と優角 $360^{\circ} - \theta^{\circ}$ )ができる。
　なす角 $\theta$ は劣角の角度に対応する。

　 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ それぞれのなす角を計算する。

# ベクトルaとx軸のなす角(ラジアン)を計算
sgn_a   = 1.0 if a[1] >= 0.0 else -1.0
theta_a = sgn_a * np.arccos(a[0] / np.linalg.norm(a))
print(theta_a / np.pi)

# ベクトルbとx軸のなす角(ラジアン)を計算
sgn_b   = 1.0 if b[1] >= 0.0 else -1.0
theta_b = sgn_b * np.arccos(b[0] / np.linalg.norm(b))
print(theta_b / np.pi)

# 角度の差に応じて負の角度を優角に変換
if abs(theta_a - theta_b) > np.pi:
    theta_a = theta_a if a[1] >= 0.0 else theta_a + 2.0*np.pi
    theta_b = theta_b if b[1] >= 0.0 else theta_b + 2.0*np.pi
print(theta_a / np.pi)
print(theta_b / np.pi)

0.1475836176504333
-0.75
0.1475836176504333
-0.75

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ それぞれと標準単位ベクトル(x軸の正の部分) $\mathbf{e}_1 = (1, 0)$ のなす角を $\theta_a, \theta_b$ で表し、次の式で計算する。

$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sgn}(x) &= \begin{cases} -1 & (x \lt 0) \\ 1 & (x \geq 0) \\ \end{cases} \\ \theta_x &= \mathrm{sgn}(x_2) \arccos \left( \frac{x_1}{\|\mathbf{x}\|} \right) \end{aligned}$

　x軸線の正の部分から左回りにできる角が優角のとき( $x_2$ が負の値のとき)、右回りにできる劣角を負の角度 $- \theta$ として扱う。
　この操作を、符号関数 $\mathrm{sgn}(x)$ を用いて数式で表している(正確には符号関数は0のとき0になるが、この例では0のとき正の値とする)。
　詳しくは「【Python】円周上の点とx軸を結ぶ円弧を作図したい - からっぽのしょこ」を参照のこと。

　ただし、 $\theta_a, \theta_b$ の差が優角になる場合(一方が正の角度でもう一方が負の角度で、差の絶対値 $|\theta_a - \theta_b|$ が $\pi$ を超える場合)は、負の角度の方に $2 \pi$ を足して優角に変換する。

　角マークと角ラベルの座標を計算する。

# 角マーク用のラジアンを作成
t_vals = np.linspace(start=theta_a, stop=theta_b, num=100)
print(t_vals[:5])

# 角マークの座標を計算
r = 0.3
angle_mark_arr = np.vstack(
    [r * np.cos(t_vals), 
     r * np.sin(t_vals)]
)
print(angle_mark_arr[:5, :5])

# 角ラベルの座標を計算
r = 0.5
angle_label_vec = np.array(
    [r * np.cos(np.median(t_vals)), 
     r * np.sin(np.median(t_vals))]
)
print(angle_label_vec)

[0.46364761 0.43516436 0.4066811  0.37819785 0.34971459]
[[0.26832816 0.27204023 0.27553161 0.27879947 0.28184116]
 [0.13416408 0.12646783 0.11866899 0.11077388 0.10278891]]
[ 0.29235514 -0.40562109]

　 $\theta_a$ から $\theta_b$ までのラジアン $t$ を作成して、角マークと角ラベルの座標を計算する。

　角マークは、半径を $r$ として、次の式で円弧の座標(x軸・y軸の値) $(x, y)$ を計算する。

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x &= r \cos t \\ y &= r \sin t \end{aligned} \right.$

　半径 r で角マークのサイズ(原点からのノルム)を調整する。

　角ラベルは、円弧(なす角)の中点に配置する。
　r で角ラベルの位置(原点からのノルム)を調整する。

　2次元空間上にベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ となす角のグラフを作成する。

# グラフサイズを設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0]])) - 1
x_max =  np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1]])) - 1
y_max =  np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1]])) + 1

# 2Dベクトルのなす角を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
          label='$a = ({}, {}'.format(*a)+')$') # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
          label='$b =({}, {}'.format(*b)+')$') # ベクトルb
ax.plot(*angle_mark_arr, 
        color='black', linewidth=1) # 角マーク
ax.text(*angle_label_vec, 
        s='$\\theta$', size=15, ha='center', va='center') # 角ラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$\\theta = {:.2f}'.format(theta / np.pi)+'\pi, ' + 
             '\\theta^\circ = {:.1f}'.format(theta * 180.0/np.pi)+'^\circ$', loc='left')
fig.suptitle('$\\theta = \\arccos(\\frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|})$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　plt.quiver() でベクトルを描画する。第1・2引数に始点(原点)の座標、第3・4引数に移動量(ベクトル)を指定する。
　配列 x の頭に * を付けてアンパック(展開)して指定している。

　ベクトルの値を変化させたアニメーションを作成する。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を指定
frame_num = 60

# 変化するベクトルを作成
alpha, beta = 2.0, 1.5
rad_n = np.linspace(start=0.0, stop=2.0*np.pi, num=frame_num+1)[:frame_num]
a_n = np.array(
    [alpha * np.cos(-2.0 * rad_n), alpha * np.sin(-2.0 * rad_n)]
).T
b_n = np.array(
    [beta * np.cos(rad_n), beta * np.sin(rad_n)]
).T

# グラフサイズを設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, *a_n[:, 0], *b_n[:, 0]]))
x_max =  np.ceil(np.max([1.0, *a_n[:, 0], *b_n[:, 0]]))
y_min = np.floor(np.min([0.0, *a_n[:, 1], *b_n[:, 1]]))
y_max =  np.ceil(np.max([1.0, *a_n[:, 1], *b_n[:, 1]]))

# グラフオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
fig.suptitle('$\\theta = \\arccos(\\frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|})$', fontsize=20)

# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目のベクトルを取得
    a = a_n[i]
    b = b_n[i]
    
    # ベクトルa,bのなす角(ラジアン)を計算
    theta = np.arccos(
        np.dot(a, b) / np.linalg.norm(a) / np.linalg.norm(b)
    )

    # ベクトルa・bとx軸のなす角(ラジアン)を計算
    sgn_a   = 1.0 if a[1] >= 0.0 else -1.0
    theta_a = sgn_a * np.arccos(a[0] / np.linalg.norm(a))
    sgn_b   = 1.0 if b[1] >= 0.0 else -1.0
    theta_b = sgn_b * np.arccos(b[0] / np.linalg.norm(b))

    # 角度の差に応じて負の角度を優角に変換
    if abs(theta_a - theta_b) > np.pi:
        theta_a = theta_a if a[1] >= 0.0 else theta_a + 2.0*np.pi
        theta_b = theta_b if b[1] >= 0.0 else theta_b + 2.0*np.pi

    # 角マーク用のラジアンを作成
    t_vals = np.linspace(start=theta_a, stop=theta_b, num=100)

    # 角マークの座標を計算
    r = 0.3
    angle_mark_arr = np.vstack(
        [r * np.cos(t_vals), 
         r * np.sin(t_vals)]
    )

    # 角ラベルの座標を計算
    r = 0.45
    angle_label_vec = np.array(
        [r * np.cos(np.median(t_vals)), 
         r * np.sin(np.median(t_vals))]
    )
    
    # 2Dベクトルのなす角を作図
    ax.quiver(0, 0, *a, 
              color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
              angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
              label='$a = ({: .2f}, {: .2f}'.format(*a)+')$') # ベクトルa
    ax.quiver(0, 0, *b, 
              color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
              angles='xy', scale_units='xy', scale=1, 
              label='$b =({: .2f}, {: .2f}'.format(*b)+')$') # ベクトルb
    ax.plot(*angle_mark_arr, 
            color='black', linewidth=1) # 角マーク
    ax.text(*angle_label_vec, 
            s='$\\theta$', size=15, ha='center', va='center') # 角ラベル
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
    ax.set_xlabel('$x_1$')
    ax.set_ylabel('$x_2$')
    ax.set_title('$\\theta = {:.2f}'.format(theta / np.pi)+'\pi, ' + 
                 '\\theta^\circ = {:.1f}'.format(theta * 180.0/np.pi)+'^\circ$', loc='left')
    ax.grid()
    ax.legend(loc='upper left')
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save(filename='2d_angle_ab.gif')

　作図処理をupdate()として定義して、FuncAnimation()でgif画像を作成します。

円弧の描画

　2次元ベクトルを繋ぐ円弧(角マーク)の座標計算とノルム操作をグラフで確認する。

　2次元ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を作成して、ノルムを計算する。

# 2次元ベクトルを指定
a = np.array([-3.0, -2.0])
b = np.array([-1.0, 1.0])

# ノルムを計算
norm_a = np.linalg.norm(a)
norm_b = np.linalg.norm(b)
print(norm_a)
print(norm_b)

3.605551275463989
1.4142135623730951

　ベクトル $\mathbf{a} = (a_1, a_2), \mathbf{b} = (b_1, b_2)$ を1次元配列 a, b として値を指定する。
　 $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ のユークリッドノルム

$\displaystyle \|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$

を np.linalg.norm() で計算する。

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ をグラフで確認する。　

# グラフサイズを設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0]])) - 1
x_max =  np.ceil(np.max([1.0, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1]])) - 1
y_max =  np.ceil(np.max([1.0, a[1], b[1]])) + 1

# 2Dベクトルを作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.scatter(0, 0, 
           color='orange', s=100, label='$O = (0, 0)$') # 原点
ax.scatter(*a, 
           color='red', s=100, label='$a = ({}, {})$'.format(*a)) # 点a
ax.scatter(*b, 
           color='blue', s=100, label='$b = ({}, {})$'.format(*b)) # 点b
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$\|a\| = {:.2f}, \|b\| = {:.2f}$'.format(norm_a, norm_b), loc='left')
fig.suptitle('$x = (x_1, x_2)$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　ベクトル $\mathbf{x}$ のノルム $\|\mathbf{x}\|$ は、原点 $\mathbf{O} = (0, 0)$ と点 $\mathbf{x}$ の距離に対応する。

　ここから、円周上の2点を考える。

　半径を指定して、円周の座標を計算する。

# 半径(ノルム)を指定
r = 2.5

# 円周用のラジアンを作成
t_vals = np.linspace(start=0.0, stop=2.0*np.pi, num=100)
print(t_vals[:5])

# 円周の座標を計算
circle_x_vals = r * np.cos(t_vals)
circle_y_vals = r * np.sin(t_vals)
print(circle_x_vals[:5])
print(circle_y_vals[:5])
print(np.linalg.norm(np.vstack([circle_x_vals[:5], circle_y_vals[:5]]), axis=0))

[0.         0.06346652 0.12693304 0.19039955 0.25386607]
[2.5        2.49496669 2.47988703 2.45482174 2.41987175]
[0.         0.1585598  0.31648113 0.47312811 0.62786997]
[2.5 2.5 2.5 2.5 2.5]

　原点を中心とする円周の座標 $\mathbf{z} = (z_1, z_2)$ は、半径を $r$ として、 $0$ から $2 \pi$ までのラジアン $t$ を用いて、次の式で計算できる。

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} z_1 &= r \cos t \\ z_2 &= r \sin t \end{aligned} \right.$

　circle_*_vals の同じインデックスの要素が、円周上の各点の座標に対応する。
　円周上の点のノルム(中心との距離)は半径 $\|\mathbf{z}\| = r$ になる。

　ベクトルのノルムを変更する。

# ベクトルのノルムを調整
tilde_a = r * a / np.linalg.norm(a)
tilde_b = r * b / np.linalg.norm(b)
print(tilde_a)
print(np.linalg.norm(tilde_a))
print(tilde_b)
print(np.linalg.norm(tilde_b))

[-2.08012574 -1.38675049]
2.5000000000000004
[-1.76776695  1.76776695]
2.5

　ベクトル $\mathbf{x}$ をノルムで割るとノルムが1のベクトルになり、さらに $r$ を掛けるとノルムが $r$ のベクトルになる。

$\displaystyle \tilde{\mathbf{x}} = r \frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|} ,\ \|\tilde{\mathbf{x}}\| = r$

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ (の延長線)と円周の交点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ をグラフで確認する。　

# グラフサイズを設定
x_min = np.floor(np.min([-r, a[0], b[0]])) - 1
x_max =  np.ceil(np.max([r, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([-r, a[1], b[1]])) - 1
y_max =  np.ceil(np.max([r, a[1], b[1]])) + 1

# 2Dベクトルを結ぶ円周を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.plot(circle_x_vals, circle_y_vals, 
        color='black', linewidth=1.5) # 円周
ax.scatter(0, 0, 
           color='orange', s=100, label='$O = (0, 0)$') # 原点
ax.scatter(*tilde_a, 
           color='red', s=100, 
           label='$\\tilde{a} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_a)) # 点a
ax.scatter(*tilde_b, 
           color='blue', s=100, 
           label='$\\tilde{b} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_b)) # 点b
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
if norm_a < r:
    ax.plot([a[0], tilde_a[0]], [a[1], tilde_a[1]], 
            color='red', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルaの延長線
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
if norm_b < r:
    ax.plot([b[0], tilde_b[0]], [b[1], tilde_b[1]], 
            color='blue', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルbの延長線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$r = '+str(r)+', ' +
             '\|\\tilde{a}\| = '+'{:.2f}'.format(np.linalg.norm(tilde_a))+', ' + 
             '\|\\tilde{b}\| = '+'{:.2f}$'.format(np.linalg.norm(tilde_b)), loc='left')
fig.suptitle('$\\tilde{x} = r \\frac{x}{\|x\|}$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　「半径 $r$ の円周」は中心からの距離が $r$ の点の集合なので、「ノルムが $r$ のベクトル $\tilde{\mathbf{x}}$ 」は円周上の点であり、円周とベクトル $\mathbf{x}$ (の延長線)の交点になる。

　円周上の2点が得られた。続いて、2点を結ぶ円弧を考える。

　ベクトル $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ それぞれと $\mathbf{e}_1$ のなす角を計算する。

# ベクトルaとx軸のなす角(ラジアン)を計算
sgn_a   = 1.0 if a[1] >= 0.0 else -1.0
theta_a = sgn_a * np.arccos(a[0] / np.linalg.norm(a))
print(theta_a)

# ベクトルbとx軸のなす角(ラジアン)を計算
sgn_b   = 1.0 if b[1] >= 0.0 else -1.0
theta_b = sgn_b * np.arccos(b[0] / np.linalg.norm(b))
print(theta_b)

-2.5535900500422257
2.356194490192345

　ベクトル $\mathbf{x}$ と標準単位ベクトル $\mathbf{e}_1 = (1, 0)$ の円座標 $(r, \theta)$ における角度(なす角) $\theta$ は、符号関数 $\mathrm{sgn}(x)$ を用いて、次の式で計算できる。

$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{sgn}(x) &= \begin{cases} -1 & (x \lt 0) \\ 1 & (x \geq 0) \\ \end{cases} \\ \theta &= \mathrm{sgn}(x_2) \arccos \left( \frac{x_1}{\|\mathbf{x}\|} \right) \end{aligned}$

　ベクトル $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ それぞれの角度に対する円弧の座標を計算する。

# 円弧用のラジアンを作成
t_a_vals = np.linspace(start=0.0, stop=theta_a, num=100)
t_b_vals = np.linspace(start=0.0, stop=theta_b, num=100)
print(t_a_vals[:5])
print(t_b_vals[:5])

# なす角aの円弧の座標を計算
arc_a_x_vals = r * np.cos(t_a_vals)
arc_a_y_vals = r * np.sin(t_a_vals)
print(arc_a_x_vals[:5])
print(arc_a_y_vals[:5])
print(np.linalg.norm(np.vstack([arc_a_x_vals[:5], arc_a_y_vals[:5]]), axis=0))

# なす角bの円弧の座標を計算
arc_b_x_vals = r * np.cos(t_b_vals)
arc_b_y_vals = r * np.sin(t_b_vals)
print(arc_b_x_vals[:5])
print(arc_b_y_vals[:5])
print(np.linalg.norm(np.vstack([arc_b_x_vals[:5], arc_b_y_vals[:5]]), axis=0))

[ 0.         -0.02579384 -0.05158768 -0.07738152 -0.10317536]
[0.         0.02379994 0.04759989 0.07139983 0.09519978]
[2.5        2.49916839 2.49667413 2.49251886 2.48670536]
[ 0.         -0.06447745 -0.128912   -0.19326079 -0.257481  ]
[2.5 2.5 2.5 2.5 2.5]
[2.5        2.49929199 2.49716835 2.49363029 2.48867981]
[0.         0.05949424 0.11895479 0.17834796 0.23764011]
[2.5 2.5 2.5 2.5 2.5]

　原点を中心とする半径が $r$ の円弧の座標 $\mathbf{z} = (z_1, z_2)$ は、 $0$ から $\theta_a, \theta_b$ までのラジアン $u$ を用いて、次の式で計算できる。

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} z_1 &= r \cos u \\ z_2 &= r \sin u \end{aligned} \right. ,\ \|\mathbf{z}\| = r$

　円周の座標と同様に、ノルムは半径になる。

　点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ それぞれと点 $r \mathbf{e}_1$ を結ぶ半径 $r$ の円弧を描画する。

# ラベル位置の調整値を指定
d = 1.2

# 2Dベクトルとx軸を結ぶ円弧を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.plot(circle_x_vals, circle_y_vals, 
        color='black', linewidth=1.5, linestyle=':') # 円周
ax.plot(arc_a_x_vals, arc_a_y_vals, 
        color='red', linewidth=2, linestyle='-.') # 円弧a
ax.plot(arc_b_x_vals, arc_b_y_vals, 
        color='blue', linewidth=2, linestyle='--') # 円弧b
ax.scatter(r, 0, 
           color='black', s=100, label='$r\ e_1 = (r, 0)$') # x軸線上の点
ax.scatter(*tilde_a, 
           color='red', s=100, 
           label='$\\tilde{a} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_a)) # 点a
ax.scatter(*tilde_b, 
           color='blue', s=100, 
           label='$\\tilde{b} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_b)) # 点b
ax.plot([0, r], [0, 0], 
        color='black', linewidth=2) # x軸線
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
if norm_a < r:
    ax.plot([a[0], tilde_a[0]], [a[1], tilde_a[1]], 
            color='red', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルaの延長線
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
if norm_b < r:
    ax.plot([b[0], tilde_b[0]], [b[1], tilde_b[1]], 
            color='blue', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルbの延長線
ax.text(d*r, 0, 
        s='$0$', size=15, ha='center', va='center') # ラジアンラベルe1
ax.text(*d*tilde_a, 
        s='$\\theta_a$', size=15, ha='center', va='center') # なす角aラベル
ax.text(*d*tilde_b, 
        s='$\\theta_b$', size=15, ha='center', va='center') # なす角bラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$r = {}'+str(r)+', ' + 
             '\\theta_a = {:.2f} \pi'.format(theta_a/np.pi)+', ' + 
             '\\theta_b = {:.2f} \pi$'.format(theta_b/np.pi), loc='left')
fig.suptitle('$\\theta = \mathrm{sgn(x_2)} \\arccos(\\frac{x_1}{\|x\|})$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　x軸線上の点 $r \mathbf{e}_1$ と $\theta_a, \theta_b$ 移動した点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ をそれぞれ結んだ円弧が得られた。

　なす角は劣角( $0$ から $\pi$ のラジアン)なので、点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ の近い方の円弧で結ぶため、(点の位置を移動せずに)角度を変換する。

# 角度の差が優角なら負の角度を優角に変換
if abs(theta_a - theta_b) > np.pi:
    theta_a = theta_a if theta_a >= 0.0 else theta_a + 2.0*np.pi
    theta_b = theta_b if theta_b >= 0.0 else theta_b + 2.0*np.pi
print(theta_a)
print(theta_b)

3.7295952571373605
2.356194490192345

　角度の差の絶対値が優角( $\pi$ から $2 \pi$ のラジアン) $|\theta_a - \theta_b| \gt \pi$ であれば、負の角度(y座標が負の方の角度)に $2 \pi$ を加え優角に変換して、左回りの円弧から右周りの円弧にする。

　1つ前のコードで、円弧の座標を計算して、円弧を描画する(ラベルの処理は変更している)。

・作図コード(クリックで展開)

# ラベル用の文字列を作成
angle_a_label = '\\theta_a' if theta_a <= np.pi else '\\theta_a + 2 \pi'
angle_b_label = '\\theta_b' if theta_b <= np.pi else '\\theta_b + 2 \pi'

# 2Dベクトルとx軸を結ぶ円弧を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.plot(circle_x_vals, circle_y_vals, 
        color='black', linewidth=1.5, linestyle=':') # 円周
ax.plot(arc_a_x_vals, arc_a_y_vals, 
        color='red', linewidth=2, linestyle='-.') # 円弧a
ax.plot(arc_b_x_vals, arc_b_y_vals, 
        color='blue', linewidth=2, linestyle='--') # 円弧b
ax.scatter(r, 0, 
           color='black', s=100, label='$r\ e_1 = (r, 0)$') # x軸線上の点
ax.scatter(*tilde_a, 
           color='red', s=100, 
           label='$\\tilde{a} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_a)) # 点a
ax.scatter(*tilde_b, 
           color='blue', s=100, 
           label='$\\tilde{b} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_b)) # 点b
ax.plot([0, r], [0, 0], 
        color='black', linewidth=2) # x軸線
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
if norm_a < r:
    ax.plot([a[0], tilde_a[0]], [a[1], tilde_a[1]], 
            color='red', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルaの延長線
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
if norm_b < r:
    ax.plot([b[0], tilde_b[0]], [b[1], tilde_b[1]], 
            color='blue', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルbの延長線
ax.text(d*r, 0, 
        s='$0$', size=15, ha='center', va='center') # ラジアンラベルe1
ax.text(*d*tilde_a, 
        s='$'+angle_a_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角aラベル
ax.text(*d*tilde_b, 
        s='$'+angle_b_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角bラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$r = {}'+str(r)+', ' + 
             angle_a_label+'= {:.2f} \pi'.format(theta_a/np.pi)+', ' + 
             angle_b_label+'= {:.2f} \pi$'.format(theta_b/np.pi), loc='left')
fig.suptitle('$\\theta = \mathrm{sgn(x_2)} \\arccos(\\frac{x_1}{\|x\|})$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　 $\theta_a, \theta_b$ に関するそれぞれの円弧を描画した。
　曲線が重ならない部分のみを描画するることで、 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のなす角に対応する円弧になる。

　点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ を結ぶ円弧の座標を計算する。

# 円弧用のラジアンを作成
u_vals = np.linspace(start=theta_a, stop=theta_b, num=100)
print(u_vals[:5])

# 円弧の座標を計算
arc_x_vals = r * np.cos(u_vals)
arc_y_vals = r * np.sin(u_vals)
print(arc_x_vals[:5])
print(arc_y_vals[:5])
print(np.linalg.norm(np.vstack([arc_x_vals[:5], arc_y_vals[:5]]), axis=0))

[3.72959526 3.71572252 3.70184979 3.68797705 3.67410432]
[-2.08012574 -2.09916298 -2.11779624 -2.13602194 -2.15383655]
[-1.38675049 -1.35776094 -1.3285101  -1.29900358 -1.26924706]
[2.5 2.5 2.5 2.5 2.5]

　 $\theta_a$ から $\theta_b$ までのラジアン $u$ を用いて、先ほどの式で計算する。

　点 $\tilde{\mathbf{a}}, \tilde{\mathbf{b}}$ を結ぶ半径 $r$ の円弧を描画する。

# 2Dベクトルを結ぶ円弧を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
ax.plot(circle_x_vals, circle_y_vals, 
        color='black', linewidth=1.5, linestyle=':') # 円周
ax.plot(arc_x_vals, arc_y_vals, 
        color='black', linewidth=2) # 円弧
ax.scatter(*tilde_a, 
           color='red', s=100, 
           label='$\\tilde{a} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_a)) # 点a
ax.scatter(*tilde_b, 
           color='blue', s=100, 
           label='$\\tilde{b} = '+'({:.2f}, {:.2f})$'.format(*tilde_b)) # 点b
ax.quiver(0, 0, *a, 
          color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
if norm_a < r:
    ax.plot([a[0], tilde_a[0]], [a[1], tilde_a[1]], 
            color='red', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルaの延長線
ax.quiver(0, 0, *b, 
          color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
          angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
if norm_b < r:
    ax.plot([b[0], tilde_b[0]], [b[1], tilde_b[1]], 
            color='blue', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルbの延長線
ax.text(*d*tilde_a, 
        s='$'+angle_a_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角aラベル
ax.text(*d*tilde_b, 
        s='$'+angle_b_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角bラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('$r = {}'+str(r)+', ' + 
             angle_a_label+'= {:.2f} \pi'.format(theta_a/np.pi)+', ' + 
             angle_b_label+'= {:.2f} \pi'.format(theta_b/np.pi)+', ' + 
             '\\theta = {:.2f} \pi$'.format(abs(theta_a - theta_b)/np.pi), loc='left')
fig.suptitle('$\\theta = \\arccos(\\frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|})$', fontsize=20)
ax.grid()
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　サイン関数とコサイン関数は $2 \pi$ で周期する $\sin \theta = \sin (\theta + 2 n \pi)$ 、 $\cos \theta = \cos (\theta + 2 n \pi)$ ので、円周上の点の座標は $(r \cos \theta, r \sin \theta) = (r \cos (\theta + 2 \pi), r \sin (\theta + 2 \pi))$ である。

　以上で、円周上の2点を結ぶ円弧が得られた。

　ちなみに、theta_a, theta_b の差の絶対値は、2つのベクトルのなす角と一致する。

# ベクトルa,bのなす角(ラジアン)を計算
cos_theta = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(a) / np.linalg.norm(b)
theta = np.arccos(cos_theta)
print(theta) # 0からπの値
print(theta / np.pi) # 0から1の値

1.373400766945016
0.43716704181099886

　詳しくは「なす角の描画」を参照のこと。

　ベクトルの値を変化させたアニメーションを作成する。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を指定
frame_num = 60

# 変化するベクトルを作成
alpha, beta = 4.0, 1.5
rad_n = np.linspace(start=0.0, stop=2.0*np.pi, num=frame_num+1)[:frame_num]
a_n = np.array(
    [alpha * np.cos(2.0 * rad_n), alpha * np.sin(2.0 * rad_n)]
).T
b_n = np.array(
    [beta * np.cos(rad_n), beta * np.sin(rad_n)]
).T

# 半径を指定
r = 2.5

# 円周の座標を計算
t_vals = np.linspace(start=0.0, stop=2.0*np.pi, num=100)
circle_x_vals = r * np.cos(t_vals)
circle_y_vals = r * np.sin(t_vals)

# グラフサイズを設定
axis_size = np.ceil(np.max([r, abs(alpha), abs(beta)])) + 1

# グラフオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor='white')
fig.suptitle('$\\theta_x = \mathrm{sgn(x_2)} \\arccos(\\frac{x_1}{\|x\|})$', fontsize=20)

# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目のベクトルを取得
    a = a_n[i]
    b = b_n[i]
    
    # ノルムを調整
    tilde_a = r * a / np.linalg.norm(a)
    tilde_b = r * b / np.linalg.norm(b)
    
    # ベクトルa・bとx軸のなす角(ラジアン)を計算
    sgn_a   = 1.0 if a[1] >= 0.0 else -1.0
    theta_a = sgn_a * np.arccos(a[0] / np.linalg.norm(a))
    sgn_b   = 1.0 if b[1] >= 0.0 else -1.0
    theta_b = sgn_b * np.arccos(b[0] / np.linalg.norm(b))
    
    # 角度の差が優角なら負の角度を優角に変換
    if abs(theta_a - theta_b) > np.pi:
        theta_a = theta_a if theta_a >= 0.0 else theta_a + 2.0*np.pi
        theta_b = theta_b if theta_b >= 0.0 else theta_b + 2.0*np.pi
    
    # なす角a・bの円弧の座標を計算
    u_a_vals = np.linspace(start=0.0, stop=theta_a, num=100)
    arc_a_x_vals = r * np.cos(u_a_vals)
    arc_a_y_vals = r * np.sin(u_a_vals)
    u_b_vals = np.linspace(start=0.0, stop=theta_b, num=100)
    arc_b_x_vals = r * np.cos(u_b_vals)
    arc_b_y_vals = r * np.sin(u_b_vals)
    
    # 円弧の座標を計算
    u_vals = np.linspace(start=theta_a, stop=theta_b, num=100)
    arc_x_vals = r * np.cos(u_vals)
    arc_y_vals = r * np.sin(u_vals)
    
    # ラベル用の文字列を作成
    angle_a_label = '\\theta_a' if theta_a <= np.pi else '\\theta_a + 2 \pi'
    angle_b_label = '\\theta_b' if theta_b <= np.pi else '\\theta_b + 2 \pi'
    
    # 2Dベクトルを結ぶ円弧を作図
    d = 1.2
    e = 0.05
    ax.plot(circle_x_vals, circle_y_vals, 
            color='black', linewidth=1.5, linestyle=':') # 円周
    ax.plot(arc_a_x_vals*(1.0+e), arc_a_y_vals*(1.0+e), 
            color='red', linewidth=3) # 円弧a
    ax.plot(arc_b_x_vals*(1.0-e), arc_b_y_vals*(1.0-e), 
            color='blue', linewidth=3) # 円弧b
    ax.plot(arc_x_vals, arc_y_vals, 
            color='black', linewidth=3) # 円弧
    ax.scatter(r, 0, 
               color='black', s=100, label='$r\ e_1 = (r, 0)$') # x軸線上の点
    ax.scatter(*tilde_a, 
               color='red', s=100, 
               label='$\\tilde{a} = '+'({: .2f}, {: .2f})$'.format(*tilde_a)) # 点a
    ax.scatter(*tilde_b, 
               color='blue', s=100, 
               label='$\\tilde{b} = '+'({: .2f}, {: .2f})$'.format(*tilde_b)) # 点b
    ax.plot([0, r], [0, 0], 
            color='black', linewidth=2) # x軸線
    ax.quiver(0, 0, *a, 
              color='red', units='dots', width=3, headwidth=5, 
              angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
    if np.linalg.norm(a) < r:
        ax.plot([a[0], tilde_a[0]], [a[1], tilde_a[1]], 
                color='red', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルaの延長線
    ax.quiver(0, 0, *b, 
              color='blue', units='dots', width=3, headwidth=5, 
              angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
    if np.linalg.norm(b) < r:
        ax.plot([b[0], tilde_b[0]], [b[1], tilde_b[1]], 
                color='blue', linewidth=2, linestyle=':') # ベクトルbの延長線
    ax.text(d*r, 0, 
            s='$0$', size=15, ha='center', va='center') # ラジアンラベルe1
    ax.text(*d*tilde_a, 
            s='$'+angle_a_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角aラベル
    ax.text(*d*tilde_b, 
            s='$'+angle_b_label+'$', size=15, ha='center', va='center') # なす角bラベル
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(-axis_size, axis_size+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(-axis_size, axis_size+1))
    ax.set_xlabel('$x_1$')
    ax.set_ylabel('$x_2$')
    ax.set_title('$r = {}'+str(r)+', ' + 
                 angle_a_label+'= {: .2f} \pi'.format(theta_a/np.pi)+', ' + 
                 angle_b_label+'= {: .2f} \pi'.format(theta_b/np.pi)+', ' + 
                 '\\theta = {: .2f} \pi$'.format(abs(theta_a - theta_b)/np.pi), loc='left')
    ax.grid()
    ax.legend(loc='upper left')
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save(filename='2d_arc_ab.gif')