はじめに
R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズです。
この記事では、co関数のグラフを作成します。
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cot関数の可視化
三角関数(trigonometric functions)・円関数(circular functions)の1つであるcot関数(余接関数・コタンジェント関数・cotangent function)をグラフで確認します。
ggplot2パッケージなどを使って作図します。
・作図コード(クリックで展開)
利用するパッケージを読み込みます。
# 利用パッケージ library(tidyverse) library(gganimate) library(patchwork) library(magick)
この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()
の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2
を読み込む必要があります。
また、ネイティブパイプ演算子|>
を使っています。magrittr
パッケージのパイプ演算子%>%
に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittr
も読み込む必要があります。
定義式の確認
まずは、cot関数の定義式を確認します。
cot関数は、tan関数の逆数で定義されます。
はタンジェント関数、
はサイン関数、
はコサイン関数です。tan関数については「【R】tan関数の可視化 - からっぽのしょこ」、sin関数については「【R】sin関数の可視化 - からっぽのしょこ」、cos関数については「【R】cos関数の可視化 - からっぽのしょこ」を参照してください。
ただし、 を整数として
のとき、
なので、0除算になるため定義できません。
は円周率で、変数
は弧度法の角度(ラジアン)です。
cot関数の作図
次に、cot関数のグラフを作成します。
・作図コード(クリックで展開)
変数の値(ベクトル)を設定します。
# 関数曲線用のラジアンを指定 theta_vec <- seq(from = -2.5*pi, to = 2.5*pi, length.out = 1000) head(theta_vec)
## [1] -7.853982 -7.838258 -7.822534 -7.806811 -7.791087 -7.775363
曲線の座標計算に用いる変数(ラジアン) の範囲を指定して
theta_vec
とします。円周率 は
pi
で扱えます。
cot関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。
# 閾値を指定 threshold <- 4 # cot関数を計算 cot_df <- tibble::tibble( t = theta_vec, tan_t = tan(theta_vec), cot_t = 1/tan(theta_vec) ) |> dplyr::mutate( tan_t = dplyr::if_else( condition = (tan_t >= -threshold & tan_t <= threshold), true = tan_t, false = NA_real_ ), # 閾値外の値を欠損値に置換 cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -threshold & cot_t <= threshold), true = cot_t, false = NA_real_ ) # 閾値外の値を欠損値に置換 ) cot_df
## # A tibble: 1,000 × 3 ## t tan_t cot_t ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 -7.85 NA -3.06e-16 ## 2 -7.84 NA -1.57e- 2 ## 3 -7.82 NA -3.15e- 2 ## 4 -7.81 NA -4.72e- 2 ## 5 -7.79 NA -6.30e- 2 ## 6 -7.78 NA -7.88e- 2 ## 7 -7.76 NA -9.46e- 2 ## 8 -7.74 NA -1.11e- 1 ## 9 -7.73 NA -1.26e- 1 ## 10 -7.71 NA -1.42e- 1 ## # … with 990 more rows
の値と
の値をデータフレームに格納します。cot関数は
tan()
を使って計算できます。tan関数の値は比較に使います。
(
は整数)付近で
または
に近付くので、閾値
threshold
を指定しておき、-threshold
未満またはthreshold
より大きい場合は(数値型の)欠損値NA
に置き換えます。
x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。装飾用の処理です。
# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定 denom <- 2 # 目盛の通し番号(分子の値)を作成 numer_vec <- seq( from = floor(min(theta_vec) / pi * denom), to = ceiling(max(theta_vec) / pi * denom), by = 1 ) # 目盛ラベル用の文字列を作成 label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") head(numer_vec); head(label_vec)
## [1] -5 -4 -3 -2 -1 0 ## [1] "-frac(5, 2)~pi" "-frac(4, 2)~pi" "-frac(3, 2)~pi" "-frac(2, 2)~pi" ## [5] "-frac(1, 2)~pi" "frac(0, 2)~pi"
角度 に関する軸目盛ラベルを
を整数として
の形で表示することにします。
を
denom
として整数を指定します。 は、半周期
の範囲における目盛の数に対応します。
theta_vec
に対して、 を
について整理した
を計算して、最小値(の小数部分を
floor()
で切り捨てた値)から最大値(の小数部分をceiling()
で切り上げた値)までの整数を作成してnumer_vec
とします。
numer_vec, denom
を使って目盛ラベル用の文字列を作成します。
ギリシャ文字などの記号や数式を表示する場合は、expression()
の記法を用います。オブジェクト(プログラム上の変数)の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()
のtext
引数に渡します。"frac(分子, 分母)"
で分数、"~"
でスペースを表示します。
漸近線を描画するためのベクトルを作成します。
# 漸近線用の値を作成 asymptote_vec <- seq( from = floor(min(theta_vec) / pi) + 1, to = floor(max(theta_vec) / pi), by = 1 ) * pi asymptote_vec; asymptote_vec*2/pi
## [1] -6.283185 -3.141593 0.000000 3.141593 6.283185 ## [1] -4 -2 0 2 4
(
の倍数)のとき
が発散するので、
theta_vec
の範囲内の の値を(上手いことして)作成します。
cot関数のグラフを作成します。
# cot関数を作図 ggplot() + geom_line(data = cot_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t, linetype = "cot"), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_line(data = cot_df, mapping = aes(x = t, y = tan_t, linetype = "tan"), size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線 geom_vline(xintercept = asymptote_vec, linetype = "dashed") + # 漸近線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 目盛ラベル scale_linetype_manual(breaks = c("cot", "tan"), values = c("solid", "dotted"), name = "function") + # (凡例表示用) coord_fixed(ratio = 1) + # アスペクト比 labs(title = "cotangent function", x = expression(theta), y = expression(cot~theta))
x軸を 、y軸を
として、
geom_line()
でcot関数の曲線を描画します。また、 の曲線を点線で描画します。
x軸が の点(
の前後
間隔)に、
geom_vline()
で漸近線を破線で描画します。
となる
が漸近線なのが分かります。
単位円の作図
続いて、cot関数の可視化に利用する単位円(unit circle)のグラフを確認します。円やラジアン(弧度法の角度)については「円周の作図」を参照してください。
・作図コード(クリックで展開)
単位円を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半径を指定 r <- 1 # 円周の座標を計算 circle_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), # ラジアン x = r * cos(t), y = r * sin(t) ) circle_df
## # A tibble: 601 × 3 ## t x y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 1 0 ## 2 0.0105 1.00 0.0105 ## 3 0.0209 1.00 0.0209 ## 4 0.0314 1.00 0.0314 ## 5 0.0419 0.999 0.0419 ## 6 0.0524 0.999 0.0523 ## 7 0.0628 0.998 0.0628 ## 8 0.0733 0.997 0.0732 ## 9 0.0838 0.996 0.0837 ## 10 0.0942 0.996 0.0941 ## # … with 591 more rows
円周の座標計算用のラジアンとして の範囲の値を作成して、x軸の値
、y軸の値
を計算します。
円周上に角度(ラジアン)目盛を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半円の目盛の数(分母の値)を指定 denom <- 6 # 角度目盛ラベルの描画用 d <- 1.1 radian_lable_df <- tibble::tibble( nomer = seq(from = 0, to = 2*denom-1, by = 1), # 目盛の通し番号(分子の値)を作成 t_deg = nomer / denom * 180, # 度数法 t_rad = nomer / denom * pi, # 弧度法 x = r * cos(t_rad), y = r * sin(t_rad), label_x = d * x, label_y = d * y, rad_label = paste0("frac(", nomer, ", ", denom, ")~pi"), # ラジアンラベル h = 1 - (x * 0.5 + 0.5), v = 1 - (y * 0.5 + 0.5) ) radian_lable_df
## # A tibble: 12 × 10 ## nomer t_deg t_rad x y label_x label_y rad_label h ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <dbl> ## 1 0 0 0 1 e+ 0 0 1.1 e+ 0 0 frac(0, 6)~… 0 ## 2 1 30 0.524 8.66e- 1 5 e- 1 9.53e- 1 5.5 e- 1 frac(1, 6)~… 0.0670 ## 3 2 60 1.05 5 e- 1 8.66e- 1 5.5 e- 1 9.53e- 1 frac(2, 6)~… 0.25 ## 4 3 90 1.57 6.12e-17 1 e+ 0 6.74e-17 1.1 e+ 0 frac(3, 6)~… 0.5 ## 5 4 120 2.09 -5 e- 1 8.66e- 1 -5.5 e- 1 9.53e- 1 frac(4, 6)~… 0.75 ## 6 5 150 2.62 -8.66e- 1 5 e- 1 -9.53e- 1 5.5 e- 1 frac(5, 6)~… 0.933 ## 7 6 180 3.14 -1 e+ 0 1.22e-16 -1.1 e+ 0 1.35e-16 frac(6, 6)~… 1 ## 8 7 210 3.67 -8.66e- 1 -5 e- 1 -9.53e- 1 -5.5 e- 1 frac(7, 6)~… 0.933 ## 9 8 240 4.19 -5.00e- 1 -8.66e- 1 -5.50e- 1 -9.53e- 1 frac(8, 6)~… 0.75 ## 10 9 270 4.71 -1.84e-16 -1 e+ 0 -2.02e-16 -1.1 e+ 0 frac(9, 6)~… 0.5 ## 11 10 300 5.24 5 e- 1 -8.66e- 1 5.5 e- 1 -9.53e- 1 frac(10, 6)… 0.25 ## 12 11 330 5.76 8.66e- 1 -5.00e- 1 9.53e- 1 -5.50e- 1 frac(11, 6)… 0.0670 ## # … with 1 more variable: v <dbl>
目盛指示線や目盛グリッド用の座標をx, y
列、目盛ラベル用の座標をlabel_x, label_y
列とします。ラベルの表示位置をd
で調整します。
円周と角度目盛のグラフを作成します。
# グラフサイズ用の値を指定 axis_size <- 1.4 # 単位円を作図 ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), linetype = "dotted") + # 角度目盛グリッド coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "unit circle", subtitle = parse(text = paste0("r==", r)), x = expression(x == r~cos~theta), y = expression(y == r~sin~theta))
このグラフ上に三角関数の値を直線として描画します。
単位円上のcot関数の可視化
次は、単位円上における三角関数(cot・tan・sin・cos・exsec・excsc)のグラフを作成します。
グラフの作成
変数を固定したcot関数をグラフで確認します。
・作図コード(クリックで展開)
変数の値(スカラ)を設定します。
# 円周上の点用のラジアンを指定 theta <- 2/6 * pi theta
## [1] 1.047198
円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) を
theta
として値を指定します。
円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。
# 単位円上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta) ) point_df
## # A tibble: 1 × 3 ## t sin_t cos_t ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 1.05 0.866 0.5
の値と
の値をデータフレームに格納します。
角マークを描画するためのデータフレームを作成します。
# 角マークの座標を計算 d <- 0.15 angle_mark_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) angle_mark_df
## # A tibble: 100 × 3 ## t x y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 0.15 0 ## 2 0.0106 0.150 0.00159 ## 3 0.0212 0.150 0.00317 ## 4 0.0317 0.150 0.00476 ## 5 0.0423 0.150 0.00634 ## 6 0.0529 0.150 0.00793 ## 7 0.0635 0.150 0.00951 ## 8 0.0740 0.150 0.0111 ## 9 0.0846 0.149 0.0127 ## 10 0.0952 0.149 0.0143 ## # … with 90 more rows
2つの線分のなす角 を示す角マークを描画するために、
から
までのラジアンを作成して、円弧の座標を計算します。サイズの調整用の値(半径)を
d
とします。
角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# 角ラベルの座標を計算 d <- 0.21 angle_label_df <- tibble::tibble( t = 0.5 * theta, x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) angle_label_df
## # A tibble: 1 × 3 ## t x y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0.524 0.182 0.105
角マークの中点に角ラベルを配置するために、 のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。表示位置の調整用の値(原点からのノルム)を
d
とします。
ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。
パターン1
1つ目の方法では、x軸線から伸びる直線としてcot関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), y_from = c(0, 0, 0, 0), x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用 ) radius_df
## # A tibble: 4 × 5 ## x_from y_from x_to y_to type ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 0 0 1 0 normal ## 2 0 0 0.5 0.866 normal ## 3 0 0 0 1 thin ## 4 0.577 0 0.577 1 thin
原点と点 を結ぶ線分(x軸線の正の部分)と、原点と円周上の点
を結ぶ線分を描画するために、2つの線分の座標を格納します。
また、関数直線の補助線として、長さが半径と同じ線分の座標を(次のデータフレームの座標を睨めっこして)格納します。
なす角用の線分と補助線用の線分を、線の太さで描き分けることにします。type
列として、それぞれの線区別する文字列を指定します。文字列の内容は自由です。
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), type = c( "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin") # 太さ用 ) function_line_df
## # A tibble: 9 × 6 ## fnc x_from y_from x_to y_to type ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot 0 0 0.577 0 bold ## 2 cot 0 1 0.577 1 normal ## 3 tan 1 0 1 1.73 normal ## 4 sin 0 0 0 0.866 normal ## 5 sin 0.5 0 0.5 0.866 normal ## 6 cos 0 0 0.5 0 thin ## 7 cos 0 0.866 0.5 0.866 normal ## 8 exsec 0.5 0.866 1 1.73 bold ## 9 excsc 0.5 0.866 0.577 1 thin
関数を区別するためのfnc
列の因子レベルをfnc_level_vec
として指定しておきます。因子レベルは、線分の描画順(重なり順)や色付け順に影響します。
各線分の始点の座標をx_from, y_from
列、終点の座標をx_to, y_to
列として、完成図を見ながら頑張って指定します。
重なる線分を、線の太さで描き分けることにします。先に描画される線分を太く、後から描画される線分を細くするように、先ほどの文字列をtype
列に指定します。
関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 / tan(theta), 1, 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (cos(theta) + 1), 0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta)) ), y = c( 1, 0.5 * tan(theta), 0.5 * sin(theta), 0, 0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 0.5 * (sin(theta) + 1) ), angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) function_label_df
## # A tibble: 6 × 7 ## fnc x y angle h v fnc_label ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot 0.289 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 2 tan 1 0.866 90 0.5 1 tan~theta ## 3 sin 0 0.433 90 0.5 -0.5 sin~theta ## 4 cos 0.25 0 0 0.5 1 cos~theta ## 5 exsec 0.75 1.30 0 1.1 0.5 exsec~theta ## 6 excsc 0.539 0.933 0 -0.1 0.5 excsc~theta
この例では、関数を示す線分の中点に関数名を表示するため、中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。
ラベルの表示角度をangle
列、表示角度に応じた左右の表示位置をh
列、上下の表示位置をv
列として値を指定します。
変数と関数の値を表示するための文字列を作成します。
# 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) variable_label
## [1] "list(theta==0.33*pi, cot~theta==0.58, tan~theta==1.73, sin~theta==0.87, cos~theta==0.5, exsec~theta==1, excsc~theta==0.15)"
"=="
で等号、"list(変数1, 変数2)"
で複数の(数式上の)変数を並べて表示します。(プログラム上の)変数の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()
のtext
引数に渡します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。
# グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 1.3 x_min <- min(-axis_size, 1/tan(theta)) x_max <- max(axis_size, 1/tan(theta)) y_min <- min(-axis_size, tan(theta)) y_max <- max(axis_size, tan(theta)) # 単位円上の三角関数直線を作図 ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(x_min, x_max), ylim = c(y_min, y_max)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y")
geom_segment()
で線分を描画して、各関数の値を直線で示します。
geom_label()
でラベル(文字列)を描画します。
cot関数の定義式 やこの図から、
なのが分かります。cot関数の値は、「原点と円周上の点
を通る直線」と「
の直線(破線)」の交点のx軸の値(横幅)です。
と
も三角関数の一種ですが、まぁいいでしょう。
パターン2
2つ目の方法では、円周上の点から伸びる直線としてtan関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_to = c(1, cos(theta), 0), y_to = c(0, sin(theta), ifelse(sin(theta) >= 0, yes = 1, no = 0)), type = c("normal", "normal", "thin") # 太さ用 ) radius_df
## # A tibble: 3 × 3 ## x_to y_to type ## <dbl> <dbl> <chr> ## 1 1 0 normal ## 2 0.5 0.866 normal ## 3 0 1 thin
先ほどと同様に、なす角 のための2つの線分の終点の座標を格納します。
また、関数直線の補助線として、 が正の値(
)のとき、原点と点
を結ぶ線分の座標を格納します。
が負の値(
)のときは、原点の座標(線分にならないように座標)を格納します。
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( cos(theta), cos(theta), 0, 0, 0, 0, 1, 0 ), y_from = c( sin(theta), sin(theta), 0, 0, sin(theta), ifelse(sin(theta) >= 0, yes = 1, no = -1), 0, 1 ), x_to = c( 0, 1/cos(theta), 0, abs(sin(theta))*cos(theta), cos(theta), abs(sin(theta))*cos(theta), 1/cos(theta), 0 ), y_to = c( 1/sin(theta), 0, sin(theta), abs(sin(theta))*sin(theta), sin(theta), abs(sin(theta))*sin(theta), 0, 1/sin(theta) ), type = c("normal", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin") # 太さ用 ) function_line_df
## # A tibble: 8 × 6 ## fnc x_from y_from x_to y_to type ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot 0.5 0.866 0 1.15 normal ## 2 tan 0.5 0.866 2 0 normal ## 3 sin 0 0 0 0.866 bold ## 4 sin 0 0 0.433 0.75 normal ## 5 cos 0 0.866 0.5 0.866 normal ## 6 cos 0 1 0.433 0.75 normal ## 7 exsec 1 0 2 0 normal ## 8 excsc 0 1 0 1.15 thin
先ほどの様に、線分の座標を格納します。
関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 * cos(theta), 0.5 * (1/cos(theta) + cos(theta)), 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (1 + 1/cos(theta)), 0 ), y = c( 0.5 * (1/sin(theta) + sin(theta)), 0.5 * sin(theta), 0.5 * sin(theta), sin(theta), 0, 0.5 * (1 + 1/sin(theta)) ), angle = c(0, 0, 90, 0, 0, 90), h = c(-0.2, -0.2, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5), v = c(0.5, 0.5, -0.5, -0.5, 1, 1), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) function_label_df
## # A tibble: 6 × 7 ## fnc x y angle h v fnc_label ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot 0.25 1.01 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 2 tan 1.25 0.433 0 -0.2 0.5 tan~theta ## 3 sin 0 0.433 90 0.5 -0.5 sin~theta ## 4 cos 0.25 0.866 0 0.5 -0.5 cos~theta ## 5 exsec 1.5 0 0 0.5 1 exsec~theta ## 6 excsc 0 1.08 90 0.5 1 excsc~theta
線分の中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。
# グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 1.3 x_min <- min(-axis_size, 1/cos(theta)) x_max <- max(axis_size, 1/cos(theta)) y_min <- min(-axis_size, 1/sin(theta)) y_max <- max(axis_size, 1/sin(theta)) # 単位円上の三角関数直線を作図 ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(x_min, x_max), ylim = c(y_min, y_max)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y")
こちらの図は、原点と円周上の点 を結ぶ線分を底辺、y軸線の一部を斜辺としたときのパターン1の図と言えます。文字通り首を捻って見てください。
cot関数の値は、「原点と円周上の点 を通る直線」に対する「円周上の点
を通る垂線」と「
の直線(破線)」の「交点
と円周上の点
を結ぶ線分」の長さです。
アニメーションの作成
続いて、変数の値を変化させたcot関数をアニメーションで確認します。
・作図コード(クリックで展開)
フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。
# フレーム数を指定 frame_num <- 150 # 変数の値を作成 theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num] head(theta_i)
## [1] -6.283185 -6.199410 -6.115634 -6.031858 -5.948082 -5.864306
フレーム数frame_num
を指定して、円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) の値を等間隔に
frame_num
個作成します。範囲を にして
frame_num + 1
個の等間隔の値を作成して最後の値を除くと、最後のフレームと最初のフレームがスムーズに繋がります。
フレーム切替用のラベルとして用いる文字列ベクトルを作成します。
# 変数ラベル用の文字列を作成 frame_label_vec <- paste0( "θ = ", round(theta_i/pi, digits = 2), " π", ", cot θ = ", round(1/tan(theta_i), digits = 2), ", tan θ = ", round(tan(theta_i), digits = 2), ", sin θ = ", round(sin(theta_i), digits = 2), ", cos θ = ", round(cos(theta_i), digits = 2), ", exsec θ = ", round(1/cos(theta_i)-1, digits = 2), ", excsc θ = ", round(1/sin(theta_i)-1, digits = 2) ) head(frame_label_vec)
## [1] "θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = 1, exsec θ = 0, excsc θ = 4082944682095960" ## [2] "θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, cos θ = 1, exsec θ = 0, excsc θ = 10.95" ## [3] "θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, cos θ = 0.99, exsec θ = 0.01, excsc θ = 5" ## [4] "θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, cos θ = 0.97, exsec θ = 0.03, excsc θ = 3.02" ## [5] "θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, cos θ = 0.94, exsec θ = 0.06, excsc θ = 2.04" ## [6] "θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, cos θ = 0.91, exsec θ = 0.09, excsc θ = 1.46"
この例では、フレームごとの変数と関数の値をグラフに表示するために、theta_i
を用いた文字列をフレーム切替用のラベル列として使います。フレーム番号として、通し番号を用いても作図できます。
円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。
# 曲線上の点の描画用 anim_point_df <- tibble::tibble( t = theta_i, sin_t = sin(theta_i), cos_t = cos(theta_i), frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_point_df
## # A tibble: 150 × 4 ## t sin_t cos_t frame_label ## <dbl> <dbl> <dbl> <fct> ## 1 -6.28 2.45e-16 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin … ## 2 -6.20 8.37e- 2 0.996 θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = … ## 3 -6.12 1.67e- 1 0.986 θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0… ## 4 -6.03 2.49e- 1 0.969 θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0… ## 5 -5.95 3.29e- 1 0.944 θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0… ## 6 -5.86 4.07e- 1 0.914 θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0… ## 7 -5.78 4.82e- 1 0.876 θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, sin θ = 0… ## 8 -5.70 5.53e- 1 0.833 θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, sin θ = 0… ## 9 -5.61 6.21e- 1 0.784 θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, sin θ = 0… ## 10 -5.53 6.85e- 1 0.729 θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, sin θ = 0… ## # … with 140 more rows
の値と
の値をフレーム切替用のラベルとあわせて格納します。
角マークを描画するためのデータフレームを作成します。
# フレームごとの角マークの座標を計算 d <- 0.15 anim_angle_mark_df <- tibble::tibble( frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号 frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec), # フレーム切替用ラベル ) |> dplyr::group_by(frame_i, frame_label) |> # ラジアンの作成用 dplyr::summarise( t = seq(from = 0, to = theta_i[frame_i], length.out = 100), .groups = "drop" ) |> # なす角以下のラジアンを作成 dplyr::mutate( x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) anim_angle_mark_df
## # A tibble: 15,000 × 5 ## frame_i frame_label t x y ## <int> <fct> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… 0 0.15 0 ## 2 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.0635 0.150 -0.00951 ## 3 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.127 0.149 -0.0190 ## 4 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.190 0.147 -0.0284 ## 5 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.254 0.145 -0.0377 ## 6 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.317 0.143 -0.0468 ## 7 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.381 0.139 -0.0557 ## 8 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.444 0.135 -0.0645 ## 9 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.508 0.131 -0.0729 ## 10 1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.571 0.126 -0.0811 ## # … with 14,990 more rows
フレーム列でグループ化してフレーム(変数の値)ごとに、summarise()
を使って0
から各フレームの角度theta_n[frame_i]
までの値を作成して、円弧の座標を計算します。
角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# フレームごとの角ラベルの座標を計算 d <- 0.21 anim_angle_label_df <- tibble::tibble( frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号 t = 0.5 * theta_i, x = d * cos(t), y = d * sin(t), frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_angle_label_df
## # A tibble: 150 × 5 ## frame_i t x y frame_label ## <int> <dbl> <dbl> <dbl> <fct> ## 1 1 -3.14 -0.21 -2.57e-17 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… ## 2 2 -3.10 -0.210 -8.79e- 3 θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08,… ## 3 3 -3.06 -0.209 -1.76e- 2 θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, … ## 4 4 -3.02 -0.208 -2.63e- 2 θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, … ## 5 5 -2.97 -0.207 -3.50e- 2 θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, … ## 6 6 -2.93 -0.205 -4.37e- 2 θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, … ## 7 7 -2.89 -0.203 -5.22e- 2 θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, … ## 8 8 -2.85 -0.201 -6.07e- 2 θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, … ## 9 9 -2.81 -0.198 -6.91e- 2 θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, … ## 10 10 -2.76 -0.195 -7.73e- 2 θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, … ## # … with 140 more rows
フレームごとの角マークの中点に角ラベルを配置するために、 のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。
ここまでは、共通の処理です。ここからは、「グラフの作成」のときと同様に2つの方法で図示します。
パターン1
・作図コード(クリックで展開)
半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半径の線分の座標を格納 anim_radius_df <- tibble::tibble( x_from = c( rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 1/tan(theta_i) ), y_from = c( rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num) ), x_to = c( rep(1, times = frame_num), cos(theta_i), rep(0, times = frame_num), 1/tan(theta_i) ), y_to = c( rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), rep(1, times = frame_num), rep(1, times = frame_num) ), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") |> rep(each = frame_num), # 太さ用 frame_label = frame_label_vec |> rep(times = 4) |> # (4は線分の数) factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_radius_df
## # A tibble: 600 × 6 ## x_from y_from x_to y_to type frame_label ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <fct> ## 1 0 0 1 0 normal θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan … ## 2 0 0 1 0 normal θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.0… ## 3 0 0 1 0 normal θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17… ## 4 0 0 1 0 normal θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26… ## 5 0 0 1 0 normal θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35… ## 6 0 0 1 0 normal θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45… ## 7 0 0 1 0 normal θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55… ## 8 0 0 1 0 normal θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66… ## 9 0 0 1 0 normal θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79… ## 10 0 0 1 0 normal θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94… ## # … with 590 more rows
「グラフの作成」のときと同様に、フレーム数分の原点と点 の座標と、フレームごとの点
の座標、また補助線用の線分の座標を格納します。
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # 関数直線の線分の座標を格納 anim_function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> rep(each = frame_num) |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), cos(theta_i), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), cos(theta_i), cos(theta_i) ), y_from = c( rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), sin(theta_i), sin(theta_i) ), x_to = c( 1/tan(theta_i), 1/tan(theta_i), rep(1, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), cos(theta_i), cos(theta_i), cos(theta_i), rep(1, times = frame_num), 1/tan(theta_i) ), y_to = c( rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), tan(theta_i), sin(theta_i), sin(theta_i), rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), tan(theta_i), rep(1, times = frame_num) ), type = c( "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin") |> rep(each = frame_num), # 太さ用 label_flag = c(FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE) |> rep(each = frame_num), # # 関数ラベル用 frame_label = frame_label_vec |> rep(times = 9) |> # (9は線分の数) factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_function_line_df
## # A tibble: 1,350 × 8 ## fnc x_from y_from x_to y_to type label_flag frame_label ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <lgl> <fct> ## 1 cot 0 0 4.08e15 0 bold FALSE θ = -2 π, cot θ = 4082… ## 2 cot 0 0 1.19e 1 0 bold FALSE θ = -1.97 π, cot θ = 1… ## 3 cot 0 0 5.91e 0 0 bold FALSE θ = -1.95 π, cot θ = 5… ## 4 cot 0 0 3.89e 0 0 bold FALSE θ = -1.92 π, cot θ = 3… ## 5 cot 0 0 2.87e 0 0 bold FALSE θ = -1.89 π, cot θ = 2… ## 6 cot 0 0 2.25e 0 0 bold FALSE θ = -1.87 π, cot θ = 2… ## 7 cot 0 0 1.82e 0 0 bold FALSE θ = -1.84 π, cot θ = 1… ## 8 cot 0 0 1.51e 0 0 bold FALSE θ = -1.81 π, cot θ = 1… ## 9 cot 0 0 1.26e 0 0 bold FALSE θ = -1.79 π, cot θ = 1… ## 10 cot 0 0 1.06e 0 0 bold FALSE θ = -1.76 π, cot θ = 1… ## # … with 1,340 more rows
線分ごとにframe_num
個の座標を格納します。
また、関数ラベルを描画する線分をlabel_flag
列に指定しておきます。関数ごとに、ラベルを表示する1つの線分をTRUE
、それ以外をFALSE
とします。
関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルの座標を計算 anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出 dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用 dplyr::summarise( x = median(c(x_from, x_to)), y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop" ) |> # 線分の中点に配置 tibble::add_column( angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0) |> rep(each = frame_num), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1) |> rep(each = frame_num), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5) |> rep(each = frame_num), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") |> rep(each = frame_num) # 関数ラベル ) anim_function_label_df
## # A tibble: 900 × 8 ## fnc frame_label x y angle h v fnc_label ## <fct> <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot θ = -2 π, cot θ = 408280… 2.04e+15 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 2 cot θ = -1.97 π, cot θ = 11.… 5.95e+ 0 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 3 cot θ = -1.95 π, cot θ = 5.9… 2.96e+ 0 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 4 cot θ = -1.92 π, cot θ = 3.8… 1.95e+ 0 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 5 cot θ = -1.89 π, cot θ = 2.8… 1.44e+ 0 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 6 cot θ = -1.87 π, cot θ = 2.2… 1.12e+ 0 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 7 cot θ = -1.84 π, cot θ = 1.8… 9.09e- 1 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 8 cot θ = -1.81 π, cot θ = 1.5… 7.53e- 1 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 9 cot θ = -1.79 π, cot θ = 1.2… 6.31e- 1 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## 10 cot θ = -1.76 π, cot θ = 1.0… 5.32e- 1 1 0 0.5 -0.5 cot~theta ## # … with 890 more rows
anim_function_line_df
からlabel_flag
列がTRUE
の行(線分)を取り出して、fnc, frame_label
列でグループ化して関数(線分)とフレームごとに、中点の座標をmedian()
で計算します。
また、ラベル用の文字列などの列を追加します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。
# グラフサイズ用の値を指定 x_size <- 2 y_size <- 2 # 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図 anim <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = anim_point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_segment(data = anim_radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = anim_angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = anim_angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = anim_function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = anim_function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = "{current_frame}", color = "function", x = "x", y = "y") # gif画像を作成 gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 800, height = 800)
gganimate
パッケージを利用して、アニメーション(gif画像)を作成します。
transition_manual()
のフレーム制御の引数frames
にフレーム(変数)ラベル列frame_label
を指定して、グラフを作成します。
animate()
のplot
引数にグラフオブジェクト、nframes
引数にフレーム数frame_num
を指定して、gif画像を作成します。また、fps
引数に1秒当たりのフレーム数を指定できます。
のとき
なので、原点と円周上の点を結ぶ線分が水平になりその垂線が
の直線と平行なため交点ができず、
を描画(定義)できないのが分かります。
パターン2
・作図コード(クリックで展開)
半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。
# 半径の線分の座標を格納 anim_radius_df <- tibble::tibble( x_to = c( rep(1, times = frame_num), cos(theta_i), rep(0, times = frame_num) ), y_to = c( rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), ifelse(sin(theta_i) >= 0, yes = 1, no = 0) ), type = c("normal", "normal", "thin") |> rep(each = frame_num), # 太さ用 frame_label = frame_label_vec |> rep(times = 3) |> # (3は線分の数) factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_radius_df
## # A tibble: 450 × 4 ## x_to y_to type frame_label ## <dbl> <dbl> <chr> <fct> ## 1 1 0 normal θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin θ… ## 2 1 0 normal θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = 0.… ## 3 1 0 normal θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0.1… ## 4 1 0 normal θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0.2… ## 5 1 0 normal θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0.3… ## 6 1 0 normal θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0.4… ## 7 1 0 normal θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, sin θ = 0.4… ## 8 1 0 normal θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, sin θ = 0.5… ## 9 1 0 normal θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, sin θ = 0.6… ## 10 1 0 normal θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, sin θ = 0.6… ## # … with 440 more rows
先ほどと同様に、半径を示す線分と補助線用の線分の座標を格納します。
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数直線の線分の座標を格納 anim_function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> rep(each = frame_num) |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( cos(theta_i), cos(theta_i), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), rep(0, times = frame_num) ), y_from = c( sin(theta_i), sin(theta_i), rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), ifelse(sin(theta_i) >= 0, yes = 1, no = -1), rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num) ), x_to = c( rep(0, times = frame_num), 1/cos(theta_i), rep(0, times = frame_num), abs(sin(theta_i))*cos(theta_i), cos(theta_i), abs(sin(theta_i))*cos(theta_i), 1/cos(theta_i), rep(0, times = frame_num) ), y_to = c( 1/sin(theta_i), rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), abs(sin(theta_i))*sin(theta_i), sin(theta_i), abs(sin(theta_i))*sin(theta_i), rep(0, times = frame_num), 1/sin(theta_i) ), type = c("normal", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin") |> rep(each = frame_num), # 太さ用 label_flag = c(TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE) |> rep(each = frame_num), # # 関数ラベル用 frame_label = frame_label_vec |> rep(times = 8) |> # (8は線分の数) factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル ) anim_function_line_df
## # A tibble: 1,200 × 8 ## fnc x_from y_from x_to y_to type label_flag frame_label ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <lgl> <fct> ## 1 cot 1 2.45e-16 0 4.08e15 normal TRUE θ = -2 π, cot θ = 4… ## 2 cot 0.996 8.37e- 2 0 1.20e 1 normal TRUE θ = -1.97 π, cot θ … ## 3 cot 0.986 1.67e- 1 0 6.00e 0 normal TRUE θ = -1.95 π, cot θ … ## 4 cot 0.969 2.49e- 1 0 4.02e 0 normal TRUE θ = -1.92 π, cot θ … ## 5 cot 0.944 3.29e- 1 0 3.04e 0 normal TRUE θ = -1.89 π, cot θ … ## 6 cot 0.914 4.07e- 1 0 2.46e 0 normal TRUE θ = -1.87 π, cot θ … ## 7 cot 0.876 4.82e- 1 0 2.08e 0 normal TRUE θ = -1.84 π, cot θ … ## 8 cot 0.833 5.53e- 1 0 1.81e 0 normal TRUE θ = -1.81 π, cot θ … ## 9 cot 0.784 6.21e- 1 0 1.61e 0 normal TRUE θ = -1.79 π, cot θ … ## 10 cot 0.729 6.85e- 1 0 1.46e 0 normal TRUE θ = -1.76 π, cot θ … ## # … with 1,190 more rows
線分の座標を格納します。
関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数ラベルの座標を計算 anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出 dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用 dplyr::summarise( x = median(c(x_from, x_to)), y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop" ) |> # 線分の中点に配置 tibble::add_column( angle = c(0, 0, 90, 0, 0, 90) |> rep(each = frame_num), h = c(-0.2, -0.2, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) |> rep(each = frame_num), v = c(0.5, 0.5, -0.5, -0.5, 1, 1) |> rep(each = frame_num), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") |> rep(each = frame_num) # 関数ラベル ) anim_function_label_df
## # A tibble: 900 × 8 ## fnc frame_label x y angle h v fnc_label ## <fct> <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot θ = -2 π, cot θ = 4082809… 0.5 2.04e15 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 2 cot θ = -1.97 π, cot θ = 11.9… 0.498 6.02e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 3 cot θ = -1.95 π, cot θ = 5.91… 0.493 3.08e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 4 cot θ = -1.92 π, cot θ = 3.89… 0.484 2.13e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 5 cot θ = -1.89 π, cot θ = 2.87… 0.472 1.68e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 6 cot θ = -1.87 π, cot θ = 2.25… 0.457 1.43e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 7 cot θ = -1.84 π, cot θ = 1.82… 0.438 1.28e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 8 cot θ = -1.81 π, cot θ = 1.51… 0.416 1.18e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 9 cot θ = -1.79 π, cot θ = 1.26… 0.392 1.12e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## 10 cot θ = -1.76 π, cot θ = 1.06… 0.364 1.07e 0 0 -0.2 0.5 cot~theta ## # … with 890 more rows
ラベルを表示する線分の中点の座標を計算して、ラベル用の文字列などを格納します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。
# グラフサイズ用の値を指定 x_size <- 2 y_size <- 2 # 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図 anim <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = anim_point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_segment(data = anim_radius_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = anim_angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = anim_angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = anim_function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = anim_function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = "{current_frame}", color = "function", x = "x", y = "y") # gif画像を作成 gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 800, height = 800)
こちらの図だと、原点と円周上の点を結ぶ線分が垂直になりその垂線が の直線と平行なため交点ができず、
を描画(定義)できないのが分かります。
単位円上の点とcot関数曲線の関係の可視化
最後は、単位円上におけるcot関数の値(直線)と、cot関数の曲線の関係をグラフで確認します。
グラフの作成
変数を固定したtan関数をグラフで確認します。
・作図コード(クリックで展開)
変数の値(スカラ)を設定します。
# 単位円上の点用のラジアンを指定 theta <- 3/4 * pi # 曲線上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta), cot_t = 1/tan(theta) ) point_df
## # A tibble: 1 × 4 ## t sin_t cos_t cot_t ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 2.36 0.707 -0.707 -1
曲線上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) を
theta
として値を指定します。
「単位円上のcot関数の可視化」の「パターン1」のコードで4つのデータフレームを作成します。
ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。
パターン1
1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcot関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, 1/tan(theta), tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), linewidth = c( "bold", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin"), # 太さ用 linetype = c( "main", "main", "sub", "main", "main", "main", "main", "main", "main", "main") # 線タイプ用 ) function_line_df
## # A tibble: 10 × 7 ## fnc x_from y_from x_to y_to linewidth linetype ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <chr> ## 1 cot 0 0 -1 0 bold main ## 2 cot 0 1 -1 1 normal main ## 3 cot 0 0 0 -1 bold sub ## 4 tan 1 0 1 -1 normal main ## 5 sin 0 0 0 0.707 normal main ## 6 sin -0.707 0 -0.707 0.707 normal main ## 7 cos 0 0 -0.707 0 thin main ## 8 cos 0 0.707 -0.707 0.707 normal main ## 9 exsec -0.707 0.707 1 -1 bold main ## 10 excsc -0.707 0.707 -1 1 thin main
「単位円上のcot関数の可視化」のときのコードに、cot直線の1つを90°回転(軸を変換)した線分の座標を格納します。
軸の変換前後の点を描画するためのデータフレームを作成します。
# 変換曲線の先端の座標を格納 adapt_point_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), 0), y = c(0, 1/tan(theta)) ) adapt_point_df
## # A tibble: 2 × 2 ## x y ## <dbl> <dbl> ## 1 -1 0 ## 2 0 -1
x軸・y軸の値をそれぞれ とする2点の座標を格納します。
x軸の値を90度回転する曲線を描画するためのデータフレームを作成します。
# 軸変換曲線の描画用 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = ifelse( test = rep(tan(theta) > 0, times = 100), yes = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), no = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100) ), x = abs(1/tan(theta)) * cos(rad), y = abs(1/tan(theta)) * sin(rad) ) adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), x = 1/tan(theta) * cos(rad), y = 1/tan(theta) * sin(rad) ) adapt_line_df
## # A tibble: 100 × 3 ## rad x y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 -1 0 ## 2 0.0159 -1.00 -0.0159 ## 3 0.0317 -0.999 -0.0317 ## 4 0.0476 -0.999 -0.0476 ## 5 0.0635 -0.998 -0.0634 ## 6 0.0793 -0.997 -0.0792 ## 7 0.0952 -0.995 -0.0951 ## 8 0.111 -0.994 -0.111 ## 9 0.127 -0.992 -0.127 ## 10 0.143 -0.990 -0.142 ## # … with 90 more rows
軸を変換する軌道として、半径が の弧を描画します。全体値
は
abs()
で計算できます。
のとき(
のとき)x軸の正の部分からy軸の正の部分への変化を示すため
のラジアン、
のときx軸の負の部分からy軸の負の部分への変化を示すため
のラジアンを用いて、弧のx軸の値
とy軸の値
を計算します。
または、 なのを利用して、
の値に関わらず、
のラジアンを用いて、
、
でも弧の座標を計算できます。
単位円における点とcot曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。
# グラフサイズ用の値を設定 axis_min <- 2 axis_max <- 5 axis_size <- ceiling(abs(1/tan(theta))) |> max(axis_min) |> min(axis_max) # cot曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.5 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = 0, x_to = axis_size+l, y = 1/tan(theta) ) segment_circle_df
## # A tibble: 1 × 3 ## x x_to y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 2 -1
単位円における点からy軸の反対側へ水平線を引くように座標を指定します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。
# 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) # 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(data = adapt_point_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_path(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線 geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線 scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策) scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") circle_graph
「単位円上のcot関数の可視化」のときと同様に、作図します。
cot関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。
# cot関数を計算 cot_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), cot_t = 1/tan(t) ) |> dplyr::mutate( cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), true = cot_t, false = NA_real_ ) # 閾値外の値を欠損値に置換 ) cot_df
## # A tibble: 1,000 × 2 ## t cot_t ## <dbl> <dbl> ## 1 0 NA ## 2 0.00629 NA ## 3 0.0126 NA ## 4 0.0189 NA ## 5 0.0252 NA ## 6 0.0314 NA ## 7 0.0377 NA ## 8 0.0440 NA ## 9 0.0503 NA ## 10 0.0566 NA ## # … with 990 more rows
「cot関数の作図」のときと同様にして、曲線の座標を計算します。
cot曲線上の点と単位円における点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。
# cot直線との対応線の座標を格納 l <- 0.7 d <- 1.1 segment_cot_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), x_to = c(theta, -l), y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta)) ) segment_cot_df
## # A tibble: 2 × 4 ## x y x_to y_to ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 2.36 -1 2.36 -1.65 ## 2 2.36 -1 -0.7 -1
曲線上の点からx軸とy軸へ垂線と水平線を引くように座標を指定します。
x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。
# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定 denom <- 6 # 目盛の通し番号(分子の値)を作成 numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1) # 目盛ラベル用の文字列を作成 label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") head(numer_vec); head(label_vec)
## [1] 0 1 2 3 4 5 ## [1] "frac(0, 6)~pi" "frac(1, 6)~pi" "frac(2, 6)~pi" "frac(3, 6)~pi" ## [5] "frac(4, 6)~pi" "frac(5, 6)~pi"
「cot関数の作図」のときと同様にして、目盛ラベル用の値と文字列を作成します。
cot関数曲線のグラフを作成します。
# 関数ラベル用の文字列を作成 cot_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ")" ) # cot関数曲線を作図 cot_graph <- ggplot() + geom_line(data = cot_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_cot_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "cotangent function", subtitle = parse(text = cot_label), x = expression(theta), y = expression(cot~theta)) cot_graph
「cot関数の作図」のときと同様に、作図します。
2つのグラフを並べて描画します。
# 並べて描画 patchwork::wrap_plots(circle_graph, cot_graph)
patchwork
パッケージのwrap_plots()
を使ってグラフを並べます。
2つのグラフで、単位円における点の値とcot曲線上の点のy軸の値と、なす角の値とx軸の値がそれぞれ一致するのが分かります。
パターン2
2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcot関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), type = c( "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin") # 太さ用 ) function_line_df
## # A tibble: 9 × 6 ## fnc x_from y_from x_to y_to type ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 cot 0 0 -1 0 bold ## 2 cot 0 1 -1 1 normal ## 3 tan 1 0 1 -1 normal ## 4 sin 0 0 0 0.707 normal ## 5 sin -0.707 0 -0.707 0.707 normal ## 6 cos 0 0 -0.707 0 thin ## 7 cos 0 0.707 -0.707 0.707 normal ## 8 exsec -0.707 0.707 1 -1 bold ## 9 excsc -0.707 0.707 -1 1 thin
「単位円上のcot関数の可視化」のときのコードで線分の座標を格納します。
単位円における点と軸の変換図上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。
# グラフサイズ用の値を設定 axis_min <- 2 axis_max <- 5 axis_size <- ceiling(abs(1/tan(theta))) |> max(axis_min) |> min(axis_max) # 軸変換曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.4 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = 1/tan(theta), y = 0, y_to = -axis_size-l ) segment_circle_df
## # A tibble: 1 × 3 ## x y y_to ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 -1 0 -1.9
単位円上の点からx軸へ垂直線を引くように座標を指定します。
単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。
# 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(mapping = aes(x = 1/tan(theta), y = 0), size = 4) + # cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線 scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") circle_graph
「単位円上のcot関数の可視化」のときと同様に、作図します。
x軸の値を90度回転する線を描画するためのデータフレームを作成します。
# cot関数の軸変換曲線の座標を計算 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), x = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * cos(rad), y = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * sin(rad) ) |> dplyr::mutate( x = dplyr::if_else( condition = x <= axis_size, true = x, false = NA_real_ ), y = dplyr::if_else( condition = y <= axis_size, true = y, false = NA_real_ ) ) # 描画領域外の値を欠損値に置換 adapt_line_df
## # A tibble: 100 × 3 ## rad x y ## <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 3.14 -1 NA ## 2 3.16 -1.00 1.46 ## 3 3.17 -0.999 1.42 ## 4 3.19 -0.997 1.38 ## 5 3.21 -0.995 1.34 ## 6 3.22 -0.992 1.30 ## 7 3.24 -0.989 1.26 ## 8 3.25 -0.985 1.22 ## 9 3.27 -0.980 1.18 ## 10 3.28 -0.975 1.14 ## # … with 90 more rows
グラフのサイズをaxis_size
の2倍としました。axis_size
を で表します。軸を変換する軌道として、中心の座標が
で半径が
の弧を描画します。また、弧の中心が図の右上隅になるようにします。
を用いて、弧のx軸の値
とy軸の値
を計算します。
円の座標計算については「円周の作図」を参照してください。
軸の変換図のグリッド線を描画するためのデータフレームを作成します。
# 軸変換図のグリッド線の描画用 d <- 0.5 adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid( d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置 rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100) ) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製 dplyr::mutate( x = axis_size + d * cos(rad), y = axis_size + d * sin(rad) ) adapt_grid_df
## # A tibble: 600 × 4 ## d rad x y ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0.5 3.14 1 1.5 ## 2 0.5 3.16 1.00 1.49 ## 3 0.5 3.17 1.00 1.48 ## 4 0.5 3.19 1.00 1.48 ## 5 0.5 3.21 1.00 1.47 ## 6 0.5 3.22 1.00 1.46 ## 7 0.5 3.24 1.00 1.45 ## 8 0.5 3.25 1.00 1.44 ## 9 0.5 3.27 1.00 1.44 ## 10 0.5 3.28 1.01 1.43 ## # … with 590 more rows
軸の変換曲線と同様に、グリッド線として、等間隔の半径の複数の曲線を描画します。この例では、半径を の範囲の
間隔の値とします。
半径 の値を指定して
d
列、ラジアン の値を作成して
rad
列とします。d, rad
列の全ての組み合わせをexpand_grid()
で作成することで、半径ごとに曲線用のラジアンを複製します。
弧の座標を 、
で計算します。
軸の変換図上の点とcot曲線上の点・単位円上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。
# cot曲線・直線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 segment_adapt_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), axis_size), y = c(axis_size, 1/tan(theta)), x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), y_to = c(axis_size+l, 1/tan(theta)) ) segment_adapt_df
## # A tibble: 2 × 4 ## x y x_to y_to ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 -1 1.5 -1 2.4 ## 2 1.5 -1 2.4 -1
曲線の両端からx軸とy軸の反対側へ水平線と垂直線を引くように座標を指定します。
軸の変換図を作成します。
# 軸の変換曲線を作図 adapt_graph <- ggplot() + geom_line(data = adapt_grid_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = d), color = "white") + # グリッド線 geom_line(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線 geom_point(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cos関数の点 geom_segment(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線 #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示 coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(x = "x", y = "x") adapt_graph
軸の変換曲線とグリッド線をそれぞれgeom_line()
で描画します。
「パターン1」のときのコードで、cot関数曲線のグラフを作成します。
3つのグラフを並べて描画します。
# 縦横比を計算 w_per_h <- pi / axis_size # 並べて描画 patchwork::wrap_plots( circle_graph, patchwork::plot_spacer(), adapt_graph, cot_graph, nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, w_per_h, 1, w_per_h), heights = c(1, 1, 1, 1) )
グラフを配置しない位置をplot_spacer()
で指定します。
分かりやすい方の図を参考にしてください。
アニメーションの作成
続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。
1周期
円周上を1周した際のcot関数の直線と曲線上の点の関係を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。
# フレーム数を指定 frame_num <- 60 # 変数の値を作成 theta_i <- seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num] head(theta_i)
## [1] 0.0000000 0.1047198 0.2094395 0.3141593 0.4188790 0.5235988
フレーム数frame_num
を指定して、円周上と曲線上の点の座標計算に用いるの変数(ラジアン)として の範囲で
frame_num
個の等間隔の値を作成します。
「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。
パターン1
1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
theta_i
から順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。
# 一時保存フォルダを指定 dir_path <- "tmp_folder" # 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 3 # cot関数を計算 cot_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), cot_t = 1/tan(t) ) |> dplyr::mutate( cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), true = cot_t, false = NA_real_ ) # 閾値外の値を欠損値に置換 ) # 目盛ラベル用の文字列を作成 denom <- 6 numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1) label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") # 変数ごとに作図 for(i in 1:frame_num) { # i番目の値を取得 theta <- theta_i[i] # 曲線上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta), cot_t = 1/tan(theta) ) ## 単位円上の関数直線の作図処理 # 角マークの座標を計算 d <- 0.15 angle_mark_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 角ラベルの座標を計算 d <- 0.25 angle_label_df <- tibble::tibble( t = 0.5 * theta, x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), y_from = c(0, 0, 0, 0), x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用 ) # 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, 1/tan(theta), tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), linewidth = c( "bold", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin"), # 太さ用 linetype = c( "main", "main", "sub", "main", "main", "main", "main", "main", "main", "main") # 線タイプ用 ) # 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 / tan(theta), 1, 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (cos(theta) + 1), 0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta)) ), y = c( 1, 0.5 * tan(theta), 0.5 * sin(theta), 0, 0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 0.5 * (sin(theta) + 1) ), angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) # 変換曲線の先端の座標を格納 adapt_point_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), 0), y = c(0, 1/tan(theta)) ) # 軸変換曲線の描画用 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), x = 1/tan(theta) * cos(rad), y = 1/tan(theta) * sin(rad) ) # cot曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.5 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = 0, x_to = axis_size+l, y = 1/tan(theta) ) # 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) # 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(data = adapt_point_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_path(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線 geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線 scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策) scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") ## 関数曲線の作図処理 # cot直線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 d <- 1.1 segment_cot_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), x_to = c(theta, -l), y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 cot_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ")" ) # cot関数曲線を作図 cot_graph <- ggplot() + geom_line(data = cot_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_cot_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "cotangent function", subtitle = parse(text = cot_label), x = expression(theta), y = expression(cot~theta)) # 並べて描画 graph <- patchwork::wrap_plots(circle_graph, cot_graph) # ファイルを書き出し file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 800, units = "px", dpi = 100) # 途中経過を表示 message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE) }
変数の値ごとに「グラフの作成」のときと同様に処理します。作成したグラフをggsave()
で保存します。
cot関数のアニメーションを作成します。
# gif画像を作成 paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成 magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込 magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成 magick::image_write_gif(path = "cot_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し
全てのファイルパスを作成して、image_read()
で画像ファイルを読み込んで、image_animate()
でgif画像に変換して、image_write_gif()
でgifファイルとして書き出します。delay
引数に1秒当たりのフレーム数の逆数を指定します。
となる
とき、cot関数の線分の方向(
の符号)が変わり、cot関数の曲線が不連続になるのが分かります。
パターン2
2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcot関数とtan関数を並べて可視化します。tan関数の作図については「tan関数の可視化」を参照してください。
・作図コード(クリックで展開)
theta_i
から順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。
# 一時保存フォルダを指定 dir_path <- "tmp_folder" # 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 3 w_per_h <- pi / axis_size # tan・cot関数を計算 curve_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), tan_t = tan(t), cot_t = 1/tan(t) ) |> dplyr::mutate( tan_t = dplyr::if_else( condition = (tan_t >= -axis_size & tan_t <= axis_size), true = tan_t, false = NA_real_ ), cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), true = cot_t, false = NA_real_ ) ) # 閾値外の値を欠損値に置換 # 目盛ラベル用の文字列を作成 denom <- 6 numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1) label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") # 軸変換図のグリッド線の描画用 d <- 1 adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid( d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置 rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100) ) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製 dplyr::mutate( x = axis_size + d * cos(rad), y = axis_size + d * sin(rad) ) # 変数ごとに作図 for(i in 1:frame_num) { # i番目の値を取得 theta <- theta_i[i] # 曲線上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta), tan_t = tan(theta), cot_t = 1/tan(theta) ) ## 単位円上の関数直線の作図処理 # 角マークの座標を計算 d <- 0.15 angle_mark_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 角ラベルの座標を計算 d <- 0.25 angle_label_df <- tibble::tibble( t = 0.5 * theta, x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), y_from = c(0, 0, 0, 0), x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用 ) # 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), type = c( "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin") # 太さ用 ) # 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 / tan(theta), 1, 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (cos(theta) + 1), 0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta)) ), y = c( 1, 0.5 * tan(theta), 0.5 * sin(theta), 0, 0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 0.5 * (sin(theta) + 1) ), angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) # 軸変換曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), 1), y = c(0, tan(theta)), x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), y_to = c(-axis_size-l, tan(theta)) ) # 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) # 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # tan・cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線 scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") ## tan関数曲線の作図処理 # tan直線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 d <- 1.1 segment_tan_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(-axis_size*d, tan(theta)), x_to = c(theta, -l), y_to = c(-axis_size*d-l, tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 tan_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ")" ) # tan関数曲線を作図 tan_graph <- ggplot() + geom_line(data = curve_df, mapping = aes(x = t, y = tan_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = tan_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_tan_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線 geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "tangent function", subtitle = parse(text = tan_label), x = expression(theta), y = expression(tan~theta)) ## 軸変換図の作図処理 # cot関数の軸変換曲線の座標を計算 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), x = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * cos(rad), y = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * sin(rad) ) |> dplyr::mutate( x = dplyr::if_else( condition = x <= axis_size, true = x, false = NA_real_ ), y = dplyr::if_else( condition = y <= axis_size, true = y, false = NA_real_ ) ) # 描画領域外の値を欠損値に置換 # cot曲線・直線との対応線の座標を格納 l <- 1.2 segment_adapt_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), axis_size), y = c(axis_size, 1/tan(theta)), x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), y_to = c(axis_size+l, 1/tan(theta)) ) # 軸の変換曲線を作図 adapt_graph <- ggplot() + geom_line(data = adapt_grid_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = d), color = "white") + # グリッド線 geom_line(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線 geom_point(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cos関数の点 geom_segment(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線 #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示 coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(x = "x", y = "x") ## cot関数曲線の作図処理 # 変換曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 d <- 1.1 segment_cot_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(axis_size*d, 1/tan(theta)), x_to = c(theta, -l), y_to = c(axis_size*d+l, 1/tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 cot_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ")" ) # cot関数曲線を作図 cot_graph <- ggplot() + geom_line(data = curve_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_cot_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線 geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "cotangent function", subtitle = parse(text = cot_label), x = expression(theta), y = expression(cot~theta)) # 並べて描画 graph <- patchwork::wrap_plots( circle_graph, tan_graph, adapt_graph, cot_graph, nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, w_per_h, 1, w_per_h), heights = c(1, 1, 1, 1) ) # ファイルを書き出し file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 1500, units = "px", dpi = 100) # 途中経過を表示 message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE) }
「グラフの作成のパターン2」の右上のスペースにsin関数曲線を配置します。また、「1周期のパターン1」と同様に処理します。
cot関数とtan関数のアニメーションを作成します。
# gif画像を作成 paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成 magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込 magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成 magick::image_write_gif(path = "cot_tan_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し
n周期
円周上を複数回周回した際のcot関数の直線と曲線上の点の関係を可視化することで、周期性を確認します。
・作図コード(クリックで展開)
フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。
# フレーム数を指定 frame_num <- 120 # 変数の値を作成 theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num] head(theta_i)
## [1] -6.283185 -6.178466 -6.073746 -5.969026 -5.864306 -5.759587
フレーム数frame_num
を指定して、frame_num
個の の値を作成します。
theta_i
の範囲が の倍数だと、アニメーションの最後と最初のフレームの繋がりが良くなります。
「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。
パターン1
1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
theta_i
から順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。
# 一時保存フォルダを指定 dir_path <- "tmp_folder" # 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 3 # 変数ごとに作図 for(i in 1:frame_num) { # i番目の値を取得 theta <- theta_i[i] # 曲線上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta), cot_t = 1/tan(theta) ) ## 単位円上の関数直線の作図処理 # 角マークの座標を計算 d <- 0.15 angle_mark_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 角ラベルの座標を計算 d <- 0.25 angle_label_df <- tibble::tibble( t = 0.5 * theta, x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), y_from = c(0, 0, 0, 0), x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用 ) # 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, 1/tan(theta), tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), linewidth = c( "bold", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin"), # 太さ用 linetype = c( "main", "main", "sub", "main", "main", "main", "main", "main", "main", "main") # 線タイプ用 ) # 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 / tan(theta), 1, 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (cos(theta) + 1), 0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta)) ), y = c( 1, 0.5 * tan(theta), 0.5 * sin(theta), 0, 0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 0.5 * (sin(theta) + 1) ), angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) # 変換曲線の先端の座標を格納 adapt_point_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), 0), y = c(0, 1/tan(theta)) ) # 軸変換曲線の描画用 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), x = 1/tan(theta) * cos(rad), y = 1/tan(theta) * sin(rad) ) # cot曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = 0, x_to = -axis_size-l, y = 1/tan(theta) ) # 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) # 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(data = adapt_point_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_path(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線 geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線 scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策) scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") ## 関数曲線の作図処理 # 作図用の変数の値を作成 theta_size <- 2 * pi theta_min <- theta - theta_size theta_vec <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000) # 目盛ラベル用の文字列を作成 denom <- 6 numer_vec <- seq( from = floor(theta_min / pi * denom), to = ceiling(theta / pi * denom), by = 1 ) label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") # cot関数を計算 cot_df <- tibble::tibble( t = theta_vec, cot_t = 1/tan(t) ) |> dplyr::mutate( cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), true = cot_t, false = NA_real_ ) # 閾値外の値を欠損値に置換 ) # cot直線との対応線の座標を格納 l <- 0.5 d <- 1.1 segment_cot_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), x_to = c(theta, theta+l), y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 cot_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ")" ) # cot関数曲線を作図 cot_graph <- ggplot() + geom_line(data = cot_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_cot_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "cotangent function", subtitle = parse(text = cot_label), x = expression(theta), y = expression(cot~theta)) # 並べて描画 graph <- patchwork::wrap_plots(cot_graph, circle_graph) # ファイルを書き出し file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 800, units = "px", dpi = 100) # 途中経過を表示 message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE) }
「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。
cot関数のアニメーションを作成します。
# gif画像を作成 paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成 magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込 magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成 magick::image_write_gif(path = "cot_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し
先ほどと同様にして、gifファイルを作成します。
単位円上の点が半周する の間隔で、曲線が同じ形になるのが分かります。
パターン2
2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcos関数とsin関数を並べて可視化します。
・作図コード(クリックで展開)
theta_i
から順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。
# 一時保存フォルダを指定 dir_path <- "tmp_folder" # 関数ラベルのレベルを指定 fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") # グラフサイズ用の値を設定 axis_size <- 3 w_per_h <- pi / axis_size # 軸変換図のグリッド線の描画用 d <- 1 adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid( d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置 rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100) ) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製 dplyr::mutate( x = -axis_size + d * cos(rad), y = -axis_size + d * sin(rad) ) # 変数ごとに作図 for(i in 1:frame_num) { # i番目の値を取得 theta <- theta_i[i] # 曲線上の点の座標を計算 point_df <- tibble::tibble( t = theta, sin_t = sin(theta), cos_t = cos(theta), tan_t = tan(theta), cot_t = 1/tan(theta) ) ## 単位円上の関数直線の作図処理 # 角マークの座標を計算 d <- 0.15 angle_mark_df <- tibble::tibble( t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 角ラベルの座標を計算 d <- 0.25 angle_label_df <- tibble::tibble( t = 0.5 * theta, x = d * cos(t), y = d * sin(t) ) # 半径の線分の座標を格納 radius_df <- tibble::tibble( x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), y_from = c(0, 0, 0, 0), x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用 ) # 関数直線の線分の座標を格納 function_line_df <- tibble::tibble( fnc = c( "cot", "cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x_from = c( 0, 0, 1, 0, cos(theta), 0, 0, cos(theta), cos(theta) ), y_from = c( 0, 1, 0, 0, 0, 0, sin(theta), sin(theta), sin(theta) ), x_to = c( 1/tan(theta), 1/tan(theta), 1, 0, cos(theta), cos(theta), cos(theta), 1, 1/tan(theta) ), y_to = c( 0, 1, tan(theta), sin(theta), sin(theta), 0, sin(theta), tan(theta), 1 ), type = c( "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin", "normal", "bold", "thin") # 太さ用 ) # 関数ラベルの座標を格納 function_label_df <- tibble::tibble( fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> factor(levels = fnc_level_vec), # 色用 x = c( 0.5 / tan(theta), 1, 0, 0.5 * cos(theta), 0.5 * (cos(theta) + 1), 0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta)) ), y = c( 1, 0.5 * tan(theta), 0.5 * sin(theta), 0, 0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 0.5 * (sin(theta) + 1) ), angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル ) # 軸変換曲線との対応線の座標を格納 l <- 1.2 segment_circle_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), 1), y = c(0, tan(theta)), x_to = c(1/tan(theta), -axis_size-l), y_to = c(axis_size+l, tan(theta)) ) # 変数ラベル用の文字列を作成 variable_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), ")" ) # 単位円上の三角関数直線を作図 circle_graph <- ggplot() + geom_path(data = circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 円周 geom_segment(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), color = "white") + # 角度目盛グリッド geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線 geom_text(data = radian_lable_df, mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), size = 4) + # 円周上の点 geom_point(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # tan・cot関数の点 geom_segment(data = radius_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線 geom_path(data = angle_mark_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 0.5) + # 角マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, size = 5) + # 角ラベル geom_segment(data = function_line_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type)) + # 関数直線 geom_text(data = function_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル geom_segment(data = segment_circle_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線 scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策) coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "circular functions", subtitle = parse(text = variable_label), color = "function", x = "x", y = "y") ## 変数の作成処理 # 作図用の変数の値を作成 theta_size <- 2 * pi theta_min <- theta - theta_size theta_vec <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000) # 目盛ラベル用の文字列を作成 denom <- 6 numer_vec <- seq( from = floor(theta_min / pi * denom), to = ceiling(theta / pi * denom), by = 1 ) label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi") # tan・cot関数を計算 curve_df <- tibble::tibble( t = theta_vec, tan_t = tan(t), cot_t = 1/tan(t) ) |> dplyr::mutate( tan_t = dplyr::if_else( condition = (tan_t >= -axis_size & tan_t <= axis_size), true = tan_t, false = NA_real_ ), cot_t = dplyr::if_else( condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), true = cot_t, false = NA_real_ ) ) # 閾値外の値を欠損値に置換 ## tan関数曲線の作図処理 # tan直線との対応線の座標を格納 l <- 1.2 d <- 1.1 segment_tan_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(axis_size*d, tan(theta)), x_to = c(theta, theta+l), y_to = c(axis_size*d+l, tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 tan_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), ")" ) # tan関数曲線を作図 tan_graph <- ggplot() + geom_line(data = curve_df, mapping = aes(x = t, y = tan_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = tan_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_tan_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線 geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "tangent function", subtitle = parse(text = tan_label), x = expression(theta), y = expression(tan~theta)) ## 軸変換図の作図処理 # cot関数の軸変換曲線の座標を計算 adapt_line_df <- tibble::tibble( rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), x = -axis_size + (axis_size+1/tan(theta)) * cos(rad), y = -axis_size + (axis_size+1/tan(theta)) * sin(rad) ) |> dplyr::mutate( x = dplyr::if_else( condition = x >= -axis_size, true = x, false = NA_real_ ), y = dplyr::if_else( condition = y >= -axis_size, true = y, false = NA_real_ ) ) # 描画領域外の値を欠損値に置換 # cot曲線・直線との対応線の座標を格納 l <- 1.5 segment_adapt_df <- tibble::tibble( x = c(1/tan(theta), -axis_size), y = c(-axis_size, 1/tan(theta)), x_to = c(1/tan(theta), -axis_size-l), y_to = c(-axis_size-l, 1/tan(theta)) ) # 軸の変換曲線を作図 adapt_graph <- ggplot() + geom_line(data = adapt_grid_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = d), color = "white") + # グリッド線 geom_line(data = adapt_line_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線 geom_point(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 4) + # cos関数の点 geom_segment(data = segment_adapt_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線 #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示 coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(x = "x", y = "x") ## cot関数曲線の作図処理 # 変換曲線との対応線の座標を格納 l <- 0.9 d <- 1.1 segment_cot_df <- tibble::tibble( x = c(theta, theta), y = c(-axis_size*d, 1/tan(theta)), x_to = c(theta, theta+l), y_to = c(-axis_size*d-l, 1/tan(theta)) ) # 関数ラベル用の文字列を作成 cot_label <- paste0( "list(", "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), ")" ) # cot関数曲線を作図 cot_graph <- ggplot() + geom_line(data = curve_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線 geom_point(data = point_df, mapping = aes(x = t, y = cot_t), size = 4) + # 曲線上の点 geom_segment(data = segment_cot_df, mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線 geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線 scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域 labs(title = "cotangent function", subtitle = parse(text = cot_label), x = expression(theta), y = expression(cot~theta)) # 並べて描画 graph <- patchwork::wrap_plots( cot_graph, adapt_graph, tan_graph, circle_graph, nrow = 2, ncol = 2, widths = c(w_per_h, 1, w_per_h, 1), heights = c(1, 1, 1, 1) ) # ファイルを書き出し file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1100, height = 1100, units = "px", dpi = 100) # 途中経過を表示 message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE) }
「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から上下左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。
cot関数とtan関数のアニメーションを作成します。
# gif画像を作成 paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成 magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込 magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成 magick::image_write_gif(path = "cot_tan_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し
この記事では、cot関数を可視化しました。次の記事では、ここまでで扱った6つの関数を可視化します。
参考書籍
- 『三角関数(改定第3版)』(Newton別冊)ニュートンプレス,2022年.
おわりに
secとcscでそれぞれ1か所悩んでいる部分がありまして、先にcotを完成させました。
気温が上がってきてやる気が下がってきており、前回から半月空いてしまいました。なんだかもう色々面倒臭いです。梅雨が過ぎたら冬が来てほしい。
【次の内容】