はじめに

　R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズです。

　この記事では、co関数のグラフを作成します。

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【この記事の内容】

はじめに
cot関数の可視化
参考書籍
おわりに

cot関数の可視化

　三角関数(trigonometric functions)・円関数(circular functions)の1つであるcot関数(余接関数・コタンジェント関数・cotangent function)をグラフで確認します。

　ggplot2パッケージなどを使って作図します。

・作図コード(クリックで展開)

　利用するパッケージを読み込みます。

# 利用パッケージ
library(tidyverse)
library(gganimate)
library(patchwork)
library(magick)

　この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2を読み込む必要があります。
　また、ネイティブパイプ演算子|>を使っています。magrittrパッケージのパイプ演算子%>%に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittrも読み込む必要があります。

定義式の確認

　まずは、cot関数の定義式を確認します。

　cot関数は、tan関数の逆数で定義されます。

$\displaystyle \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$

　 $\tan x$ はタンジェント関数、 $\sin x$ はサイン関数、 $\cos x$ はコサイン関数です。tan関数については「【R】tan関数の可視化 - からっぽのしょこ」、sin関数については「【R】sin関数の可視化 - からっぽのしょこ」、cos関数については「【R】cos関数の可視化 - からっぽのしょこ」を参照してください。
　ただし、 $n$ を整数として $x = n \pi$ のとき、 $\sin x = \tan x = 0$ なので、0除算になるため定義できません。 $\pi$ は円周率で、変数 $x$ は弧度法の角度(ラジアン)です。

cot関数の作図

　次に、cot関数のグラフを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(ベクトル)を設定します。

# 関数曲線用のラジアンを指定
theta_vec <- seq(from = -2.5*pi, to = 2.5*pi, length.out = 1000)
head(theta_vec)

## [1] -7.853982 -7.838258 -7.822534 -7.806811 -7.791087 -7.775363

　曲線の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の範囲を指定してtheta_vecとします。円周率 $\pi$ はpiで扱えます。

　cot関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 閾値を指定
threshold <- 4

# cot関数を計算
cot_df <- tibble::tibble(
  t = theta_vec, 
  tan_t = tan(theta_vec), 
  cot_t = 1/tan(theta_vec)
) |> 
  dplyr::mutate(
    tan_t = dplyr::if_else(
      condition = (tan_t >= -threshold & tan_t <= threshold), 
      true = tan_t, 
      false = NA_real_
    ), # 閾値外の値を欠損値に置換
    cot_t = dplyr::if_else(
      condition = (cot_t >= -threshold & cot_t <= threshold), 
      true = cot_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )
cot_df

## # A tibble: 1,000 × 3
##        t tan_t     cot_t
##    <dbl> <dbl>     <dbl>
##  1 -7.85    NA -3.06e-16
##  2 -7.84    NA -1.57e- 2
##  3 -7.82    NA -3.15e- 2
##  4 -7.81    NA -4.72e- 2
##  5 -7.79    NA -6.30e- 2
##  6 -7.78    NA -7.88e- 2
##  7 -7.76    NA -9.46e- 2
##  8 -7.74    NA -1.11e- 1
##  9 -7.73    NA -1.26e- 1
## 10 -7.71    NA -1.42e- 1
## # … with 990 more rows

　 $\theta$ の値と $\tan \theta, \cot \theta$ の値をデータフレームに格納します。cot関数はtan()を使って計算できます。tan関数の値は比較に使います。
　 $\theta = i \pi$ ( $i$ は整数)付近で $-\infty$ または $\infty$ に近付くので、閾値thresholdを指定しておき、-threshold未満またはthresholdより大きい場合は(数値型の)欠損値NAに置き換えます。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。装飾用の処理です。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 2

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(
  from = floor(min(theta_vec) / pi * denom), 
  to = ceiling(max(theta_vec) / pi * denom), 
  by = 1
)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] -5 -4 -3 -2 -1  0
## [1] "-frac(5, 2)~pi" "-frac(4, 2)~pi" "-frac(3, 2)~pi" "-frac(2, 2)~pi"
## [5] "-frac(1, 2)~pi" "frac(0, 2)~pi"

　角度 $\theta$ に関する軸目盛ラベルを $i, n$ を整数として $\frac{i}{n} \pi$ の形で表示することにします。
　 $n$ をdenomとして整数を指定します。 $n$ は、半周期 $\pi$ の範囲における目盛の数に対応します。
　theta_vecに対して、 $\theta = \frac{\pi}{n} i$ を $i$ について整理した $i = \frac{n}{\pi} \theta$ を計算して、最小値(の小数部分をfloor()で切り捨てた値)から最大値(の小数部分をceiling()で切り上げた値)までの整数を作成してnumer_vecとします。

　numer_vec, denomを使って目盛ラベル用の文字列を作成します。
　ギリシャ文字などの記号や数式を表示する場合は、expression()の記法を用います。オブジェクト(プログラム上の変数)の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。"frac(分子, 分母)"で分数、"~"でスペースを表示します。

　漸近線を描画するためのベクトルを作成します。

# 漸近線用の値を作成
asymptote_vec <- seq(
  from = floor(min(theta_vec) / pi) + 1, 
  to = floor(max(theta_vec) / pi), 
  by = 1
) * pi
asymptote_vec; asymptote_vec*2/pi

## [1] -6.283185 -3.141593  0.000000  3.141593  6.283185
## [1] -4 -2  0  2  4

　 $\theta = i \pi$ ( $\pi$ の倍数)のとき $\cot \theta$ が発散するので、theta_vecの範囲内の $\frac{2 i}{2} \pi$ の値を(上手いことして)作成します。

　cot関数のグラフを作成します。

# cot関数を作図
ggplot() + 
  geom_line(data = cot_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cot_t, linetype = "cot"), 
            size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
  geom_line(data = cot_df, 
            mapping = aes(x = t, y = tan_t, linetype = "tan"), 
            size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
  geom_vline(xintercept = asymptote_vec, linetype = "dashed") + # 漸近線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 目盛ラベル
  scale_linetype_manual(breaks = c("cot", "tan"), 
                        values = c("solid", "dotted"), name = "function") + # (凡例表示用)
  coord_fixed(ratio = 1) + # アスペクト比
  labs(title = "cotangent function", 
       x = expression(theta), 
       y = expression(cot~theta))

　x軸を $\theta$ 、y軸を $\cot \theta$ として、geom_line()でcot関数の曲線を描画します。また、 $\tan \theta$ の曲線を点線で描画します。
　x軸が $i \pi$ の点( $0$ の前後 $\pi$ 間隔)に、geom_vline()で漸近線を破線で描画します。
　 $\tan \theta = 0$ となる $\theta$ が漸近線なのが分かります。

単位円の作図

　続いて、cot関数の可視化に利用する単位円(unit circle)のグラフを確認します。円やラジアン(弧度法の角度)については「円周の作図」を参照してください。

・作図コード(クリックで展開)

　単位円を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径を指定
r <- 1

# 円周の座標を計算
circle_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), # ラジアン
  x = r * cos(t), 
  y = r * sin(t)
)
circle_df

## # A tibble: 601 × 3
##         t     x      y
##     <dbl> <dbl>  <dbl>
##  1 0      1     0     
##  2 0.0105 1.00  0.0105
##  3 0.0209 1.00  0.0209
##  4 0.0314 1.00  0.0314
##  5 0.0419 0.999 0.0419
##  6 0.0524 0.999 0.0523
##  7 0.0628 0.998 0.0628
##  8 0.0733 0.997 0.0732
##  9 0.0838 0.996 0.0837
## 10 0.0942 0.996 0.0941
## # … with 591 more rows

　円周の座標計算用のラジアンとして $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲の値を作成して、x軸の値 $x = \cos \theta$ 、y軸の値 $y = \sin \theta$ を計算します。

　円周上に角度(ラジアン)目盛を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半円の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 角度目盛ラベルの描画用
d <- 1.1
radian_lable_df <- tibble::tibble(
  nomer = seq(from = 0, to = 2*denom-1, by = 1), # 目盛の通し番号(分子の値)を作成
  t_deg = nomer / denom * 180, # 度数法
  t_rad = nomer / denom * pi,  # 弧度法
  x = r * cos(t_rad), 
  y = r * sin(t_rad), 
  label_x = d * x, 
  label_y = d * y, 
  rad_label = paste0("frac(", nomer, ", ", denom, ")~pi"), # ラジアンラベル
  h = 1 - (x * 0.5 + 0.5), 
  v = 1 - (y * 0.5 + 0.5)
)
radian_lable_df

## # A tibble: 12 × 10
##    nomer t_deg t_rad         x         y   label_x   label_y rad_label         h
##    <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl> <chr>         <dbl>
##  1     0     0 0      1   e+ 0  0         1.1 e+ 0  0        frac(0, 6)~… 0     
##  2     1    30 0.524  8.66e- 1  5   e- 1  9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(1, 6)~… 0.0670
##  3     2    60 1.05   5   e- 1  8.66e- 1  5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(2, 6)~… 0.25  
##  4     3    90 1.57   6.12e-17  1   e+ 0  6.74e-17  1.1 e+ 0 frac(3, 6)~… 0.5   
##  5     4   120 2.09  -5   e- 1  8.66e- 1 -5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(4, 6)~… 0.75  
##  6     5   150 2.62  -8.66e- 1  5   e- 1 -9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(5, 6)~… 0.933 
##  7     6   180 3.14  -1   e+ 0  1.22e-16 -1.1 e+ 0  1.35e-16 frac(6, 6)~… 1     
##  8     7   210 3.67  -8.66e- 1 -5   e- 1 -9.53e- 1 -5.5 e- 1 frac(7, 6)~… 0.933 
##  9     8   240 4.19  -5.00e- 1 -8.66e- 1 -5.50e- 1 -9.53e- 1 frac(8, 6)~… 0.75  
## 10     9   270 4.71  -1.84e-16 -1   e+ 0 -2.02e-16 -1.1 e+ 0 frac(9, 6)~… 0.5   
## 11    10   300 5.24   5   e- 1 -8.66e- 1  5.5 e- 1 -9.53e- 1 frac(10, 6)… 0.25  
## 12    11   330 5.76   8.66e- 1 -5.00e- 1  9.53e- 1 -5.50e- 1 frac(11, 6)… 0.0670
## # … with 1 more variable: v <dbl>

　目盛指示線や目盛グリッド用の座標をx, y列、目盛ラベル用の座標をlabel_x, label_y列とします。ラベルの表示位置をdで調整します。

　円周と角度目盛のグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
axis_size <- 1.4

# 単位円を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), 
            label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               linetype = "dotted") + # 角度目盛グリッド
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "unit circle", 
       subtitle = parse(text = paste0("r==", r)), 
       x = expression(x == r~cos~theta), 
       y = expression(y == r~sin~theta))

　このグラフ上に三角関数の値を直線として描画します。

単位円上のcot関数の可視化

　次は、単位円上における三角関数(cot・tan・sin・cos・exsec・excsc)のグラフを作成します。

グラフの作成

　変数を固定したcot関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 円周上の点用のラジアンを指定
theta <- 2/6 * pi
theta

## [1] 1.047198

　円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 単位円上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t sin_t cos_t
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  1.05 0.866   0.5

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をデータフレームに格納します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角マークの座標を計算
d <- 0.15
angle_mark_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_mark_df

## # A tibble: 100 × 3
##         t     x       y
##     <dbl> <dbl>   <dbl>
##  1 0      0.15  0      
##  2 0.0106 0.150 0.00159
##  3 0.0212 0.150 0.00317
##  4 0.0317 0.150 0.00476
##  5 0.0423 0.150 0.00634
##  6 0.0529 0.150 0.00793
##  7 0.0635 0.150 0.00951
##  8 0.0740 0.150 0.0111 
##  9 0.0846 0.149 0.0127 
## 10 0.0952 0.149 0.0143 
## # … with 90 more rows

　2つの線分のなす角 $\theta$ を示す角マークを描画するために、 $0$ から $\theta$ までのラジアンを作成して、円弧の座標を計算します。サイズの調整用の値(半径)をdとします。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
angle_label_df <- tibble::tibble(
  t = 0.5 * theta, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_label_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t     x     y
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0.524 0.182 0.105

　角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。表示位置の調整用の値(原点からのノルム)をdとします。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、x軸線から伸びる直線としてcot関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
radius_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), 
  y_from = c(0, 0, 0, 0), 
  x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), 
  y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), 
  type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用
)
radius_df

## # A tibble: 4 × 5
##   x_from y_from  x_to  y_to type  
##    <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr> 
## 1  0          0 1     0     normal
## 2  0          0 0.5   0.866 normal
## 3  0          0 0     1     thin  
## 4  0.577      0 0.577 1     thin

　原点と点 $(1, 0)$ を結ぶ線分(x軸線の正の部分)と、原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分を描画するために、2つの線分の座標を格納します。
　また、関数直線の補助線として、長さが半径と同じ線分の座標を(次のデータフレームの座標を睨めっこして)格納します。
　なす角用の線分と補助線用の線分を、線の太さで描き分けることにします。type列として、それぞれの線区別する文字列を指定します。文字列の内容は自由です。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c(
    "cot", "cot", 
    "tan", 
    "sin", "sin", 
    "cos", "cos", 
    "exsec", 
    "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 
    1, 
    0, cos(theta), 
    0, 0, 
    cos(theta), 
    cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, 1, 
    0, 
    0, 0, 
    0, sin(theta), 
    sin(theta), 
    sin(theta)
  ), 
  x_to = c(
    1/tan(theta), 1/tan(theta), 
    1, 
    0, cos(theta), 
    cos(theta), cos(theta), 
    1, 
    1/tan(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, 1, 
    tan(theta), 
    sin(theta), sin(theta), 
    0, sin(theta), 
    tan(theta), 
    1
  ), 
  type = c(
    "bold", "normal", 
    "normal", 
    "normal", "normal", 
    "thin", "normal", 
    "bold", 
    "thin") # 太さ用
)
function_line_df

## # A tibble: 9 × 6
##   fnc   x_from y_from  x_to  y_to type  
##   <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr> 
## 1 cot      0    0     0.577 0     bold  
## 2 cot      0    1     0.577 1     normal
## 3 tan      1    0     1     1.73  normal
## 4 sin      0    0     0     0.866 normal
## 5 sin      0.5  0     0.5   0.866 normal
## 6 cos      0    0     0.5   0     thin  
## 7 cos      0    0.866 0.5   0.866 normal
## 8 exsec    0.5  0.866 1     1.73  bold  
## 9 excsc    0.5  0.866 0.577 1     thin

　関数を区別するためのfnc列の因子レベルをfnc_level_vecとして指定しておきます。因子レベルは、線分の描画順(重なり順)や色付け順に影響します。
　各線分の始点の座標をx_from, y_from列、終点の座標をx_to, y_to列として、完成図を見ながら頑張って指定します。
　重なる線分を、線の太さで描き分けることにします。先に描画される線分を太く、後から描画される線分を細くするように、先ほどの文字列をtype列に指定します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を格納
function_label_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x = c(
    0.5 / tan(theta), 
    1, 
    0, 
    0.5 * cos(theta), 
    0.5 * (cos(theta) + 1), 
    0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta))
  ), 
  y = c(
    1, 
    0.5 * tan(theta), 
    0.5 * sin(theta), 
    0, 
    0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 
    0.5 * (sin(theta) + 1)
  ), 
  angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), 
  h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), 
  v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), 
  fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 6 × 7
##   fnc       x     y angle     h     v fnc_label  
##   <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>      
## 1 cot   0.289 1         0   0.5  -0.5 cot~theta  
## 2 tan   1     0.866    90   0.5   1   tan~theta  
## 3 sin   0     0.433    90   0.5  -0.5 sin~theta  
## 4 cos   0.25  0         0   0.5   1   cos~theta  
## 5 exsec 0.75  1.30      0   1.1   0.5 exsec~theta
## 6 excsc 0.539 0.933     0  -0.1   0.5 excsc~theta

　この例では、関数を示す線分の中点に関数名を表示するため、中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。
　ラベルの表示角度をangle列、表示角度に応じた左右の表示位置をh列、上下の表示位置をv列として値を指定します。

　変数と関数の値を表示するための文字列を作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
  ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
  ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
  ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
  ")"
)
variable_label

## [1] "list(theta==0.33*pi, cot~theta==0.58, tan~theta==1.73, sin~theta==0.87, cos~theta==0.5, exsec~theta==1, excsc~theta==0.15)"

　"=="で等号、"list(変数1, 変数2)"で複数の(数式上の)変数を並べて表示します。(プログラム上の)変数の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3
x_min <- min(-axis_size, 1/tan(theta))
x_max <- max(axis_size, 1/tan(theta))
y_min <- min(-axis_size, tan(theta))
y_max <- max(axis_size, tan(theta))

# 単位円上の三角関数直線を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(x_min, x_max), ylim = c(y_min, y_max)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

　geom_segment()で線分を描画して、各関数の値を直線で示します。
　geom_label()でラベル(文字列)を描画します。

　cot関数の定義式 $\tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ やこの図から、 $\sin \theta : \cos \theta = 1 : \tan \theta$ なのが分かります。cot関数の値は、「原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る直線」と「 $y = 1$ の直線(破線)」の交点のx軸の値(横幅)です。
　 $\mathrm{exsec}\ \theta = \frac{1}{\cos \theta} - 1$ と $\mathrm{excsc}\ \theta = \frac{1}{\sin \theta} - 1$ も三角関数の一種ですが、まぁいいでしょう。

パターン2

　2つ目の方法では、円周上の点から伸びる直線としてtan関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(1, cos(theta), 0), 
  y_to = c(0, sin(theta), ifelse(sin(theta) >= 0, yes = 1, no = 0)), 
  type = c("normal", "normal", "thin") # 太さ用
)
radius_df

## # A tibble: 3 × 3
##    x_to  y_to type  
##   <dbl> <dbl> <chr> 
## 1   1   0     normal
## 2   0.5 0.866 normal
## 3   0   1     thin

　先ほどと同様に、なす角 $\theta$ のための2つの線分の終点の座標を格納します。
　また、関数直線の補助線として、 $\sin \theta$ が正の値( $0 \leq \theta \leq \pi$ )のとき、原点と点 $(0, 1)$ を結ぶ線分の座標を格納します。 $\sin \theta$ が負の値( $\pi \lt \theta \lt 2 \pi$ )のときは、原点の座標(線分にならないように座標)を格納します。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    cos(theta), 
    cos(theta), 
    0, 0, 
    0, 0, 
    1, 
    0
  ), 
  y_from = c(
    sin(theta), 
    sin(theta), 
    0, 0, 
    sin(theta), ifelse(sin(theta) >= 0, yes = 1, no = -1), 
    0, 
    1
  ), 
  x_to = c(
    0, 
    1/cos(theta), 
    0, abs(sin(theta))*cos(theta), 
    cos(theta), abs(sin(theta))*cos(theta), 
    1/cos(theta), 
    0
  ), 
  y_to = c(
    1/sin(theta), 
    0, 
    sin(theta), abs(sin(theta))*sin(theta), 
    sin(theta), abs(sin(theta))*sin(theta), 
    0, 
    1/sin(theta)
  ), 
  type = c("normal", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin") # 太さ用
)
function_line_df

## # A tibble: 8 × 6
##   fnc   x_from y_from  x_to  y_to type  
##   <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr> 
## 1 cot      0.5  0.866 0     1.15  normal
## 2 tan      0.5  0.866 2     0     normal
## 3 sin      0    0     0     0.866 bold  
## 4 sin      0    0     0.433 0.75  normal
## 5 cos      0    0.866 0.5   0.866 normal
## 6 cos      0    1     0.433 0.75  normal
## 7 exsec    1    0     2     0     normal
## 8 excsc    0    1     0     1.15  thin

　先ほどの様に、線分の座標を格納します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を格納
function_label_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x = c(
    0.5 * cos(theta), 
    0.5 * (1/cos(theta) + cos(theta)), 
    0, 
    0.5 * cos(theta), 
    0.5 * (1 + 1/cos(theta)), 
    0
  ), 
  y = c(
    0.5 * (1/sin(theta) + sin(theta)), 
    0.5 * sin(theta), 
    0.5 * sin(theta), 
    sin(theta), 
    0, 
    0.5 * (1 + 1/sin(theta))
  ), 
  angle = c(0, 0, 90, 0, 0, 90), 
  h = c(-0.2, -0.2, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5), 
  v = c(0.5, 0.5, -0.5, -0.5, 1, 1), 
  fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 6 × 7
##   fnc       x     y angle     h     v fnc_label  
##   <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>      
## 1 cot    0.25 1.01      0  -0.2   0.5 cot~theta  
## 2 tan    1.25 0.433     0  -0.2   0.5 tan~theta  
## 3 sin    0    0.433    90   0.5  -0.5 sin~theta  
## 4 cos    0.25 0.866     0   0.5  -0.5 cos~theta  
## 5 exsec  1.5  0         0   0.5   1   exsec~theta
## 6 excsc  0    1.08     90   0.5   1   excsc~theta

　線分の中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3
x_min <- min(-axis_size, 1/cos(theta))
x_max <- max(axis_size, 1/cos(theta))
y_min <- min(-axis_size, 1/sin(theta))
y_max <- max(axis_size, 1/sin(theta))

# 単位円上の三角関数直線を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(x_min, x_max), ylim = c(y_min, y_max)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

　こちらの図は、原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分を底辺、y軸線の一部を斜辺としたときのパターン1の図と言えます。文字通り首を捻って見てください。
　cot関数の値は、「原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る直線」に対する「円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る垂線」と「 $x = 0$ の直線(破線)」の「交点 $(0, \frac{1}{\sin \theta})$ と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分」の長さです。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたcot関数をアニメーションで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 150

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.199410 -6.115634 -6.031858 -5.948082 -5.864306

　フレーム数frame_numを指定して、円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の値を等間隔にframe_num個作成します。範囲を $2 n \pi$ にしてframe_num + 1個の等間隔の値を作成して最後の値を除くと、最後のフレームと最初のフレームがスムーズに繋がります。

　フレーム切替用のラベルとして用いる文字列ベクトルを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
frame_label_vec <- paste0(
  "θ = ", round(theta_i/pi, digits = 2), " π", 
  ", cot θ = ", round(1/tan(theta_i), digits = 2), 
  ", tan θ = ", round(tan(theta_i), digits = 2), 
  ", sin θ = ", round(sin(theta_i), digits = 2), 
  ", cos θ = ", round(cos(theta_i), digits = 2), 
  ", exsec θ = ", round(1/cos(theta_i)-1, digits = 2), 
  ", excsc θ = ", round(1/sin(theta_i)-1, digits = 2)
)
head(frame_label_vec)

## [1] "θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = 1, exsec θ = 0, excsc θ = 4082944682095960"
## [2] "θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, cos θ = 1, exsec θ = 0, excsc θ = 10.95"             
## [3] "θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, cos θ = 0.99, exsec θ = 0.01, excsc θ = 5"            
## [4] "θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, cos θ = 0.97, exsec θ = 0.03, excsc θ = 3.02"         
## [5] "θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, cos θ = 0.94, exsec θ = 0.06, excsc θ = 2.04"         
## [6] "θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, cos θ = 0.91, exsec θ = 0.09, excsc θ = 1.46"

　この例では、フレームごとの変数と関数の値をグラフに表示するために、theta_iを用いた文字列をフレーム切替用のラベル列として使います。フレーム番号として、通し番号を用いても作図できます。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 曲線上の点の描画用
anim_point_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  sin_t = sin(theta_i), 
  cos_t = cos(theta_i), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_point_df

## # A tibble: 150 × 4
##        t    sin_t cos_t frame_label                                         
##    <dbl>    <dbl> <dbl> <fct>                                               
##  1 -6.28 2.45e-16 1     θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin …
##  2 -6.20 8.37e- 2 0.996 θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = … 
##  3 -6.12 1.67e- 1 0.986 θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0… 
##  4 -6.03 2.49e- 1 0.969 θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0… 
##  5 -5.95 3.29e- 1 0.944 θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0… 
##  6 -5.86 4.07e- 1 0.914 θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0… 
##  7 -5.78 4.82e- 1 0.876 θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, sin θ = 0… 
##  8 -5.70 5.53e- 1 0.833 θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, sin θ = 0… 
##  9 -5.61 6.21e- 1 0.784 θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, sin θ = 0… 
## 10 -5.53 6.85e- 1 0.729 θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, sin θ = 0… 
## # … with 140 more rows

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をフレーム切替用のラベルとあわせて格納します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角マークの座標を計算
d <- 0.15
anim_angle_mark_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec), # フレーム切替用ラベル
) |> 
  dplyr::group_by(frame_i, frame_label) |> # ラジアンの作成用
  dplyr::summarise(
    t = seq(from = 0, to = theta_i[frame_i], length.out = 100), .groups = "drop"
  ) |> # なす角以下のラジアンを作成
  dplyr::mutate(
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
anim_angle_mark_df

## # A tibble: 15,000 × 5
##    frame_i frame_label                                      t     x        y
##      <int> <fct>                                        <dbl> <dbl>    <dbl>
##  1       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ…  0      0.15   0      
##  2       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.0635 0.150 -0.00951
##  3       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.127  0.149 -0.0190 
##  4       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.190  0.147 -0.0284 
##  5       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.254  0.145 -0.0377 
##  6       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.317  0.143 -0.0468 
##  7       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.381  0.139 -0.0557 
##  8       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.444  0.135 -0.0645 
##  9       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.508  0.131 -0.0729 
## 10       1 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ… -0.571  0.126 -0.0811 
## # … with 14,990 more rows

　フレーム列でグループ化してフレーム(変数の値)ごとに、summarise()を使って0から各フレームの角度theta_n[frame_i]までの値を作成して、円弧の座標を計算します。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
anim_angle_label_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  t = 0.5 * theta_i, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_angle_label_df

## # A tibble: 150 × 5
##    frame_i     t      x         y frame_label                               
##      <int> <dbl>  <dbl>     <dbl> <fct>                                     
##  1       1 -3.14 -0.21  -2.57e-17 θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ…
##  2       2 -3.10 -0.210 -8.79e- 3 θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08,…
##  3       3 -3.06 -0.209 -1.76e- 2 θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, …
##  4       4 -3.02 -0.208 -2.63e- 2 θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, …
##  5       5 -2.97 -0.207 -3.50e- 2 θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, …
##  6       6 -2.93 -0.205 -4.37e- 2 θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, …
##  7       7 -2.89 -0.203 -5.22e- 2 θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, …
##  8       8 -2.85 -0.201 -6.07e- 2 θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, …
##  9       9 -2.81 -0.198 -6.91e- 2 θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, …
## 10      10 -2.76 -0.195 -7.73e- 2 θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, …
## # … with 140 more rows

　フレームごとの角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、「グラフの作成」のときと同様に2つの方法で図示します。

パターン1

・作図コード(クリックで展開)

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
anim_radius_df <- tibble::tibble(
  x_from = c(
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    1/tan(theta_i)
  ), 
  y_from = c(
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), 
    1/tan(theta_i)
  ), 
  y_to =  c(
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i), 
    rep(1, times = frame_num), 
    rep(1, times = frame_num)
  ), 
  type = c("normal", "normal", "thin", "thin") |> 
    rep(each = frame_num), # 太さ用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 4) |> # (4は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_radius_df

## # A tibble: 600 × 6
##    x_from y_from  x_to  y_to type   frame_label                              
##     <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr>  <fct>                                    
##  1      0      0     1     0 normal θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan …
##  2      0      0     1     0 normal θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.0… 
##  3      0      0     1     0 normal θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17… 
##  4      0      0     1     0 normal θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26… 
##  5      0      0     1     0 normal θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35… 
##  6      0      0     1     0 normal θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45… 
##  7      0      0     1     0 normal θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55… 
##  8      0      0     1     0 normal θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66… 
##  9      0      0     1     0 normal θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79… 
## 10      0      0     1     0 normal θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94… 
## # … with 590 more rows

　「グラフの作成」のときと同様に、フレーム数分の原点と点 $(0, 1)$ の座標と、フレームごとの点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ の座標、また補助線用の線分の座標を格納します。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# 関数直線の線分の座標を格納
anim_function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c(
    "cot", "cot", 
    "tan", 
    "sin", "sin", 
    "cos", "cos", 
    "exsec", 
    "excsc") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(1, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    cos(theta_i), 
    cos(theta_i)
  ), 
  y_from = c(
    rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), 
    sin(theta_i), 
    sin(theta_i)
  ), 
  x_to = c(
    1/tan(theta_i), 1/tan(theta_i), 
    rep(1, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), cos(theta_i), 
    cos(theta_i), cos(theta_i), 
    rep(1, times = frame_num), 
    1/tan(theta_i)
  ), 
  y_to = c(
    rep(0, times = frame_num), rep(1, times = frame_num), 
    tan(theta_i), 
    sin(theta_i), sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), 
    tan(theta_i), 
    rep(1, times = frame_num)
  ), 
  type = c(
    "bold", "normal", 
    "normal", 
    "normal", "normal", 
    "thin", "normal", 
    "bold", 
    "thin") |> 
    rep(each = frame_num), # 太さ用
  label_flag = c(FALSE, TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE) |> 
    rep(each = frame_num), # # 関数ラベル用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 9) |> # (9は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_line_df

## # A tibble: 1,350 × 8
##    fnc   x_from y_from    x_to  y_to type  label_flag frame_label            
##    <fct>  <dbl>  <dbl>   <dbl> <dbl> <chr> <lgl>      <fct>                  
##  1 cot        0      0 4.08e15     0 bold  FALSE      θ = -2 π, cot θ = 4082…
##  2 cot        0      0 1.19e 1     0 bold  FALSE      θ = -1.97 π, cot θ = 1…
##  3 cot        0      0 5.91e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.95 π, cot θ = 5…
##  4 cot        0      0 3.89e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.92 π, cot θ = 3…
##  5 cot        0      0 2.87e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.89 π, cot θ = 2…
##  6 cot        0      0 2.25e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.87 π, cot θ = 2…
##  7 cot        0      0 1.82e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.84 π, cot θ = 1…
##  8 cot        0      0 1.51e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.81 π, cot θ = 1…
##  9 cot        0      0 1.26e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.79 π, cot θ = 1…
## 10 cot        0      0 1.06e 0     0 bold  FALSE      θ = -1.76 π, cot θ = 1…
## # … with 1,340 more rows

　線分ごとにframe_num個の座標を格納します。
　また、関数ラベルを描画する線分をlabel_flag列に指定しておきます。関数ごとに、ラベルを表示する1つの線分をTRUE、それ以外をFALSEとします。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を計算
anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> 
  dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0) |> 
      rep(each = frame_num), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1) |> 
      rep(each = frame_num), 
    v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") |> 
      rep(each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 900 × 8
##    fnc   frame_label                      x     y angle     h     v fnc_label
##    <fct> <fct>                        <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
##  1 cot   θ = -2 π, cot θ = 408280… 2.04e+15     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  2 cot   θ = -1.97 π, cot θ = 11.… 5.95e+ 0     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  3 cot   θ = -1.95 π, cot θ = 5.9… 2.96e+ 0     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  4 cot   θ = -1.92 π, cot θ = 3.8… 1.95e+ 0     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  5 cot   θ = -1.89 π, cot θ = 2.8… 1.44e+ 0     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  6 cot   θ = -1.87 π, cot θ = 2.2… 1.12e+ 0     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  7 cot   θ = -1.84 π, cot θ = 1.8… 9.09e- 1     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  8 cot   θ = -1.81 π, cot θ = 1.5… 7.53e- 1     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
##  9 cot   θ = -1.79 π, cot θ = 1.2… 6.31e- 1     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
## 10 cot   θ = -1.76 π, cot θ = 1.0… 5.32e- 1     1     0   0.5  -0.5 cot~theta
## # … with 890 more rows

　anim_function_line_dfからlabel_flag列がTRUEの行(線分)を取り出して、fnc, frame_label列でグループ化して関数(線分)とフレームごとに、中点の座標をmedian()で計算します。
　また、ラベル用の文字列などの列を追加します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
x_size <- 2
y_size <- 2

# 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = anim_radius_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = anim_angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = anim_angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = anim_function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")
# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 800, height = 800)

　gganimateパッケージを利用して、アニメーション(gif画像)を作成します。
　transition_manual()のフレーム制御の引数framesにフレーム(変数)ラベル列frame_labelを指定して、グラフを作成します。
　animate()のplot引数にグラフオブジェクト、nframes引数にフレーム数frame_numを指定して、gif画像を作成します。また、fps引数に1秒当たりのフレーム数を指定できます。

　 $\theta = 0, \pi$ のとき $\sin \theta = 0$ なので、原点と円周上の点を結ぶ線分が水平になりその垂線が $y = 1$ の直線と平行なため交点ができず、 $\cot \theta$ を描画(定義)できないのが分かります。

パターン2

・作図コード(クリックで展開)

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
anim_radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  y_to =  c(
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i), 
    ifelse(sin(theta_i) >= 0, yes = 1, no = 0)
  ), 
  type = c("normal", "normal", "thin") |> 
    rep(each = frame_num), # 太さ用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 3) |> # (3は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_radius_df

## # A tibble: 450 × 4
##     x_to  y_to type   frame_label                                          
##    <dbl> <dbl> <chr>  <fct>                                                
##  1     1     0 normal θ = -2 π, cot θ = 4082809838298843, tan θ = 0, sin θ…
##  2     1     0 normal θ = -1.97 π, cot θ = 11.91, tan θ = 0.08, sin θ = 0.…
##  3     1     0 normal θ = -1.95 π, cot θ = 5.91, tan θ = 0.17, sin θ = 0.1…
##  4     1     0 normal θ = -1.92 π, cot θ = 3.89, tan θ = 0.26, sin θ = 0.2…
##  5     1     0 normal θ = -1.89 π, cot θ = 2.87, tan θ = 0.35, sin θ = 0.3…
##  6     1     0 normal θ = -1.87 π, cot θ = 2.25, tan θ = 0.45, sin θ = 0.4…
##  7     1     0 normal θ = -1.84 π, cot θ = 1.82, tan θ = 0.55, sin θ = 0.4…
##  8     1     0 normal θ = -1.81 π, cot θ = 1.51, tan θ = 0.66, sin θ = 0.5…
##  9     1     0 normal θ = -1.79 π, cot θ = 1.26, tan θ = 0.79, sin θ = 0.6…
## 10     1     0 normal θ = -1.76 π, cot θ = 1.06, tan θ = 0.94, sin θ = 0.6…
## # … with 440 more rows

　先ほどと同様に、半径を示す線分と補助線用の線分の座標を格納します。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
anim_function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cot", "tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec", "excsc") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    cos(theta_i), 
    cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(1, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  y_from = c(
    sin(theta_i), 
    sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i), ifelse(sin(theta_i) >= 0, yes = 1, no = -1), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(1, times = frame_num)
  ), 
  x_to = c(
    rep(0, times = frame_num), 
    1/cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), abs(sin(theta_i))*cos(theta_i), 
    cos(theta_i), abs(sin(theta_i))*cos(theta_i), 
    1/cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  y_to = c(
    1/sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i), abs(sin(theta_i))*sin(theta_i), 
    sin(theta_i), abs(sin(theta_i))*sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), 
    1/sin(theta_i)
  ), 
  type = c("normal", "normal", "bold", "normal", "normal", "normal", "normal", "thin") |> 
    rep(each = frame_num), # 太さ用
  label_flag = c(TRUE, TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE, TRUE) |> 
    rep(each = frame_num), # # 関数ラベル用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 8) |> # (8は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_line_df

## # A tibble: 1,200 × 8
##    fnc   x_from   y_from  x_to    y_to type   label_flag frame_label         
##    <fct>  <dbl>    <dbl> <dbl>   <dbl> <chr>  <lgl>      <fct>               
##  1 cot    1     2.45e-16     0 4.08e15 normal TRUE       θ = -2 π, cot θ = 4…
##  2 cot    0.996 8.37e- 2     0 1.20e 1 normal TRUE       θ = -1.97 π, cot θ …
##  3 cot    0.986 1.67e- 1     0 6.00e 0 normal TRUE       θ = -1.95 π, cot θ …
##  4 cot    0.969 2.49e- 1     0 4.02e 0 normal TRUE       θ = -1.92 π, cot θ …
##  5 cot    0.944 3.29e- 1     0 3.04e 0 normal TRUE       θ = -1.89 π, cot θ …
##  6 cot    0.914 4.07e- 1     0 2.46e 0 normal TRUE       θ = -1.87 π, cot θ …
##  7 cot    0.876 4.82e- 1     0 2.08e 0 normal TRUE       θ = -1.84 π, cot θ …
##  8 cot    0.833 5.53e- 1     0 1.81e 0 normal TRUE       θ = -1.81 π, cot θ …
##  9 cot    0.784 6.21e- 1     0 1.61e 0 normal TRUE       θ = -1.79 π, cot θ …
## 10 cot    0.729 6.85e- 1     0 1.46e 0 normal TRUE       θ = -1.76 π, cot θ …
## # … with 1,190 more rows

　線分の座標を格納します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を計算
anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> 
  dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = c(0, 0, 90, 0, 0, 90) |> 
      rep(each = frame_num), 
    h = c(-0.2, -0.2, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    v = c(0.5, 0.5, -0.5, -0.5, 1, 1) |> 
      rep(each = frame_num), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") |> 
      rep(each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 900 × 8
##    fnc   frame_label                    x       y angle     h     v fnc_label
##    <fct> <fct>                      <dbl>   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
##  1 cot   θ = -2 π, cot θ = 4082809… 0.5   2.04e15     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  2 cot   θ = -1.97 π, cot θ = 11.9… 0.498 6.02e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  3 cot   θ = -1.95 π, cot θ = 5.91… 0.493 3.08e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  4 cot   θ = -1.92 π, cot θ = 3.89… 0.484 2.13e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  5 cot   θ = -1.89 π, cot θ = 2.87… 0.472 1.68e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  6 cot   θ = -1.87 π, cot θ = 2.25… 0.457 1.43e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  7 cot   θ = -1.84 π, cot θ = 1.82… 0.438 1.28e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  8 cot   θ = -1.81 π, cot θ = 1.51… 0.416 1.18e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
##  9 cot   θ = -1.79 π, cot θ = 1.26… 0.392 1.12e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
## 10 cot   θ = -1.76 π, cot θ = 1.06… 0.364 1.07e 0     0  -0.2   0.5 cot~theta
## # … with 890 more rows

　ラベルを表示する線分の中点の座標を計算して、ラベル用の文字列などを格納します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
x_size <- 2
y_size <- 2

# 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = anim_radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to, size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = anim_angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = anim_angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = anim_function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 800, height = 800)

　こちらの図だと、原点と円周上の点を結ぶ線分が垂直になりその垂線が $x = 0$ の直線と平行なため交点ができず、 $\cot \theta$ を描画(定義)できないのが分かります。

単位円上の点とcot関数曲線の関係の可視化

　最後は、単位円上におけるcot関数の値(直線)と、cot関数の曲線の関係をグラフで確認します。

グラフの作成

　変数を固定したtan関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 単位円上の点用のラジアンを指定
theta <- 3/4 * pi

# 曲線上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta), 
  cot_t = 1/tan(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 4
##       t sin_t  cos_t cot_t
##   <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl>
## 1  2.36 0.707 -0.707    -1

　曲線上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　「単位円上のcot関数の可視化」の「パターン1」のコードで4つのデータフレームを作成します。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcot関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c(
    "cot", "cot", "cot", 
    "tan", 
    "sin", "sin", 
    "cos", "cos", 
    "exsec", 
    "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 0, 
    1, 
    0, cos(theta), 
    0, 0, 
    cos(theta), 
    cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, 1, 0, 
    0, 
    0, 0, 
    0, sin(theta), 
    sin(theta), 
    sin(theta)
  ), 
  x_to = c(
    1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 
    1, 
    0, cos(theta), 
    cos(theta), cos(theta), 
    1, 
    1/tan(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, 1, 1/tan(theta), 
    tan(theta), 
    sin(theta), sin(theta), 
    0, sin(theta), 
    tan(theta), 
    1
  ), 
  linewidth = c(
    "bold", "normal", "bold", 
    "normal", 
    "normal", "normal", 
    "thin", "normal", 
    "bold", 
    "thin"), # 太さ用
  linetype = c(
    "main", "main", "sub", 
    "main", 
    "main", "main", 
    "main", "main", 
    "main", 
    "main") # 線タイプ用
)
function_line_df

## # A tibble: 10 × 7
##    fnc   x_from y_from   x_to   y_to linewidth linetype
##    <fct>  <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl> <chr>     <chr>   
##  1 cot    0      0     -1      0     bold      main    
##  2 cot    0      1     -1      1     normal    main    
##  3 cot    0      0      0     -1     bold      sub     
##  4 tan    1      0      1     -1     normal    main    
##  5 sin    0      0      0      0.707 normal    main    
##  6 sin   -0.707  0     -0.707  0.707 normal    main    
##  7 cos    0      0     -0.707  0     thin      main    
##  8 cos    0      0.707 -0.707  0.707 normal    main    
##  9 exsec -0.707  0.707  1     -1     bold      main    
## 10 excsc -0.707  0.707 -1      1     thin      main

　「単位円上のcot関数の可視化」のときのコードに、cot直線の1つを90°回転(軸を変換)した線分の座標を格納します。

　軸の変換前後の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 変換曲線の先端の座標を格納
adapt_point_df <- tibble::tibble(
  x = c(1/tan(theta), 0), 
  y = c(0, 1/tan(theta))
)
adapt_point_df

## # A tibble: 2 × 2
##       x     y
##   <dbl> <dbl>
## 1    -1     0
## 2     0    -1

　x軸・y軸の値をそれぞれ $0, \cot \theta$ とする2点の座標を格納します。

　x軸の値を90度回転する曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 軸変換曲線の描画用
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = ifelse(
    test = rep(tan(theta) > 0, times = 100), 
    yes = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    no = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
  ), 
  x = abs(1/tan(theta)) * cos(rad), 
  y = abs(1/tan(theta)) * sin(rad)
)
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
  x = 1/tan(theta) * cos(rad), 
  y = 1/tan(theta) * sin(rad)
)
adapt_line_df

## # A tibble: 100 × 3
##       rad      x       y
##     <dbl>  <dbl>   <dbl>
##  1 0      -1      0     
##  2 0.0159 -1.00  -0.0159
##  3 0.0317 -0.999 -0.0317
##  4 0.0476 -0.999 -0.0476
##  5 0.0635 -0.998 -0.0634
##  6 0.0793 -0.997 -0.0792
##  7 0.0952 -0.995 -0.0951
##  8 0.111  -0.994 -0.111 
##  9 0.127  -0.992 -0.127 
## 10 0.143  -0.990 -0.142 
## # … with 90 more rows

　軸を変換する軌道として、半径が $|\cot \theta|$ の弧を描画します。全体値 $|x|$ はabs()で計算できます。
　 $\cot \theta \geq 0$ のとき( $\tan \theta \geq 0$ のとき)x軸の正の部分からy軸の正の部分への変化を示すため $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ のラジアン、 $\cos \theta \lt 0$ のときx軸の負の部分からy軸の負の部分への変化を示すため $\pi \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}$ のラジアンを用いて、弧のx軸の値 $x = |\cot \theta| \cos t$ とy軸の値 $y = |\cot \theta| \sin t$ を計算します。
　または、 $- \sin x = \sin (x + \pi), - \cot x = \cot (x + \pi)$ なのを利用して、 $\theta$ の値に関わらず、 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ のラジアンを用いて、 $x = \cos \theta \cos t$ 、 $y = \cos \theta \sin t$ でも弧の座標を計算できます。

　単位円における点とcot曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_min  <- 2
axis_max  <- 5
axis_size <- ceiling(abs(1/tan(theta))) |> 
  max(axis_min) |> 
  min(axis_max)

# cot曲線との対応線の座標を格納
l <- 0.5
segment_circle_df <- tibble::tibble(
  x = 0, 
  x_to = axis_size+l, 
  y = 1/tan(theta)
)
segment_circle_df

## # A tibble: 1 × 3
##       x  x_to     y
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1     0     2    -1

　単位円における点からy軸の反対側へ水平線を引くように座標を指定します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
  ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
  ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
  ")"
)

# 単位円上の三角関数直線を作図
circle_graph <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_point(data = adapt_point_df, 
             mapping = aes(x = x, y = y), 
             size = 4) + # cot関数の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  geom_path(data = adapt_line_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線
  geom_segment(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線
  scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                        values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")
circle_graph

　「単位円上のcot関数の可視化」のときと同様に、作図します。

　cot関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# cot関数を計算
cot_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), 
  cot_t = 1/tan(t)
) |> 
  dplyr::mutate(
    cot_t = dplyr::if_else(
      condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), 
      true = cot_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )
cot_df

## # A tibble: 1,000 × 2
##          t cot_t
##      <dbl> <dbl>
##  1 0          NA
##  2 0.00629    NA
##  3 0.0126     NA
##  4 0.0189     NA
##  5 0.0252     NA
##  6 0.0314     NA
##  7 0.0377     NA
##  8 0.0440     NA
##  9 0.0503     NA
## 10 0.0566     NA
## # … with 990 more rows

　「cot関数の作図」のときと同様にして、曲線の座標を計算します。

　cot曲線上の点と単位円における点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# cot直線との対応線の座標を格納
l <- 0.7
d <- 1.1
segment_cot_df <- tibble::tibble(
  x = c(theta, theta), 
  y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), 
  x_to = c(theta, -l), 
  y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta))
)
segment_cot_df

## # A tibble: 2 × 4
##       x     y  x_to  y_to
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  2.36    -1  2.36 -1.65
## 2  2.36    -1 -0.7  -1

　曲線上の点からx軸とy軸へ垂線と水平線を引くように座標を指定します。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] 0 1 2 3 4 5
## [1] "frac(0, 6)~pi" "frac(1, 6)~pi" "frac(2, 6)~pi" "frac(3, 6)~pi"
## [5] "frac(4, 6)~pi" "frac(5, 6)~pi"

　「cot関数の作図」のときと同様にして、目盛ラベル用の値と文字列を作成します。

　cot関数曲線のグラフを作成します。

# 関数ラベル用の文字列を作成
cot_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# cot関数曲線を作図
cot_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = cot_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
            size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
             size = 4) + # 曲線上の点
  geom_segment(data = segment_cot_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "cotangent function", 
       subtitle = parse(text = cot_label), 
       x = expression(theta), 
       y = expression(cot~theta))
cot_graph

　「cot関数の作図」のときと同様に、作図します。

　2つのグラフを並べて描画します。

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(circle_graph, cot_graph)

　patchworkパッケージのwrap_plots()を使ってグラフを並べます。

　2つのグラフで、単位円における点の値とcot曲線上の点のy軸の値と、なす角の値とx軸の値がそれぞれ一致するのが分かります。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcot関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c(
    "cot", "cot", 
    "tan", 
    "sin", "sin", 
    "cos", "cos", 
    "exsec", 
    "excsc") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 
    1, 
    0, cos(theta), 
    0, 0, 
    cos(theta), 
    cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, 1, 
    0, 
    0, 0, 
    0, sin(theta), 
    sin(theta), 
    sin(theta)
  ), 
  x_to = c(
    1/tan(theta), 1/tan(theta), 
    1, 
    0, cos(theta), 
    cos(theta), cos(theta), 
    1, 
    1/tan(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, 1, 
    tan(theta), 
    sin(theta), sin(theta), 
    0, sin(theta), 
    tan(theta), 
    1
  ), 
  type = c(
    "bold", "normal", 
    "normal", 
    "normal", "normal", 
    "thin", "normal", 
    "bold", 
    "thin") # 太さ用
)
function_line_df

## # A tibble: 9 × 6
##   fnc   x_from y_from   x_to   y_to type  
##   <fct>  <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl> <chr> 
## 1 cot    0      0     -1      0     bold  
## 2 cot    0      1     -1      1     normal
## 3 tan    1      0      1     -1     normal
## 4 sin    0      0      0      0.707 normal
## 5 sin   -0.707  0     -0.707  0.707 normal
## 6 cos    0      0     -0.707  0     thin  
## 7 cos    0      0.707 -0.707  0.707 normal
## 8 exsec -0.707  0.707  1     -1     bold  
## 9 excsc -0.707  0.707 -1      1     thin

　「単位円上のcot関数の可視化」のときのコードで線分の座標を格納します。

　単位円における点と軸の変換図上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_min  <- 2
axis_max  <- 5
axis_size <- ceiling(abs(1/tan(theta))) |> 
  max(axis_min) |> 
  min(axis_max)

# 軸変換曲線との対応線の座標を格納
l <- 0.4
segment_circle_df <- tibble::tibble(
  x = 1/tan(theta), 
  y = 0, 
  y_to = -axis_size-l
)
segment_circle_df

## # A tibble: 1 × 3
##       x     y  y_to
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    -1     0  -1.9

　単位円上の点からx軸へ垂直線を引くように座標を指定します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# 単位円上の三角関数直線を作図
circle_graph <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_point(mapping = aes(x = 1/tan(theta), y = 0), 
             size = 4) + # cot関数の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             size = type)) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  geom_segment(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")
circle_graph

　「単位円上のcot関数の可視化」のときと同様に、作図します。

　x軸の値を90度回転する線を描画するためのデータフレームを作成します。

# cot関数の軸変換曲線の座標を計算
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), 
  x = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * cos(rad), 
  y = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * sin(rad)
) |> 
  dplyr::mutate(
    x = dplyr::if_else(
      condition = x <= axis_size, 
      true = x, 
      false = NA_real_
    ), 
    y = dplyr::if_else(
      condition = y <= axis_size, 
      true = y, 
      false = NA_real_
    )
  ) # 描画領域外の値を欠損値に置換
adapt_line_df

## # A tibble: 100 × 3
##      rad      x     y
##    <dbl>  <dbl> <dbl>
##  1  3.14 -1     NA   
##  2  3.16 -1.00   1.46
##  3  3.17 -0.999  1.42
##  4  3.19 -0.997  1.38
##  5  3.21 -0.995  1.34
##  6  3.22 -0.992  1.30
##  7  3.24 -0.989  1.26
##  8  3.25 -0.985  1.22
##  9  3.27 -0.980  1.18
## 10  3.28 -0.975  1.14
## # … with 90 more rows

　グラフのサイズをaxis_sizeの2倍としました。axis_sizeを $S$ で表します。軸を変換する軌道として、中心の座標が $(S, S)$ で半径が $r = S - \cot \theta$ の弧を描画します。また、弧の中心が図の右上隅になるようにします。
　 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ を用いて、弧のx軸の値 $x = S + r \cos t$ とy軸の値 $y = S + r \sin t$ を計算します。
　円の座標計算については「円周の作図」を参照してください。

　軸の変換図のグリッド線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 軸変換図のグリッド線の描画用
d <- 0.5
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = axis_size + d * cos(rad), 
    y = axis_size + d * sin(rad)
  )
adapt_grid_df

## # A tibble: 600 × 4
##        d   rad     x     y
##    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
##  1   0.5  3.14  1     1.5 
##  2   0.5  3.16  1.00  1.49
##  3   0.5  3.17  1.00  1.48
##  4   0.5  3.19  1.00  1.48
##  5   0.5  3.21  1.00  1.47
##  6   0.5  3.22  1.00  1.46
##  7   0.5  3.24  1.00  1.45
##  8   0.5  3.25  1.00  1.44
##  9   0.5  3.27  1.00  1.44
## 10   0.5  3.28  1.01  1.43
## # … with 590 more rows

　軸の変換曲線と同様に、グリッド線として、等間隔の半径の複数の曲線を描画します。この例では、半径を $0 \lt r \leq 2 S$ の範囲の $0.5$ 間隔の値とします。
　半径 $r$ の値を指定してd列、ラジアン $t$ の値を作成してrad列とします。d, rad列の全ての組み合わせをexpand_grid()で作成することで、半径ごとに曲線用のラジアンを複製します。
　弧の座標を $x = S + r \cos t$ 、 $y = S + r \sin t$ で計算します。

　軸の変換図上の点とcot曲線上の点・単位円上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# cot曲線・直線との対応線の座標を格納
l <- 0.9
segment_adapt_df <- tibble::tibble(
  x = c(1/tan(theta), axis_size), 
  y = c(axis_size, 1/tan(theta)), 
  x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), 
  y_to = c(axis_size+l, 1/tan(theta))
)
segment_adapt_df

## # A tibble: 2 × 4
##       x     y  x_to  y_to
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  -1     1.5  -1     2.4
## 2   1.5  -1     2.4  -1

　曲線の両端からx軸とy軸の反対側へ水平線と垂直線を引くように座標を指定します。

　軸の変換図を作成します。

# 軸の変換曲線を作図
adapt_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = adapt_grid_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
            color = "white") + # グリッド線
  geom_line(data = adapt_line_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
  geom_point(data = segment_adapt_df, 
             mapping = aes(x = x, y = y), 
             size = 4) + # cos関数の点
  geom_segment(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
  #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(x = "x", y = "x")
adapt_graph

　軸の変換曲線とグリッド線をそれぞれgeom_line()で描画します。

　「パターン1」のときのコードで、cot関数曲線のグラフを作成します。

　3つのグラフを並べて描画します。

# 縦横比を計算
w_per_h <- pi / axis_size

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(
  circle_graph, patchwork::plot_spacer(), 
  adapt_graph, cot_graph, 
  nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, w_per_h, 1, w_per_h), heights = c(1, 1, 1, 1)
)

　グラフを配置しない位置をplot_spacer()で指定します。

　分かりやすい方の図を参考にしてください。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。

1周期

　円周上を1周した際のcot関数の直線と曲線上の点の関係を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 60

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] 0.0000000 0.1047198 0.2094395 0.3141593 0.4188790 0.5235988

　フレーム数frame_numを指定して、円周上と曲線上の点の座標計算に用いるの変数(ラジアン)として $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲でframe_num個の等間隔の値を作成します。

　「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 3

# cot関数を計算
cot_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), 
  cot_t = 1/tan(t)
) |> 
  dplyr::mutate(
    cot_t = dplyr::if_else(
      condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), 
      true = cot_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )

# 目盛ラベル用の文字列を作成
denom <- 6
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    cot_t = 1/tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), 
    y_from = c(0, 0, 0, 0), 
    x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), 
    type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c(
      "cot", "cot", "cot", 
      "tan", 
      "sin", "sin", 
      "cos", "cos", 
      "exsec", 
      "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      0, 0, 
      cos(theta), 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 1, 0, 
      0, 
      0, 0, 
      0, sin(theta), 
      sin(theta), 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      cos(theta), cos(theta), 
      1, 
      1/tan(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, 1, 1/tan(theta), 
      tan(theta), 
      sin(theta), sin(theta), 
      0, sin(theta), 
      tan(theta), 
      1
    ), 
    linewidth = c(
      "bold", "normal", "bold", 
      "normal", 
      "normal", "normal", 
      "thin", "normal", 
      "bold", 
      "thin"), # 太さ用
    linetype = c(
      "main", "main", "sub", 
      "main", 
      "main", "main", 
      "main", "main", 
      "main", 
      "main") # 線タイプ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 / tan(theta), 
      1, 
      0, 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1), 
      0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta))
    ), 
    y = c(
      1, 
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 
      0.5 * (sin(theta) + 1)
    ), 
    angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), 
    v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 変換曲線の先端の座標を格納
  adapt_point_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), 0), 
    y = c(0, 1/tan(theta))
  )
  
  # 軸変換曲線の描画用
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = 1/tan(theta) * cos(rad), 
    y = 1/tan(theta) * sin(rad)
  )
  
  # cot曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 0, 
    x_to = axis_size+l, 
    y = 1/tan(theta)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = adapt_point_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cot関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               size = type)) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_path(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線
    scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                          values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                      values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # cot直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  d <- 1.1
  segment_cot_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cot_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cot関数曲線を作図
  cot_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = cot_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cot_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cotangent function", 
         subtitle = parse(text = cot_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cot~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(circle_graph, cot_graph)
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 800, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　変数の値ごとに「グラフの作成」のときと同様に処理します。作成したグラフをggsave()で保存します。

　cot関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cot_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　全てのファイルパスを作成して、image_read()で画像ファイルを読み込んで、image_animate()でgif画像に変換して、image_write_gif()でgifファイルとして書き出します。delay引数に1秒当たりのフレーム数の逆数を指定します。

　 $\tan \theta = 0$ となる $\theta = 0, \pi, 2 \pi$ とき、cot関数の線分の方向( $\cot \theta$ の符号)が変わり、cot関数の曲線が不連続になるのが分かります。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcot関数とtan関数を並べて可視化します。tan関数の作図については「tan関数の可視化」を参照してください。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 3
w_per_h <- pi / axis_size

# tan・cot関数を計算
curve_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 1000), 
  tan_t = tan(t), 
  cot_t = 1/tan(t)
) |> 
  dplyr::mutate(
    tan_t = dplyr::if_else(
      condition = (tan_t >= -axis_size & tan_t <= axis_size), 
      true = tan_t, 
      false = NA_real_
    ), 
    cot_t = dplyr::if_else(
      condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), 
      true = cot_t, 
      false = NA_real_
    )
  ) # 閾値外の値を欠損値に置換

# 目盛ラベル用の文字列を作成
denom <- 6
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

# 軸変換図のグリッド線の描画用
d <- 1
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = axis_size + d * cos(rad), 
    y = axis_size + d * sin(rad)
  )

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    tan_t = tan(theta), 
    cot_t = 1/tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), 
    y_from = c(0, 0, 0, 0), 
    x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), 
    type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c(
      "cot", "cot", 
      "tan", 
      "sin", "sin", 
      "cos", "cos", 
      "exsec", 
      "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      0, 0, 
      cos(theta), 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 1, 
      0, 
      0, 0, 
      0, sin(theta), 
      sin(theta), 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1/tan(theta), 1/tan(theta), 
      1, 
      0, cos(theta), 
      cos(theta), cos(theta), 
      1, 
      1/tan(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, 1, 
      tan(theta), 
      sin(theta), sin(theta), 
      0, sin(theta), 
      tan(theta), 
      1
    ), 
    type = c(
      "bold", "normal", 
      "normal", 
      "normal", "normal", 
      "thin", "normal", 
      "bold", 
      "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 / tan(theta), 
      1, 
      0, 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1), 
      0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta))
    ), 
    y = c(
      1, 
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 
      0.5 * (sin(theta) + 1)
    ), 
    angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), 
    v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 軸変換曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), 1), 
    y = c(0, tan(theta)), 
    x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), 
    y_to = c(-axis_size-l, tan(theta))
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # tan・cot関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               size = type)) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = type)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
    scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                      values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## tan関数曲線の作図処理
  
  # tan直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  d <- 1.1
  segment_tan_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(-axis_size*d, tan(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(-axis_size*d-l, tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  tan_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # tan関数曲線を作図
  tan_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_tan_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "tangent function", 
         subtitle = parse(text = tan_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(tan~theta))
  
  ## 軸変換図の作図処理
  
  # cot関数の軸変換曲線の座標を計算
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), 
    x = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * cos(rad), 
    y = axis_size + (axis_size-1/tan(theta)) * sin(rad)
  ) |> 
    dplyr::mutate(
      x = dplyr::if_else(
        condition = x <= axis_size, 
        true = x, 
        false = NA_real_
      ), 
      y = dplyr::if_else(
        condition = y <= axis_size, 
        true = y, 
        false = NA_real_
      )
    ) # 描画領域外の値を欠損値に置換
  
  # cot曲線・直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.2
  segment_adapt_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), axis_size), 
    y = c(axis_size, 1/tan(theta)), 
    x_to = c(1/tan(theta), axis_size+l), 
    y_to = c(axis_size+l, 1/tan(theta))
  )
  
  # 軸の変換曲線を作図
  adapt_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = adapt_grid_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
              color = "white") + # グリッド線
    geom_line(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
    geom_point(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = segment_adapt_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
    #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(x = "x", y = "x")
  
  ## cot関数曲線の作図処理
  
  # 変換曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  d <- 1.1
  segment_cot_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(axis_size*d, 1/tan(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(axis_size*d+l, 1/tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cot_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cot関数曲線を作図
  cot_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cot_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cotangent function", 
         subtitle = parse(text = cot_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cot~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(
    circle_graph, tan_graph, 
    adapt_graph, cot_graph, 
    nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, w_per_h, 1, w_per_h), heights = c(1, 1, 1, 1)
  )
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 1500, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「グラフの作成のパターン2」の右上のスペースにsin関数曲線を配置します。また、「1周期のパターン1」と同様に処理します。

　cot関数とtan関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cot_tan_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

n周期

　円周上を複数回周回した際のcot関数の直線と曲線上の点の関係を可視化することで、周期性を確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 120

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.178466 -6.073746 -5.969026 -5.864306 -5.759587

　フレーム数frame_numを指定して、frame_num個の $\theta$ の値を作成します。theta_iの範囲が $2 \pi$ の倍数だと、アニメーションの最後と最初のフレームの繋がりが良くなります。

　「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 3

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    cot_t = 1/tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), 
    y_from = c(0, 0, 0, 0), 
    x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), 
    type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c(
      "cot", "cot", "cot", 
      "tan", 
      "sin", "sin", 
      "cos", "cos", 
      "exsec", 
      "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      0, 0, 
      cos(theta), 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 1, 0, 
      0, 
      0, 0, 
      0, sin(theta), 
      sin(theta), 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1/tan(theta), 1/tan(theta), 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      cos(theta), cos(theta), 
      1, 
      1/tan(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, 1, 1/tan(theta), 
      tan(theta), 
      sin(theta), sin(theta), 
      0, sin(theta), 
      tan(theta), 
      1
    ), 
    linewidth = c(
      "bold", "normal", "bold", 
      "normal", 
      "normal", "normal", 
      "thin", "normal", 
      "bold", 
      "thin"), # 太さ用
    linetype = c(
      "main", "main", "sub", 
      "main", 
      "main", "main", 
      "main", "main", 
      "main", 
      "main") # 線タイプ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 / tan(theta), 
      1, 
      0, 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1), 
      0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta))
    ), 
    y = c(
      1, 
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 
      0.5 * (sin(theta) + 1)
    ), 
    angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), 
    v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 変換曲線の先端の座標を格納
  adapt_point_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), 0), 
    y = c(0, 1/tan(theta))
  )
  
  # 軸変換曲線の描画用
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = 1/tan(theta) * cos(rad), 
    y = 1/tan(theta) * sin(rad)
  )
  
  # cot曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 0, 
    x_to = -axis_size-l, 
    y = 1/tan(theta)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = adapt_point_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cot関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               size = type)) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = linewidth, linetype = linetype)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_path(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot曲線との対応線
    scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                          values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                      values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # 作図用の変数の値を作成
  theta_size <- 2 * pi
  theta_min  <- theta - theta_size
  theta_vec  <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000)
  
  # 目盛ラベル用の文字列を作成
  denom <- 6
  numer_vec <- seq(
    from = floor(theta_min / pi * denom), 
    to = ceiling(theta / pi * denom), 
    by = 1
  )
  label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
  
  # cot関数を計算
  cot_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    cot_t = 1/tan(t)
  ) |> 
    dplyr::mutate(
      cot_t = dplyr::if_else(
        condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), 
        true = cot_t, 
        false = NA_real_
      ) # 閾値外の値を欠損値に置換
    )
  
  # cot直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  d <- 1.1
  segment_cot_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(1/tan(theta), 1/tan(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(-axis_size*d, 1/tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cot_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cot関数曲線を作図
  cot_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = cot_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cot_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cotangent function", 
         subtitle = parse(text = cot_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cot~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(cot_graph, circle_graph)
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 800, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。

　cot関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cot_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　先ほどと同様にして、gifファイルを作成します。

　単位円上の点が半周する $\pi$ の間隔で、曲線が同じ形になるのが分かります。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcos関数とsin関数を並べて可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 3
w_per_h <- pi / axis_size

# 軸変換図のグリッド線の描画用
d <- 1
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = seq(from = d, to = 2*axis_size, by = d), # グリッド線の位置
  rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = -axis_size + d * cos(rad), 
    y = -axis_size + d * sin(rad)
  )

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    tan_t = tan(theta), 
    cot_t = 1/tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_from = c(0, 0, 0, 1/tan(theta)), 
    y_from = c(0, 0, 0, 0), 
    x_to = c(1, cos(theta), 0, 1/tan(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta), 1, 1), 
    type = c("normal", "normal", "thin", "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c(
      "cot", "cot", 
      "tan", 
      "sin", "sin", 
      "cos", "cos", 
      "exsec", 
      "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 
      1, 
      0, cos(theta), 
      0, 0, 
      cos(theta), 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 1, 
      0, 
      0, 0, 
      0, sin(theta), 
      sin(theta), 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1/tan(theta), 1/tan(theta), 
      1, 
      0, cos(theta), 
      cos(theta), cos(theta), 
      1, 
      1/tan(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, 1, 
      tan(theta), 
      sin(theta), sin(theta), 
      0, sin(theta), 
      tan(theta), 
      1
    ), 
    type = c(
      "bold", "normal", 
      "normal", 
      "normal", "normal", 
      "thin", "normal", 
      "bold", 
      "thin") # 太さ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cot", "tan", "sin", "cos", "exsec", "excsc") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 / tan(theta), 
      1, 
      0, 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1), 
      0.5 * (cos(theta) + 1/tan(theta))
    ), 
    y = c(
      1, 
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta)), 
      0.5 * (sin(theta) + 1)
    ), 
    angle = c(0, 90, 90, 0, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 1.1, -0.1), 
    v = c(-0.5, 1, -0.5, 1, 0.5, 0.5), 
    fnc_label = c("cot~theta", "tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta", "excsc~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 軸変換曲線との対応線の座標を格納
  l <- 1.2
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), 1), 
    y = c(0, tan(theta)), 
    x_to = c(1/tan(theta), -axis_size-l), 
    y_to = c(axis_size+l, tan(theta))
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ", excsc~theta==", round(1/sin(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed") + # cot直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # tan・cot関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               size = type)) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = type)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
    scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "thin"), 
                      values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 変数の作成処理
  
  # 作図用の変数の値を作成
  theta_size <- 2 * pi
  theta_min  <- theta - theta_size
  theta_vec  <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000)
  
  # 目盛ラベル用の文字列を作成
  denom <- 6
  numer_vec <- seq(
    from = floor(theta_min / pi * denom), 
    to = ceiling(theta / pi * denom), 
    by = 1
  )
  label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

  # tan・cot関数を計算
  curve_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    tan_t = tan(t), 
    cot_t = 1/tan(t)
  ) |> 
    dplyr::mutate(
      tan_t = dplyr::if_else(
        condition = (tan_t >= -axis_size & tan_t <= axis_size), 
        true = tan_t, 
        false = NA_real_
      ), 
      cot_t = dplyr::if_else(
        condition = (cot_t >= -axis_size & cot_t <= axis_size), 
        true = cot_t, 
        false = NA_real_
      )
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  
  ## tan関数曲線の作図処理
  
  # tan直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.2
  d <- 1.1
  segment_tan_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(axis_size*d, tan(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(axis_size*d+l, tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  tan_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # tan関数曲線を作図
  tan_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_tan_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "tangent function", 
         subtitle = parse(text = tan_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(tan~theta))
  
  ## 軸変換図の作図処理
  
  # cot関数の軸変換曲線の座標を計算
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = -axis_size + (axis_size+1/tan(theta)) * cos(rad), 
    y = -axis_size + (axis_size+1/tan(theta)) * sin(rad)
  ) |> 
    dplyr::mutate(
      x = dplyr::if_else(
        condition = x >= -axis_size, 
        true = x, 
        false = NA_real_
      ), 
      y = dplyr::if_else(
        condition = y >= -axis_size, 
        true = y, 
        false = NA_real_
      )
    ) # 描画領域外の値を欠損値に置換
  
  # cot曲線・直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.5
  segment_adapt_df <- tibble::tibble(
    x = c(1/tan(theta), -axis_size), 
    y = c(-axis_size, 1/tan(theta)), 
    x_to = c(1/tan(theta), -axis_size-l), 
    y_to = c(-axis_size-l, 1/tan(theta))
  )
  
  # 軸の変換曲線を作図
  adapt_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = adapt_grid_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
              color = "white") + # グリッド線
    geom_line(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
    geom_point(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = segment_adapt_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
    #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(x = "x", y = "x")
  
  ## cot関数曲線の作図処理
  
  # 変換曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.9
  d <- 1.1
  segment_cot_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(-axis_size*d, 1/tan(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(-axis_size*d-l, 1/tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cot_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cot~theta==", round(1/tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cot関数曲線を作図
  cot_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # cot曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cot_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cot_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cot直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cotangent function", 
         subtitle = parse(text = cot_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cot~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(
    cot_graph, adapt_graph, 
    tan_graph, circle_graph, 
    nrow = 2, ncol = 2, widths = c(w_per_h, 1, w_per_h, 1), heights = c(1, 1, 1, 1)
  )
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1100, height = 1100, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から上下左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。

　cot関数とtan関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cot_tan_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　この記事では、cot関数を可視化しました。次の記事では、ここまでで扱った6つの関数を可視化します。

参考書籍

『三角関数(改定第3版)』(Newton別冊)ニュートンプレス,2022年.

おわりに

　secとcscでそれぞれ1か所悩んでいる部分がありまして、先にcotを完成させました。
　気温が上がってきてやる気が下がってきており、前回から半月空いてしまいました。なんだかもう色々面倒臭いです。梅雨が過ぎたら冬が来てほしい。

【次の内容】

からっぽのしょこ

読んだら書く！書いたら読む！同じ事は二度調べ(たく)ない

【R】cot関数の可視化

はじめに

cot関数の可視化

定義式の確認

cot関数の作図

単位円の作図

単位円上のcot関数の可視化

グラフの作成

パターン1

パターン2

アニメーションの作成

パターン1

パターン2

単位円上の点とcot関数曲線の関係の可視化

グラフの作成

パターン1

パターン2

アニメーションの作成

1周期

パターン1

パターン2

n周期

パターン1

パターン2

参考書籍

おわりに