はじめに

　R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズです。

　この記事では、tan関数のグラフを作成します。

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【この記事の内容】

はじめに
tan関数の可視化
参考書籍
おわりに

tan関数の可視化

　三角関数(trigonometric functions)・円関数(circular functions)の1つであるtan関数(正接関数・タンジェント関数・tangent function)をグラフで確認します。

　ggplot2パッケージなどを使って作図します。

・作図コード(クリックで展開)

　利用するパッケージを読み込みます。

# 利用パッケージ
library(tidyverse)
library(gganimate)
library(patchwork)
library(magick)

　この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2を読み込む必要があります。
　また、ネイティブパイプ演算子|>を使っています。magrittrパッケージのパイプ演算子%>%に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittrも読み込む必要があります。

定義式の確認

　まずは、tan関数の定義式を確認します。

　tan関数は、次の式で定義されます。

$\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

　 $\sin x$ はサイン関数、 $\cos x$ はコサイン関数です。sin関数については「【R】sin関数の可視化 - からっぽのしょこ」、cos関数については「【R】cos関数の可視化 - からっぽのしょこ」を参照してください。
　ただし、 $n$ を整数として $x = \frac{2 n + 1}{2} \pi$ のとき、 $\cos x = 0$ なので、0除算になるため定義できません。 $\pi$ は円周率で、変数 $x$ は弧度法の角度(ラジアン)です。

tan関数の作図

　次に、tan関数のグラフを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(ベクトル)を設定します。

# 関数曲線用のラジアンを指定
theta_vec <- seq(from = -2.5*pi, to = 2.5*pi, length.out = 1000)
head(theta_vec)

## [1] -7.853982 -7.838258 -7.822534 -7.806811 -7.791087 -7.775363

　曲線の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の範囲を指定してtheta_vecとします。円周率 $\pi$ はpiで扱えます。

　tan関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 閾値を指定
threshold <- 4

# tan関数を計算
tan_df <- tibble::tibble(
  t = theta_vec, 
  sin_t = sin(theta_vec), 
  cos_t = cos(theta_vec), 
  tan_t = tan(theta_vec)
) |> 
  dplyr::mutate(
    tan_t = dplyr::if_else(
      condition = (tan_t >= -threshold & tan_t <= threshold), 
      true = tan_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )
tan_df

## # A tibble: 1,000 × 4
##        t  sin_t    cos_t tan_t
##    <dbl>  <dbl>    <dbl> <dbl>
##  1 -7.85 -1     3.06e-16    NA
##  2 -7.84 -1.00  1.57e- 2    NA
##  3 -7.82 -1.00  3.14e- 2    NA
##  4 -7.81 -0.999 4.72e- 2    NA
##  5 -7.79 -0.998 6.29e- 2    NA
##  6 -7.78 -0.997 7.85e- 2    NA
##  7 -7.76 -0.996 9.42e- 2    NA
##  8 -7.74 -0.994 1.10e- 1    NA
##  9 -7.73 -0.992 1.25e- 1    NA
## 10 -7.71 -0.990 1.41e- 1    NA
## # … with 990 more rows

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の値をデータフレームに格納します。tan関数はtan()で計算できます。sin関数とcos関数の値は比較に使います。
　 $\theta = \frac{2 i + 1}{2} \pi$ ( $i$ は整数)付近で $-\infty$ または $\infty$ に近付くので、閾値thresholdを指定しておき、-threshold未満またはthresholdより大きい場合は(数値型の)欠損値NAに置き換えます。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。装飾用の処理です。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 2

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(
  from = floor(min(theta_vec) / pi * denom), 
  to = ceiling(max(theta_vec) / pi * denom), 
  by = 1
)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] -5 -4 -3 -2 -1  0
## [1] "-frac(5, 2)~pi" "-frac(4, 2)~pi" "-frac(3, 2)~pi" "-frac(2, 2)~pi"
## [5] "-frac(1, 2)~pi" "frac(0, 2)~pi"

　角度 $\theta$ に関する軸目盛ラベルを $i, n$ を整数として $\frac{i}{n} \pi$ の形で表示することにします。
　 $n$ をdenomとして整数を指定します。 $n$ は、半周期 $\pi$ の範囲における目盛の数に対応します。
　theta_vecに対して、 $\theta = \frac{\pi}{n} i$ を $i$ について整理した $i = \frac{n}{\pi} \theta$ を計算して、最小値(の小数部分をfloor()で切り捨てた値)から最大値(の小数部分をceiling()で切り上げた値)までの整数を作成してnumer_vecとします。

　numer_vec, denomを使って目盛ラベル用の文字列を作成します。
　ギリシャ文字などの記号や数式を表示する場合は、expression()の記法を用います。オブジェクト(プログラム上の変数)の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。'frac(分子, 分母)'で分数、'~'でスペースを表示します。

　漸近線を描画するためのベクトルを作成します。

# 漸近線用の値を作成
asymptote_vec <- seq(
  from = floor(min(theta_vec) / pi) + 0.5, 
  to = floor(max(theta_vec) / pi) + 0.5, 
  by = 1
) * pi
asymptote_vec; asymptote_vec*2/pi

## [1] -7.853982 -4.712389 -1.570796  1.570796  4.712389  7.853982
## [1] -5 -3 -1  1  3  5

　 $\theta = \frac{2 i + 1}{2} \pi$ のとき $\tan \theta$ が発散するので、theta_vecの範囲内の $\frac{2 i + 1}{2} \pi$ の値を(上手いことして)作成します。

　tan関数のグラフを作成します。

# tan関数を作図
ggplot() + 
  geom_line(data = tan_df, 
            mapping = aes(x = t, y = tan_t, linetype = "tan"), 
            size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
  geom_line(data = tan_df, 
            mapping = aes(x = t, y = sin_t, linetype = "sin"), 
            size = 1) + # sin曲線
  geom_line(data = tan_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cos_t, linetype = "cos"), 
            size = 1) + # cos曲線
  geom_vline(xintercept = asymptote_vec, linetype = "dashed") + # 漸近線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 目盛ラベル
  scale_linetype_manual(breaks = c("tan", "sin", "cos"), 
                        values = c("solid", "dotdash", "dotted"), name = "function") + # (凡例表示用)
  coord_fixed(ratio = 1) + # アスペクト比
  labs(title = "tangent function", 
       x = expression(theta), 
       y = expression(tan~theta))

　x軸を $\theta$ 、y軸を $\tan \theta$ として、geom_line()でtan関数の曲線を描画します。また、 $\sin \theta, \cos \theta$ の曲線を点線で描画します。
　x軸が $\frac{2 i + 1}{2} \pi$ の点( $\frac{1}{2} \pi$ の前後 $\pi$ 間隔)に、geom_vline()で漸近線を破線で描画します。
　 $\cos \theta = 0$ となる $\theta$ が漸近線なのが分かります。

単位円の作図

　続いて、tan関数の可視化に利用する単位円(unit circle)のグラフを確認します。円やラジアン(弧度法の角度)については「【R】円周の作図 - からっぽのしょこ」を参照してください。

・作図コード(クリックで展開)

　単位円を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径を指定
r <- 1

# 円周の座標を計算
circle_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), # ラジアン
  x = r * cos(t), 
  y = r * sin(t)
)
circle_df

## # A tibble: 601 × 3
##         t     x      y
##     <dbl> <dbl>  <dbl>
##  1 0      1     0     
##  2 0.0105 1.00  0.0105
##  3 0.0209 1.00  0.0209
##  4 0.0314 1.00  0.0314
##  5 0.0419 0.999 0.0419
##  6 0.0524 0.999 0.0523
##  7 0.0628 0.998 0.0628
##  8 0.0733 0.997 0.0732
##  9 0.0838 0.996 0.0837
## 10 0.0942 0.996 0.0941
## # … with 591 more rows

　円周の座標計算用のラジアンとして $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲の値を作成して、x軸の値 $x = \cos \theta$ 、y軸の値 $y = \sin \theta$ を計算します。

　円周上に角度(ラジアン)目盛を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半円の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 角度目盛ラベルの描画用
d <- 1.1
radian_lable_df <- tibble::tibble(
  nomer = seq(from = 0, to = 2*denom-1, by = 1), # 目盛の通し番号(分子の値)を作成
  t_deg = nomer / denom * 180, # 度数法
  t_rad = nomer / denom * pi,  # 弧度法
  x = r * cos(t_rad), 
  y = r * sin(t_rad), 
  label_x = d * x, 
  label_y = d * y, 
  rad_label = paste0("frac(", nomer, ", ", denom, ")~pi"), # ラジアンラベル
  h = 1 - (x * 0.5 + 0.5), 
  v = 1 - (y * 0.5 + 0.5)
)
radian_lable_df

## # A tibble: 12 × 10
##    nomer t_deg t_rad         x         y   label_x   label_y rad_label         h
##    <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl> <chr>         <dbl>
##  1     0     0 0      1   e+ 0  0         1.1 e+ 0  0        frac(0, 6)~… 0     
##  2     1    30 0.524  8.66e- 1  5   e- 1  9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(1, 6)~… 0.0670
##  3     2    60 1.05   5   e- 1  8.66e- 1  5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(2, 6)~… 0.25  
##  4     3    90 1.57   6.12e-17  1   e+ 0  6.74e-17  1.1 e+ 0 frac(3, 6)~… 0.5   
##  5     4   120 2.09  -5   e- 1  8.66e- 1 -5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(4, 6)~… 0.75  
##  6     5   150 2.62  -8.66e- 1  5   e- 1 -9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(5, 6)~… 0.933 
##  7     6   180 3.14  -1   e+ 0  1.22e-16 -1.1 e+ 0  1.35e-16 frac(6, 6)~… 1     
##  8     7   210 3.67  -8.66e- 1 -5   e- 1 -9.53e- 1 -5.5 e- 1 frac(7, 6)~… 0.933 
##  9     8   240 4.19  -5.00e- 1 -8.66e- 1 -5.50e- 1 -9.53e- 1 frac(8, 6)~… 0.75  
## 10     9   270 4.71  -1.84e-16 -1   e+ 0 -2.02e-16 -1.1 e+ 0 frac(9, 6)~… 0.5   
## 11    10   300 5.24   5   e- 1 -8.66e- 1  5.5 e- 1 -9.53e- 1 frac(10, 6)… 0.25  
## 12    11   330 5.76   8.66e- 1 -5.00e- 1  9.53e- 1 -5.50e- 1 frac(11, 6)… 0.0670
## # … with 1 more variable: v <dbl>

　目盛指示線や目盛グリッド用の座標をx, y列、目盛ラベル用の座標をlabel_x, label_y列とします。ラベルの表示位置をdで調整します。

　円周と角度目盛のグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
axis_size <- 1.4

# 単位円を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), 
            label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               linetype = "dotted") + # 角度目盛グリッド
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "unit circle", 
       subtitle = parse(text = paste0("r==", r)), 
       x = expression(x == r~cos~theta), 
       y = expression(y == r~sin~theta))

　このグラフ上に三角関数の値を直線として描画します。

単位円上のtan関数の可視化

　次は、単位円上における三角関数(tan・sin・cos・exsec)のグラフを作成します。

グラフの作成

　変数を固定したtan関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 円周上の点用のラジアンを指定
theta <- 2/6 * pi
theta

## [1] 1.047198

　円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 単位円上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t sin_t cos_t
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  1.05 0.866   0.5

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をデータフレームに格納します。

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(1, cos(theta)), 
  y_to = c(0, sin(theta))
)
radius_df

## # A tibble: 2 × 2
##    x_to  y_to
##   <dbl> <dbl>
## 1   1   0    
## 2   0.5 0.866

　原点と点 $(1, 0)$ を結ぶ線分(x軸線の正の部分)と、原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分を描画するために、2点の座標を格納します。原点の座標は、作図時に値を引数に指定します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角マークの座標を計算
d <- 0.15
angle_mark_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_mark_df

## # A tibble: 100 × 3
##         t     x       y
##     <dbl> <dbl>   <dbl>
##  1 0      0.15  0      
##  2 0.0106 0.150 0.00159
##  3 0.0212 0.150 0.00317
##  4 0.0317 0.150 0.00476
##  5 0.0423 0.150 0.00634
##  6 0.0529 0.150 0.00793
##  7 0.0635 0.150 0.00951
##  8 0.0740 0.150 0.0111 
##  9 0.0846 0.149 0.0127 
## 10 0.0952 0.149 0.0143 
## # … with 90 more rows

　2つの線分のなす角 $\theta$ を示す角マークを描画するために、 $0$ から $\theta$ までのラジアンを作成して、円弧の座標を計算します。サイズの調整用の値(半径)をdとします。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
angle_label_df <- tibble::tibble(
  t = 0.5 * theta, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_label_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t     x     y
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0.524 0.182 0.105

　角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。表示位置の調整用の値(原点からのノルム)をdとします。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、x軸線から伸びる直線としてtan関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tan", "sin", "cos", "exsec")

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    1, 
    cos(theta), 
    0, 
    cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, 
    0, 
    0, 
    sin(theta)
  ), 
  x_to = c(
    1, 
    cos(theta), 
    cos(theta), 
    1
  ), 
  y_to = c(
    tan(theta), 
    sin(theta), 
    0, 
    tan(theta)
  )
)
function_line_df

## # A tibble: 4 × 5
##   fnc   x_from y_from  x_to  y_to
##   <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 tan      1    0       1   1.73 
## 2 sin      0.5  0       0.5 0.866
## 3 cos      0    0       0.5 0    
## 4 exsec    0.5  0.866   1   1.73

　関数を区別するためのfnc列の因子レベルをfnc_level_vecとして指定しておきます。因子レベルは、線分の描画順(重なり順)や色付け順に影響します。
　各線分の始点の座標をx_from, y_from列、終点の座標をx_to, y_to列として、完成図を見ながら頑張って指定します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を格納
function_label_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x = c(
    1, 
    cos(theta), 
    0.5 * cos(theta), 
    0.5 * (cos(theta) + 1)
  ), 
  y = c(
    0.5 * tan(theta), 
    0.5 * sin(theta), 
    0, 
    0.5 * (sin(theta) + tan(theta))
  ), 
  angle = c(90, 90, 0, 0), 
  h = c(0.5, 0.5, 0.5, 1.1), 
  v = c(1, -0.5, 1, 0.5), 
  fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 4 × 7
##   fnc       x     y angle     h     v fnc_label  
##   <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>      
## 1 tan    1    0.866    90   0.5   1   tan~theta  
## 2 sin    0.5  0.433    90   0.5  -0.5 sin~theta  
## 3 cos    0.25 0         0   0.5   1   cos~theta  
## 4 exsec  0.75 1.30      0   1.1   0.5 exsec~theta

　この例では、関数を示す線分の中点に関数名を表示するため、中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。
　ラベルの表示角度をangle列、表示角度に応じた左右の表示位置をh列、上下の表示位置をv列として値を指定します。

　変数と関数の値を表示するための文字列を作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
  ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
  ")"
)
variable_label

## [1] "list(theta==0.33*pi, tan~theta==1.73, sin~theta==0.87, cos~theta==0.5, exsec~theta==1)"

　==で等号、list(変数1, 変数2)で複数の(数式上の)変数を並べて表示します。(プログラム上の)変数の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
x_size <- 1.3
y_min  <- min(-x_size, tan(theta))
y_max  <- max(x_size, tan(theta))

# 単位円上の三角関数直線を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(y_min, y_max)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x",  y = "y")

　geom_segment()で線分を描画して、各関数の値を直線で示します。
　geom_label()でラベル(文字列)を描画します。

　tan関数の定義式 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ やこの図から、 $\cos \theta : \sin \theta = 1 : \tan \theta$ なのが分かります。tan関数の値は、「原点と点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る直線」と「 $x = 1$ の直線(破線)」の交点のy軸の値(高さ)です。
　 $\mathrm{exsec}\ \theta = \frac{1}{\cos \theta} - 1$ も三角関数の一種ですが、まぁいいでしょう。

パターン2

　2つ目の方法では、円周上の点から伸びる直線としてtan関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    cos(theta), 
    cos(theta), abs(cos(theta))*cos(theta), 
    0, 0, 
    1
  ), 
  y_from = c(
    sin(theta), 
    0, abs(cos(theta))*sin(theta), 
    0, 0, 
    0
  ), 
  x_to = c(
    1/cos(theta), 
    cos(theta), ifelse(cos(theta) >= 0, yes = 1, no = -1), 
    cos(theta), abs(cos(theta))*cos(theta), 
    1/cos(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, 
    sin(theta), 0, 
    0, abs(cos(theta))*sin(theta), 
    0
  ), 
  type = c("normal", "normal", "normal", "bold", "normal", "tiny") # 太さ用
)
function_line_df

## # A tibble: 6 × 6
##   fnc   x_from y_from  x_to  y_to type  
##   <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <chr> 
## 1 tan     0.5   0.866  2    0     normal
## 2 sin     0.5   0      0.5  0.866 normal
## 3 sin     0.25  0.433  1    0     normal
## 4 cos     0     0      0.5  0     bold  
## 5 cos     0     0      0.25 0.433 normal
## 6 exsec   1     0      2    0     tiny

　先ほどの様に、線分の座標を格納します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を格納
function_label_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x = c(
    0.5 * (1/cos(theta) + cos(theta)), 
    cos(theta), 
    0.5 * cos(theta), 
    0.5 * (1 + 1/cos(theta))
  ), 
  y = c(
    0.5 * sin(theta), 
    0.5 * sin(theta), 
    0, 
    0
  ), 
  angle = c(0, 90, 0, 0), 
  h = c(-0.5, 0.5, 0.5, 0.5), 
  v = c(0.5, -0.5, 1, -0.5), 
  fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 4 × 7
##   fnc       x     y angle     h     v fnc_label  
##   <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>      
## 1 tan    1.25 0.433     0  -0.5   0.5 tan~theta  
## 2 sin    0.5  0.433    90   0.5  -0.5 sin~theta  
## 3 cos    0.25 0         0   0.5   1   cos~theta  
## 4 exsec  1.5  0         0   0.5  -0.5 exsec~theta

　線分の中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
y_size <- 1.3
x_min  <- min(-y_size, 1/cos(theta))
x_max  <- max(y_size, 1/cos(theta))

# 単位円上の三角関数直線を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "tiny"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(x_min, x_max), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x",  y = "y")

　こちらの図は、原点と点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分を底辺、x軸線の一部を斜辺としたときのパターン1の図と言えます。文字通り首を捻って見てください。
　tan関数の値は、「原点と点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る直線」に対する「点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を通る垂線」と「 $y = 0$ の直線(破線)」の「交点 $(\frac{1}{\cos \theta}, 0)$ と点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分」の長さです。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたtan関数をアニメーションで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 150

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.199410 -6.115634 -6.031858 -5.948082 -5.864306

　フレーム数frame_numを指定して、円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の値を等間隔にframe_num個作成します。範囲を $2 \pi$ 倍数にしてframe_num + 1個の等間隔の値を作成して最後の値を除くと、最後のフレームと最初のフレームがスムーズに繋がります。

　フレーム切替用のラベルとして用いる文字列ベクトルを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
frame_label_vec <- paste0(
  "θ = ", round(theta_i/pi, digits = 2), " π", 
  ", tan θ = ", round(tan(theta_i), digits = 2), 
  ", sin θ = ", round(sin(theta_i), digits = 2), 
  ", cos θ = ", round(cos(theta_i), digits = 2), 
  ", exsec θ = ", round(1/cos(theta_i)-1, digits = 2)
)
head(frame_label_vec)

## [1] "θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = 1, exsec θ = 0"               
## [2] "θ = -1.97 π, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, cos θ = 1, exsec θ = 0"      
## [3] "θ = -1.95 π, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, cos θ = 0.99, exsec θ = 0.01"
## [4] "θ = -1.92 π, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, cos θ = 0.97, exsec θ = 0.03"
## [5] "θ = -1.89 π, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, cos θ = 0.94, exsec θ = 0.06"
## [6] "θ = -1.87 π, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, cos θ = 0.91, exsec θ = 0.09"

　この例では、フレームごとの変数と関数の値をグラフに表示するために、theta_iを用いた文字列をフレーム切替用のラベル列として使います。フレーム番号として、通し番号を用いても作図できます。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 曲線上の点の描画用
anim_point_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  sin_t = sin(theta_i), 
  cos_t = cos(theta_i), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_point_df

## # A tibble: 150 × 4
##        t    sin_t cos_t frame_label                                           
##    <dbl>    <dbl> <dbl> <fct>                                                 
##  1 -6.28 2.45e-16 1     θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = 1, exsec θ = 0
##  2 -6.20 8.37e- 2 0.996 θ = -1.97 π, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, cos θ = 1…   
##  3 -6.12 1.67e- 1 0.986 θ = -1.95 π, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, cos θ = 0…   
##  4 -6.03 2.49e- 1 0.969 θ = -1.92 π, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, cos θ = 0…   
##  5 -5.95 3.29e- 1 0.944 θ = -1.89 π, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, cos θ = 0…   
##  6 -5.86 4.07e- 1 0.914 θ = -1.87 π, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, cos θ = 0…   
##  7 -5.78 4.82e- 1 0.876 θ = -1.84 π, tan θ = 0.55, sin θ = 0.48, cos θ = 0…   
##  8 -5.70 5.53e- 1 0.833 θ = -1.81 π, tan θ = 0.66, sin θ = 0.55, cos θ = 0…   
##  9 -5.61 6.21e- 1 0.784 θ = -1.79 π, tan θ = 0.79, sin θ = 0.62, cos θ = 0…   
## 10 -5.53 6.85e- 1 0.729 θ = -1.76 π, tan θ = 0.94, sin θ = 0.68, cos θ = 0…   
## # … with 140 more rows

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をフレーム切替用のラベルとあわせて格納します。

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
anim_radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i)
  ), 
  y_to =  c(
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i)
  ), 
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 2) |> # (2は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_radius_df

## # A tibble: 300 × 3
##     x_to  y_to frame_label                                                    
##    <dbl> <dbl> <fct>                                                          
##  1     1     0 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = 1, exsec θ = 0         
##  2     1     0 θ = -1.97 π, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, cos θ = 1, exsec θ = 0
##  3     1     0 θ = -1.95 π, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, cos θ = 0.99, exse…   
##  4     1     0 θ = -1.92 π, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, cos θ = 0.97, exse…   
##  5     1     0 θ = -1.89 π, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, cos θ = 0.94, exse…   
##  6     1     0 θ = -1.87 π, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, cos θ = 0.91, exse…   
##  7     1     0 θ = -1.84 π, tan θ = 0.55, sin θ = 0.48, cos θ = 0.88, exse…   
##  8     1     0 θ = -1.81 π, tan θ = 0.66, sin θ = 0.55, cos θ = 0.83, exse…   
##  9     1     0 θ = -1.79 π, tan θ = 0.79, sin θ = 0.62, cos θ = 0.78, exse…   
## 10     1     0 θ = -1.76 π, tan θ = 0.94, sin θ = 0.68, cos θ = 0.73, exse…   
## # … with 290 more rows

　フレーム数分の点 $(0, 1)$ の座標と、フレームごとの点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ の座標を格納します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角マークの座標を計算
d <- 0.15
anim_angle_mark_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec), # フレーム切替用ラベル
) |> 
  dplyr::group_by(frame_i, frame_label) |> # ラジアンの作成用
  dplyr::summarise(
    t = seq(from = 0, to = theta_i[frame_i], length.out = 100), .groups = "drop"
  ) |> # なす角以下のラジアンを作成
  dplyr::mutate(
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
anim_angle_mark_df

## # A tibble: 15,000 × 5
##    frame_i frame_label                                     t     x        y
##      <int> <fct>                                       <dbl> <dbl>    <dbl>
##  1       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = …  0      0.15   0      
##  2       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.0635 0.150 -0.00951
##  3       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.127  0.149 -0.0190 
##  4       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.190  0.147 -0.0284 
##  5       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.254  0.145 -0.0377 
##  6       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.317  0.143 -0.0468 
##  7       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.381  0.139 -0.0557 
##  8       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.444  0.135 -0.0645 
##  9       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.508  0.131 -0.0729 
## 10       1 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … -0.571  0.126 -0.0811 
## # … with 14,990 more rows

　フレーム列でグループ化してフレーム(変数の値)ごとに、summarise()を使って0から各フレームの角度theta_n[frame_i]までの値を作成して、円弧の座標を計算します。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
anim_angle_label_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  t = 0.5 * theta_i, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_angle_label_df

## # A tibble: 150 × 5
##    frame_i     t      x         y frame_label                               
##      <int> <dbl>  <dbl>     <dbl> <fct>                                     
##  1       1 -3.14 -0.21  -2.57e-17 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos θ = … 
##  2       2 -3.10 -0.210 -8.79e- 3 θ = -1.97 π, tan θ = 0.08, sin θ = 0.08, …
##  3       3 -3.06 -0.209 -1.76e- 2 θ = -1.95 π, tan θ = 0.17, sin θ = 0.17, …
##  4       4 -3.02 -0.208 -2.63e- 2 θ = -1.92 π, tan θ = 0.26, sin θ = 0.25, …
##  5       5 -2.97 -0.207 -3.50e- 2 θ = -1.89 π, tan θ = 0.35, sin θ = 0.33, …
##  6       6 -2.93 -0.205 -4.37e- 2 θ = -1.87 π, tan θ = 0.45, sin θ = 0.41, …
##  7       7 -2.89 -0.203 -5.22e- 2 θ = -1.84 π, tan θ = 0.55, sin θ = 0.48, …
##  8       8 -2.85 -0.201 -6.07e- 2 θ = -1.81 π, tan θ = 0.66, sin θ = 0.55, …
##  9       9 -2.81 -0.198 -6.91e- 2 θ = -1.79 π, tan θ = 0.79, sin θ = 0.62, …
## 10      10 -2.76 -0.195 -7.73e- 2 θ = -1.76 π, tan θ = 0.94, sin θ = 0.68, …
## # … with 140 more rows

　フレームごとの角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、「グラフの作成」のときと同様に2つの方法で図示します。

パターン1

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tan", "sin", "cos", "exsec")

# 関数直線の線分の座標を格納
anim_function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), 
    cos(theta_i)
  ), 
  y_from = c(
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i)
  ), 
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i), 
    cos(theta_i), 
    rep(1, times = frame_num)
  ), 
  y_to = c(
    tan(theta_i), 
    sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), 
    tan(theta_i)
  ), 
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = length(fnc_level_vec)) |> 
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_line_df

## # A tibble: 600 × 6
##    fnc   x_from y_from  x_to     y_to frame_label                           
##    <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl>    <dbl> <fct>                                 
##  1 tan        1      0     1 2.45e-16 θ = -2 π, tan θ = 0, sin θ = 0, cos … 
##  2 tan        1      0     1 8.40e- 2 θ = -1.97 π, tan θ = 0.08, sin θ = 0.…
##  3 tan        1      0     1 1.69e- 1 θ = -1.95 π, tan θ = 0.17, sin θ = 0.…
##  4 tan        1      0     1 2.57e- 1 θ = -1.92 π, tan θ = 0.26, sin θ = 0.…
##  5 tan        1      0     1 3.48e- 1 θ = -1.89 π, tan θ = 0.35, sin θ = 0.…
##  6 tan        1      0     1 4.45e- 1 θ = -1.87 π, tan θ = 0.45, sin θ = 0.…
##  7 tan        1      0     1 5.50e- 1 θ = -1.84 π, tan θ = 0.55, sin θ = 0.…
##  8 tan        1      0     1 6.64e- 1 θ = -1.81 π, tan θ = 0.66, sin θ = 0.…
##  9 tan        1      0     1 7.93e- 1 θ = -1.79 π, tan θ = 0.79, sin θ = 0.…
## 10 tan        1      0     1 9.39e- 1 θ = -1.76 π, tan θ = 0.94, sin θ = 0.…
## # … with 590 more rows

　「グラフの作成」のときと同様に、線分ごとにframe_num個の座標を格納します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を計算
anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> 
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = c(90, 90, 0, 0) |> 
      rep(each = frame_num), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 1.1) |> 
      rep(each = frame_num), 
    v = c(1, -0.5, 1, 0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") |> 
      rep(each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 600 × 8
##    fnc   frame_label                   x        y angle     h     v fnc_label
##    <fct> <fct>                     <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
##  1 tan   θ = -2 π, tan θ = 0, sin…     1 1.22e-16    90   0.5     1 tan~theta
##  2 tan   θ = -1.97 π, tan θ = 0.0…     1 4.20e- 2    90   0.5     1 tan~theta
##  3 tan   θ = -1.95 π, tan θ = 0.1…     1 8.46e- 2    90   0.5     1 tan~theta
##  4 tan   θ = -1.92 π, tan θ = 0.2…     1 1.28e- 1    90   0.5     1 tan~theta
##  5 tan   θ = -1.89 π, tan θ = 0.3…     1 1.74e- 1    90   0.5     1 tan~theta
##  6 tan   θ = -1.87 π, tan θ = 0.4…     1 2.23e- 1    90   0.5     1 tan~theta
##  7 tan   θ = -1.84 π, tan θ = 0.5…     1 2.75e- 1    90   0.5     1 tan~theta
##  8 tan   θ = -1.81 π, tan θ = 0.6…     1 3.32e- 1    90   0.5     1 tan~theta
##  9 tan   θ = -1.79 π, tan θ = 0.7…     1 3.96e- 1    90   0.5     1 tan~theta
## 10 tan   θ = -1.76 π, tan θ = 0.9…     1 4.70e- 1    90   0.5     1 tan~theta
## # … with 590 more rows

　anim_function_line_dfをfnc, frame_label列でグループ化して関数(線分)とフレームごとに、中点の座標をmedian()で計算します。
　また、ラベル用の文字列などの列を追加します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
x_size <- 1.3
y_size <- 2

# 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = anim_radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = anim_angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = anim_angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = anim_function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x",  y = "y")

# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 600, height = 800)

　gganimateパッケージを利用して、アニメーション(gif画像)を作成します。
　transition_manual()のフレーム制御の引数framesにフレーム(変数)ラベル列frame_labelを指定して、グラフを作成します。
　animate()のplot引数にグラフオブジェクト、nframes引数にフレーム数frame_numを指定して、gif画像を作成します。また、fps引数に1秒当たりのフレーム数を指定できます。

　 $\theta = \frac{1}{2} \pi, \frac{3}{2} \pi$ のとき $\cos \theta = 0$ なので、原点と円周上の点を結ぶ線分が垂直になり直線 $x = 1$ と平行なため交点ができず、 $\tan \theta$ を描画(定義)できないのが分かります。

パターン2

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
anim_function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("tan", "sin", "sin", "cos", "cos", "exsec") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    cos(theta_i), 
    cos(theta_i), abs(cos(theta_i))*cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(1, times = frame_num)
  ), 
  y_from = c(
    sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), abs(cos(theta_i))*sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  x_to = c(
    1/cos(theta_i), 
    cos(theta_i), ifelse(cos(theta_i) >= 0, yes = 1, no = -1), 
    cos(theta_i), abs(cos(theta_i))*cos(theta_i), 
    1/cos(theta_i)
  ), 
  y_to = c(
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), abs(cos(theta_i))*sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num)
  ), 
  type = c("normal", "normal", "normal", "bold", "normal", "tiny") |> 
    rep(each = frame_num), # 太さ用
  label_flag = c(TRUE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE) |> 
    rep(each = frame_num), # 関数ラベル用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 6) |> # (6は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_line_df

## # A tibble: 900 × 8
##    fnc   x_from   y_from  x_to  y_to type   label_flag frame_label           
##    <fct>  <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <chr>  <lgl>      <fct>                 
##  1 tan    1     2.45e-16  1        0 normal TRUE       θ = -2 π, tan θ = 0, …
##  2 tan    0.996 8.37e- 2  1.00     0 normal TRUE       θ = -1.97 π, tan θ = …
##  3 tan    0.986 1.67e- 1  1.01     0 normal TRUE       θ = -1.95 π, tan θ = …
##  4 tan    0.969 2.49e- 1  1.03     0 normal TRUE       θ = -1.92 π, tan θ = …
##  5 tan    0.944 3.29e- 1  1.06     0 normal TRUE       θ = -1.89 π, tan θ = …
##  6 tan    0.914 4.07e- 1  1.09     0 normal TRUE       θ = -1.87 π, tan θ = …
##  7 tan    0.876 4.82e- 1  1.14     0 normal TRUE       θ = -1.84 π, tan θ = …
##  8 tan    0.833 5.53e- 1  1.20     0 normal TRUE       θ = -1.81 π, tan θ = …
##  9 tan    0.784 6.21e- 1  1.28     0 normal TRUE       θ = -1.79 π, tan θ = …
## 10 tan    0.729 6.85e- 1  1.37     0 normal TRUE       θ = -1.76 π, tan θ = …
## # … with 890 more rows

　先ほどと同様に、線分の座標を格納します。こちらは、関数ラベルを描画する線分をlabel_flag列に指定しておきます。関数ごとに、ラベルを表示する1つの線分をTRUE、それ以外をFALSEとします。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を計算
anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> 
  dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = c(0, 90, 0, 0) |> 
      rep(each = frame_num), 
    h = c(-0.2, 0.5, 0.5, 0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    v = c(0.5, -0.5, 1, -0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") |> 
      rep(each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 600 × 8
##    fnc   frame_label                   x        y angle     h     v fnc_label
##    <fct> <fct>                     <dbl>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
##  1 tan   θ = -2 π, tan θ = 0, sin…  1    1.22e-16     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  2 tan   θ = -1.97 π, tan θ = 0.0…  1.00 4.18e- 2     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  3 tan   θ = -1.95 π, tan θ = 0.1…  1.00 8.34e- 2     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  4 tan   θ = -1.92 π, tan θ = 0.2…  1.00 1.24e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  5 tan   θ = -1.89 π, tan θ = 0.3…  1.00 1.64e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  6 tan   θ = -1.87 π, tan θ = 0.4…  1.00 2.03e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  7 tan   θ = -1.84 π, tan θ = 0.5…  1.01 2.41e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  8 tan   θ = -1.81 π, tan θ = 0.6…  1.02 2.77e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
##  9 tan   θ = -1.79 π, tan θ = 0.7…  1.03 3.11e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
## 10 tan   θ = -1.76 π, tan θ = 0.9…  1.05 3.42e- 1     0  -0.2   0.5 tan~theta
## # … with 590 more rows

　label_flag列がTRUEの行(線分)を取り出して、先ほどの同様に中点の座標を計算します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
x_size <- 2
y_size <- 1.3

# 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = anim_radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = anim_angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = anim_angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = anim_function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  scale_size_manual(breaks = c("normal", "bold", "tiny"), 
                    values = c(1, 1.6, 0.8), guide = "none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x",  y = "y")

# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 800, height = 600)

　こちらの図だと、原点と円周上の点を結ぶ線分が水平になり、その垂線が直線 $y = 0$ と平行なため交点ができず、 $\tan \theta$ を描画(定義)できないのが分かります。

単位円上の点とtan関数曲線の関係の可視化

　最後は、単位円上におけるtan関数の値(直線)と、tan関数の曲線の関係をグラフで確認します。

グラフの作成

　変数を固定したtan関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 単位円上の点用のラジアンを指定
theta <- 8/6 * pi

# 曲線上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta), 
  tan_t = tan(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 4
##       t  sin_t  cos_t tan_t
##   <dbl>  <dbl>  <dbl> <dbl>
## 1  4.19 -0.866 -0.500  1.73

　曲線上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　「単位円上のtan関数の可視化」の「パターン1」のコードで5つのデータフレームを作成します。

　単位円における点とtan曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
x_size <- 1.3
y_size <- max(x_size, abs(tan(theta))+0.5)

# tan曲線との対応線の座標を格納
l <- 0.5
segment_circle_df <- tibble::tibble(
  x = 1, 
  x_to = x_size+l, 
  y = tan(theta)
)
segment_circle_df

## # A tibble: 1 × 3
##       x  x_to     y
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1     1   1.8  1.73

　単位円における点からy軸の反対側へ水平線を引くように座標を指定します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
  ")"
)

# 単位円上の三角関数直線を作図
circle_graph <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  geom_point(data = segment_circle_df, 
             mapping = aes(x = x, y = y), 
             size = 4) + # tan関数点
  geom_segment(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # tan曲線との対応線
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x",  y = "y")
circle_graph

　「単位円上のtan関数の可視化」のときと同様に、作図します。

　tan関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# tan関数を計算
tan_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), 
  tan_t = tan(t)
) |> 
  dplyr::mutate(
    tan_t = dplyr::if_else(
      condition = (tan_t >= -y_size & tan_t <= y_size), 
      true = tan_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )
tan_df

## # A tibble: 601 × 2
##         t  tan_t
##     <dbl>  <dbl>
##  1 0      0     
##  2 0.0105 0.0105
##  3 0.0209 0.0209
##  4 0.0314 0.0314
##  5 0.0419 0.0419
##  6 0.0524 0.0524
##  7 0.0628 0.0629
##  8 0.0733 0.0734
##  9 0.0838 0.0840
## 10 0.0942 0.0945
## # … with 591 more rows

　「tan関数の作図」のときと同様にして、曲線の座標を計算します。

　tan曲線上の点と単位円における点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# tan直線との対応線の座標を格納
l <- 0.8
d <- 1.1
segment_tan_df <- tibble::tibble(
  x = c(theta, theta), 
  y = c(tan(theta), tan(theta)), 
  x_to = c(theta, -l), 
  y_to = c(-y_size*d, tan(theta))
)
segment_tan_df

## # A tibble: 2 × 4
##       x     y  x_to  y_to
##   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  4.19  1.73  4.19 -2.46
## 2  4.19  1.73 -0.8   1.73

　曲線上の点からx軸とy軸へ垂線と水平線を引くように座標を指定します。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] 0 1 2 3 4 5
## [1] "frac(0, 6)~pi" "frac(1, 6)~pi" "frac(2, 6)~pi" "frac(3, 6)~pi"
## [5] "frac(4, 6)~pi" "frac(5, 6)~pi"

　「tan関数の作図」のときと同様にして、目盛ラベル用の値と文字列を作成します。

　tan関数曲線のグラフを作成します。

# 関数ラベル用の文字列を作成
tan_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# tan関数曲線を作図
tan_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = tan_df, 
            mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
            size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
             size = 4) + # 曲線上の点
  geom_segment(data = segment_tan_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
  labs(title = "tangent function", 
       subtitle = parse(text = tan_label), 
       x = expression(theta), 
       y = expression(tan~theta))
tan_graph

　「tan関数の作図」のときと同様に、作図します。

　2つのグラフを並べて描画します。

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(circle_graph, tan_graph, guides = "collect")

　patchworkパッケージのwrap_plots()を使ってグラフを並べます。

　2つのグラフで、点のy軸の値と、なす角の値とx軸の値がそれぞれ一致するのが分かります。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。

1周期

　円周上を1周した際のtan関数の直線と曲線上の点の関係を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 60

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] 0.0000000 0.1047198 0.2094395 0.3141593 0.4188790 0.5235988

　フレーム数frame_numを指定して、円周上と曲線上の点の座標計算に用いるの変数(ラジアン)として $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲でframe_num個の等間隔の値を作成します。

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tan", "sin", "cos", "exsec")

# グラフサイズ用の値を設定
x_size <- 1.3
y_size <- 3

# tan関数を計算
tan_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), 
  tan_t = tan(t)
) |> 
  dplyr::mutate(
    tan_t = dplyr::if_else(
      condition = (tan_t >= -y_size & tan_t <= y_size), 
      true = tan_t, 
      false = NA_real_
    ) # 閾値外の値を欠損値に置換
  )

# 目盛ラベル用の文字列を作成
denom <- 6
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    tan_t = tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      1, 
      cos(theta), 
      0, 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 
      0, 
      0, 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1, 
      cos(theta), 
      cos(theta), 
      1
    ), 
    y_to = c(
      tan(theta), 
      sin(theta), 
      0, 
      tan(theta)
    ), 
    type = c("normal", "normal", "normal", "tiny") # 太さ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      1, 
      cos(theta), 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1)
    ), 
    y = c(
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta))
    ), 
    angle = c(90, 90, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 1.1), 
    v = c(1, -0.5, 1, 0.5), 
    fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # tan曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 1, 
    x_to = x_size+l, 
    y = tan(theta)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
                 size = 1) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_point(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # tan関数点
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan曲線との対応線
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x",  y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # tan直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.8
  d <- 1.1
  segment_tan_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(tan(theta), tan(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(-y_size*d, tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  tan_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # tan関数曲線を作図
  tan_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = tan_df, 
              mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_tan_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
    labs(title = "tangent function", 
         subtitle = parse(text = tan_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(tan~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(circle_graph, tan_graph, guides = "collect")
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 1000, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　変数の値ごとに「グラフの作成」のときと同様に処理します。作成したグラフをggsave()で保存します。

　tan関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "tan_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出

　全てのファイルパスを作成して、image_read()で画像ファイルを読み込んで、image_animate()でgif画像に変換して、image_write_gif()でgifファイルとして書き出します。delay引数に1秒当たりのフレーム数の逆数を指定します。

　 $\cos \theta = 0$ となる $\theta = \frac{1}{2} \pi, \frac{3}{2} \pi$ とき、tan関数の線分の方向( $\tan \theta$ の符号)が変わり、tan関数の曲線が不連続になるのが分かります。

n周期

　円周上を複数回周回した際のtan関数の直線と曲線上の点の関係を可視化することで、周期性を確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 120

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.178466 -6.073746 -5.969026 -5.864306 -5.759587

　フレーム数frame_numを指定して、frame_num個の $\theta$ の値を作成します。theta_iの範囲が $2 \pi$ 倍数だと、アニメーションの最後と最初のフレームの繋がりが良くなります。

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("tan", "sin", "cos", "exsec")

# グラフサイズ用の値を設定
x_size <- 1.3
y_size <- 3

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta), 
    tan_t = tan(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      1, 
      cos(theta), 
      0, 
      cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, 
      0, 
      0, 
      sin(theta)
    ), 
    x_to = c(
      1, 
      cos(theta), 
      cos(theta), 
      1
    ), 
    y_to = c(
      tan(theta), 
      sin(theta), 
      0, 
      tan(theta)
    ), 
    type = c("normal", "normal", "normal", "tiny") # 太さ用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("tan", "sin", "cos", "exsec") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      1, 
      cos(theta), 
      0.5 * cos(theta), 
      0.5 * (cos(theta) + 1)
    ), 
    y = c(
      0.5 * tan(theta), 
      0.5 * sin(theta), 
      0, 
      0.5 * (sin(theta) + tan(theta))
    ), 
    angle = c(90, 90, 0, 0), 
    h = c(0.5, 0.5, 0.5, 1.1), 
    v = c(1, -0.5, 1, 0.5), 
    fnc_label = c("tan~theta", "sin~theta", "cos~theta", "exsec~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # tan曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 1, 
    x_to = -x_size-l, 
    y = tan(theta)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ", exsec~theta==", round(1/cos(theta)-1, digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed") + # tan直線用の補助線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
                 size = 1) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = h, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_point(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # tan関数点
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan曲線との対応線
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-x_size, x_size), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # 作図用の変数の値を作成
  theta_size <- 2 * pi
  theta_min  <- theta - theta_size
  theta_vec  <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000)
  
  # tan関数を計算
  tan_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    tan_t = tan(t)
  ) |> 
    dplyr::mutate(
      tan_t = dplyr::if_else(
        (tan_t >= -y_size & tan_t <= y_size), 
        true = tan_t, 
        false = NA_real_
      ) # 閾値外の値を欠損値に置換
    )
  
  # 目盛ラベル用の文字列を作成
  denom <- 6
  numer_vec <- seq(
    from = floor(theta_min / pi * denom), 
    to = ceiling(theta / pi * denom), 
    by = 1
  )
  label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
  
  # tan直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.8
  d <- 1.1
  segment_tan_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(tan(theta), tan(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(-y_size*d, tan(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  tan_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", tan~theta==", round(tan(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # tan関数曲線を作図
  tan_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = tan_df, 
              mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
              size = 1, na.rm = TRUE) + # tan曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = tan_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_tan_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # tan直線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-y_size, y_size)) + # 描画領域
    labs(title = "tangent function", 
         subtitle = parse(text = tan_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(tan~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(tan_graph, circle_graph, guides = "collect")
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 900, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。

　tan関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "tan_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出

　先ほどと同様にして、gifファイルを作成します。

　単位円上の点が半周する $\pi$ の間隔で、曲線が同じ形になるのが分かります。

　この記事では、tan関数を可視化しました。次の記事では、sec関数を可視化します。

参考書籍

『三角関数(改定第3版)』(Newton別冊)ニュートンプレス,2022年.

おわりに

　cos関数で中断していた三角関数の可視化シリーズを、双曲線関数と線形代数(のベクトル編)を経由して、大幅バージョンアップして再開します。
　相変わらず読ませる気が皆無な記事になりました。グラフとその解説だけを追うなり、コードをコピペするなりしてください。2つを繋げた図で、点やらが描画領域外に飛び出していますが仕様です。欠損値に置き換えるなどして対策できる(別記事ではした)のですが、これ以上コードがアレになってもアレなので、、
　書いた本人的にはとても勉強になりました。 $\tan x$ の周期は $\pi$ だったんだな、解説書くまで気付かなかった。

　そして！2023年5月7日は、元モーニング娘。の佐藤優樹さんの24歳のお誕生日です！

　ソロデビュー共々おめでとうございます。

　まーちゃんがいなければこのブログは存在しなかったと言っても過言ではないほどの存在です。ぜひこの曲を聴いてそれから他の曲も聴きましょう♪

　ばぁ〜い

【次の内容】

からっぽのしょこ

読んだら書く！書いたら読む！同じ事は二度調べ(たく)ない

【R】tan関数の可視化

はじめに

tan関数の可視化

定義式の確認

tan関数の作図

単位円の作図

単位円上のtan関数の可視化

グラフの作成

パターン1

パターン2

アニメーションの作成

パターン1

パターン2

単位円上の点とtan関数曲線の関係の可視化

グラフの作成

アニメーションの作成

1周期

n周期

参考書籍

おわりに