はじめに

　R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズです。

　この記事では、cos関数のグラフを作成します。

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【この記事の内容】

はじめに
cos関数の可視化
参考書籍
おわりに

cos関数の可視化

　三角関数(trigonometric functions)・円関数(circular functions)の1つであるcos関数(余弦関数・コサイン関数・cosine function)をグラフで確認します。

　ggplot2パッケージなどを使って作図します。

・作図コード(クリックで展開)

　利用するパッケージを読み込みます。

# 利用パッケージ
library(tidyverse)
library(gganimate)
library(patchwork)
library(magick)

　この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2を読み込む必要があります。
　また、ネイティブパイプ演算子|>を使っています。magrittrパッケージのパイプ演算子%>%に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittrも読み込む必要があります。

cos関数の作図

　次に、cos関数のグラフを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(ベクトル)を設定します。

# 関数曲線用のラジアンを指定
theta_vec <- seq(from = -2.5*pi, to = 2.5*pi, length.out = 1000)
head(theta_vec)

## [1] -7.853982 -7.838258 -7.822534 -7.806811 -7.791087 -7.775363

　曲線の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の範囲を指定してtheta_vecとします。円周率 $\pi$ はpiで扱えます。

　cos関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# cos関数を計算
cos_df <- tibble::tibble(
  t = theta_vec, 
  cos_t = cos(theta_vec), 
  sin_t = sin(theta_vec)
)
cos_df

## # A tibble: 1,000 × 3
##        t    cos_t  sin_t
##    <dbl>    <dbl>  <dbl>
##  1 -7.85 3.06e-16 -1    
##  2 -7.84 1.57e- 2 -1.00 
##  3 -7.82 3.14e- 2 -1.00 
##  4 -7.81 4.72e- 2 -0.999
##  5 -7.79 6.29e- 2 -0.998
##  6 -7.78 7.85e- 2 -0.997
##  7 -7.76 9.42e- 2 -0.996
##  8 -7.74 1.10e- 1 -0.994
##  9 -7.73 1.25e- 1 -0.992
## 10 -7.71 1.41e- 1 -0.990
## # … with 990 more rows

　 $\theta$ の値と $\cos \theta, \sin \theta$ の値をデータフレームに格納します。cos関数はcos()で計算できます。sin関数の値は比較に使います。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。装飾用の処理です。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 2

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(
  from = floor(min(theta_vec) / pi * denom), 
  to = ceiling(max(theta_vec) / pi * denom), 
  by = 1
)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] -5 -4 -3 -2 -1  0
## [1] "-frac(5, 2)~pi" "-frac(4, 2)~pi" "-frac(3, 2)~pi" "-frac(2, 2)~pi"
## [5] "-frac(1, 2)~pi" "frac(0, 2)~pi"

　角度 $\theta$ に関する軸目盛ラベルを $i, n$ を整数として $\frac{i}{n} \pi$ の形で表示することにします。
　 $n$ をdenomとして整数を指定します。 $n$ は、半周期 $\pi$ の範囲における目盛の数に対応します。
　theta_vecに対して、 $\theta = \frac{\pi}{n} i$ を $i$ について整理した $i = \frac{n}{\pi} \theta$ を計算して、最小値(の小数部分をfloor()で切り捨てた値)から最大値(の小数部分をceiling()で切り上げた値)までの整数を作成してnumer_vecとします。

　numer_vec, denomを使って目盛ラベル用の文字列を作成します。
　ギリシャ文字などの記号や数式を表示する場合は、expression()の記法を用います。オブジェクト(プログラム上の変数)の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。"frac(分子, 分母)"で分数、"~"でスペースを表示します。

　cos関数のグラフを作成します。

# cos関数を作図
ggplot() + 
  geom_line(data = cos_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cos_t, linetype = "cos"), 
            size = 1) + # cos曲線
  geom_line(data = cos_df, 
            mapping = aes(x = t, y = sin_t, linetype = "sin"), 
            size = 1) + # sin曲線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 目盛ラベル
  scale_linetype_manual(breaks = c("cos", "sin"), 
                        values = c("solid", "dotted"), name = "function") + # (凡例表示用)
  coord_fixed(ratio = 1) + # アスペクト比
  labs(title = "cosine function", 
       x = expression(theta), 
       y = expression(cos~theta))

　x軸を $\theta$ 、y軸を $\cos \theta$ として、geom_line()でcos関数の曲線を描画します。また、 $\sin \theta$ の曲線を点線で描画します。
　sin関数の曲線を負の方向へ $\frac{\pi}{2}$ 移動するとcos関数の曲線になるのが分かります。この関係を式で表すと $\cos \theta = \sin (\theta + \frac{\pi}{2})$ です。詳しくは、「(いつか書くつもりの)cos関数の振幅・周期・平行移動の変形の可視化」を参照してください。

単位円の作図

　続いて、cos関数の可視化に利用する単位円(unit circle)のグラフを確認します。円やラジアン(弧度法の角度)については「【R】円周の作図 - からっぽのしょこ」を参照してください。

・作図コード(クリックで展開)

　単位円を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径を指定
r <- 1

# 円周の座標を計算
circle_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), # ラジアン
  x = r * cos(t), 
  y = r * sin(t)
)
circle_df

## # A tibble: 601 × 3
##         t     x      y
##     <dbl> <dbl>  <dbl>
##  1 0      1     0     
##  2 0.0105 1.00  0.0105
##  3 0.0209 1.00  0.0209
##  4 0.0314 1.00  0.0314
##  5 0.0419 0.999 0.0419
##  6 0.0524 0.999 0.0523
##  7 0.0628 0.998 0.0628
##  8 0.0733 0.997 0.0732
##  9 0.0838 0.996 0.0837
## 10 0.0942 0.996 0.0941
## # … with 591 more rows

　円周の座標計算用のラジアンとして $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲の値を作成して、x軸の値 $x = \cos \theta$ 、y軸の値 $y = \sin \theta$ を計算します。

　円周上に角度(ラジアン)目盛を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半円の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 角度目盛ラベルの描画用
d <- 1.1
radian_lable_df <- tibble::tibble(
  nomer = seq(from = 0, to = 2*denom-1, by = 1), # 目盛の通し番号(分子の値)を作成
  t_deg = nomer / denom * 180, # 度数法
  t_rad = nomer / denom * pi,  # 弧度法
  x = r * cos(t_rad), 
  y = r * sin(t_rad), 
  label_x = d * x, 
  label_y = d * y, 
  rad_label = paste0("frac(", nomer, ", ", denom, ")~pi"), # ラジアンラベル
  h = 1 - (x * 0.5 + 0.5), 
  v = 1 - (y * 0.5 + 0.5)
)
radian_lable_df

## # A tibble: 12 × 10
##    nomer t_deg t_rad         x         y   label_x   label_y rad_label         h
##    <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl>     <dbl> <chr>         <dbl>
##  1     0     0 0      1   e+ 0  0         1.1 e+ 0  0        frac(0, 6)~… 0     
##  2     1    30 0.524  8.66e- 1  5   e- 1  9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(1, 6)~… 0.0670
##  3     2    60 1.05   5   e- 1  8.66e- 1  5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(2, 6)~… 0.25  
##  4     3    90 1.57   6.12e-17  1   e+ 0  6.74e-17  1.1 e+ 0 frac(3, 6)~… 0.5   
##  5     4   120 2.09  -5   e- 1  8.66e- 1 -5.5 e- 1  9.53e- 1 frac(4, 6)~… 0.75  
##  6     5   150 2.62  -8.66e- 1  5   e- 1 -9.53e- 1  5.5 e- 1 frac(5, 6)~… 0.933 
##  7     6   180 3.14  -1   e+ 0  1.22e-16 -1.1 e+ 0  1.35e-16 frac(6, 6)~… 1     
##  8     7   210 3.67  -8.66e- 1 -5   e- 1 -9.53e- 1 -5.5 e- 1 frac(7, 6)~… 0.933 
##  9     8   240 4.19  -5.00e- 1 -8.66e- 1 -5.50e- 1 -9.53e- 1 frac(8, 6)~… 0.75  
## 10     9   270 4.71  -1.84e-16 -1   e+ 0 -2.02e-16 -1.1 e+ 0 frac(9, 6)~… 0.5   
## 11    10   300 5.24   5   e- 1 -8.66e- 1  5.5 e- 1 -9.53e- 1 frac(10, 6)… 0.25  
## 12    11   330 5.76   8.66e- 1 -5.00e- 1  9.53e- 1 -5.50e- 1 frac(11, 6)… 0.0670
## # … with 1 more variable: v <dbl>

　目盛指示線や目盛グリッド用の座標をx, y列、目盛ラベル用の座標をlabel_x, label_y列とします。ラベルの表示位置をdで調整します。

　円周と角度目盛のグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
axis_size <- 1.4

# 単位円を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), 
            label = "|", size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               linetype = "dotted") + # 角度目盛グリッド
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "unit circle", 
       subtitle = parse(text = paste0("r==", r)), 
       x = expression(x == r~cos~theta), 
       y = expression(y == r~sin~theta))

　このグラフ上に三角関数の値を直線として描画します。

単位円上のcos関数の可視化

　次は、単位円上における三角関数(cos・sin)のグラフを作成します。

グラフの作成

　変数を固定したsin関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 円周上の点用のラジアンを指定
theta <- 2/6 * pi
theta

## [1] 1.047198

　円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 単位円上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t sin_t cos_t
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1  1.05 0.866   0.5

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をデータフレームに格納します。

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(1, cos(theta)), 
  y_to = c(0, sin(theta))
)
radius_df

## # A tibble: 2 × 2
##    x_to  y_to
##   <dbl> <dbl>
## 1   1   0    
## 2   0.5 0.866

　原点と点 $(1, 0)$ を結ぶ線分(x軸線の正の部分)と、原点と円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ を結ぶ線分を描画するために、2点の座標を格納します。原点の座標は、作図時に値を引数に指定します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角マークの座標を計算
d <- 0.15
angle_mark_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_mark_df

## # A tibble: 100 × 3
##         t     x       y
##     <dbl> <dbl>   <dbl>
##  1 0      0.15  0      
##  2 0.0106 0.150 0.00159
##  3 0.0212 0.150 0.00317
##  4 0.0317 0.150 0.00476
##  5 0.0423 0.150 0.00634
##  6 0.0529 0.150 0.00793
##  7 0.0635 0.150 0.00951
##  8 0.0740 0.150 0.0111 
##  9 0.0846 0.149 0.0127 
## 10 0.0952 0.149 0.0143 
## # … with 90 more rows

　2つの線分のなす角 $\theta$ を示す角マークを描画するために、 $0$ から $\theta$ までのラジアンを作成して、円弧の座標を計算します。サイズの調整用の値(半径)をdとします。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# 角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
angle_label_df <- tibble::tibble(
  t = 0.5 * theta, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t)
)
angle_label_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t     x     y
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0.524 0.182 0.105

　角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。表示位置の調整用の値(原点からのノルム)をdとします。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cos", "cos", "sin", "sin") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, sin(theta), 
    0, 0
  ), 
  x_to = c(
    cos(theta), cos(theta), 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, sin(theta), 
    sin(theta), sin(theta)
  )
)
function_line_df

## # A tibble: 4 × 5
##   fnc   x_from y_from  x_to  y_to
##   <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 cos      0    0       0.5 0    
## 2 cos      0    0.866   0.5 0.866
## 3 sin      0    0       0   0.866
## 4 sin      0.5  0       0.5 0.866

　関数を区別するためのfnc列の因子レベルをfnc_level_vecとして指定しておきます。因子レベルは、線分の描画順(重なり順)や色付け順に影響します。
　各線分の始点の座標をx_from, y_from列、終点の座標をx_to, y_to列として、完成図を見ながら頑張って指定します。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を格納
function_label_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cos", "sin") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x = c(
    0.5 * cos(theta), 
    0
  ), 
  y = c(
    0,
    0.5 * sin(theta)
  ), 
  angle = c(0, 90), 
  v = c(1, -0.5), 
  fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") # 関数ラベル
)
function_label_df

## # A tibble: 2 × 6
##   fnc       x     y angle     v fnc_label
##   <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
## 1 cos    0.25 0         0   1   cos~theta
## 2 sin    0    0.433    90  -0.5 sin~theta

　この例では、関数を示す線分の中点に関数名を表示するため、中点の座標とラベル用の文字列などを格納します。
　ラベルの表示角度をangle列、表示角度に応じた上下の表示位置をv列として値を指定します。

　変数と関数の値を表示するための文字列を作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ")"
)
variable_label

## [1] "list(theta==0.33*pi, cos~theta==0.5, sin~theta==0.87)"

　"=="で等号、"list(変数1, 変数2)"で複数の(数式上の)変数を並べて表示します。(プログラム上の)変数の値を使う場合は、文字列として作成しておきparse()のtext引数に渡します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# 単位円上の三角関数直線を作図
ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

　geom_segment()で線分を描画して、各関数の値を直線で示します。
　geom_label()でラベル(文字列)を描画します。

　cos関数の値は、円周上の点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ のx軸の値(横幅)です。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたcos関数をアニメーションで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 150

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.199410 -6.115634 -6.031858 -5.948082 -5.864306

　フレーム数frame_numを指定して、円周上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ の値を等間隔にframe_num個作成します。範囲を $2 \pi$ の倍数にしてframe_num + 1個の等間隔の値を作成して最後の値を除くと、最後のフレームと最初のフレームがスムーズに繋がります。

　フレーム切替用のラベルとして用いる文字列ベクトルを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
frame_label_vec <- paste0(
  "θ = ", round(theta_i/pi, digits = 2), " π", 
  ", cos θ = ", round(cos(theta_i), digits = 2), 
  ", sin θ = ", round(sin(theta_i), digits = 2)
)
head(frame_label_vec)

## [1] "θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0"         
## [2] "θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ = 0.08"   
## [3] "θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin θ = 0.17"
## [4] "θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin θ = 0.25"
## [5] "θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin θ = 0.33"
## [6] "θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin θ = 0.41"

　この例では、フレームごとの変数と関数の値をグラフに表示するために、theta_iを用いた文字列をフレーム切替用のラベル列として使います。フレーム番号として、通し番号を用いても作図できます。

　円周上の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 曲線上の点の描画用
anim_point_df <- tibble::tibble(
  t = theta_i, 
  sin_t = sin(theta_i), 
  cos_t = cos(theta_i), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_point_df

## # A tibble: 150 × 4
##        t    sin_t cos_t frame_label                            
##    <dbl>    <dbl> <dbl> <fct>                                  
##  1 -6.28 2.45e-16 1     θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0         
##  2 -6.20 8.37e- 2 0.996 θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ = 0.08   
##  3 -6.12 1.67e- 1 0.986 θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin θ = 0.17
##  4 -6.03 2.49e- 1 0.969 θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin θ = 0.25
##  5 -5.95 3.29e- 1 0.944 θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin θ = 0.33
##  6 -5.86 4.07e- 1 0.914 θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin θ = 0.41
##  7 -5.78 4.82e- 1 0.876 θ = -1.84 π, cos θ = 0.88, sin θ = 0.48
##  8 -5.70 5.53e- 1 0.833 θ = -1.81 π, cos θ = 0.83, sin θ = 0.55
##  9 -5.61 6.21e- 1 0.784 θ = -1.79 π, cos θ = 0.78, sin θ = 0.62
## 10 -5.53 6.85e- 1 0.729 θ = -1.76 π, cos θ = 0.73, sin θ = 0.68
## # … with 140 more rows

　 $\theta$ の値と $\sin \theta, \cos \theta$ の値をフレーム切替用のラベルとあわせて格納します。

　半径を示す線分を描画するためのデータフレームを作成します。

# 半径の線分の座標を格納
anim_radius_df <- tibble::tibble(
  x_to = c(
    rep(1, times = frame_num), 
    cos(theta_i)
  ), 
  y_to =  c(
    rep(0, times = frame_num), 
    sin(theta_i)
  ), 
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 2) |> # (2は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_radius_df

## # A tibble: 300 × 3
##     x_to  y_to frame_label                            
##    <dbl> <dbl> <fct>                                  
##  1     1     0 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0         
##  2     1     0 θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ = 0.08   
##  3     1     0 θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin θ = 0.17
##  4     1     0 θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin θ = 0.25
##  5     1     0 θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin θ = 0.33
##  6     1     0 θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin θ = 0.41
##  7     1     0 θ = -1.84 π, cos θ = 0.88, sin θ = 0.48
##  8     1     0 θ = -1.81 π, cos θ = 0.83, sin θ = 0.55
##  9     1     0 θ = -1.79 π, cos θ = 0.78, sin θ = 0.62
## 10     1     0 θ = -1.76 π, cos θ = 0.73, sin θ = 0.68
## # … with 290 more rows

　フレーム数分の点 $(0, 1)$ の座標と、フレームごとの点 $(\cos \theta, \sin \theta)$ の座標を格納します。

　角マークを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角マークの座標を計算
d <- 0.15
anim_angle_mark_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec), # フレーム切替用ラベル
) |> 
  dplyr::group_by(frame_i, frame_label) |> # ラジアンの作成用
  dplyr::summarise(
    t = seq(from = 0, to = theta_i[frame_i], length.out = 100), .groups = "drop"
  ) |> # なす角以下のラジアンを作成
  dplyr::mutate(
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
anim_angle_mark_df

## # A tibble: 15,000 × 5
##    frame_i frame_label                          t     x        y
##      <int> <fct>                            <dbl> <dbl>    <dbl>
##  1       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0  0      0.15   0      
##  2       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.0635 0.150 -0.00951
##  3       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.127  0.149 -0.0190 
##  4       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.190  0.147 -0.0284 
##  5       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.254  0.145 -0.0377 
##  6       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.317  0.143 -0.0468 
##  7       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.381  0.139 -0.0557 
##  8       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.444  0.135 -0.0645 
##  9       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.508  0.131 -0.0729 
## 10       1 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 -0.571  0.126 -0.0811 
## # … with 14,990 more rows

　フレーム列でグループ化してフレーム(変数の値)ごとに、summarise()を使って0から各フレームの角度theta_n[frame_i]までの値を作成して、円弧の座標を計算します。

　角ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。

# フレームごとの角ラベルの座標を計算
d <- 0.21
anim_angle_label_df <- tibble::tibble(
  frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号
  t = 0.5 * theta_i, 
  x = d * cos(t), 
  y = d * sin(t), 
  frame_label = factor(frame_label_vec, levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_angle_label_df

## # A tibble: 150 × 5
##    frame_i     t      x         y frame_label                            
##      <int> <dbl>  <dbl>     <dbl> <fct>                                  
##  1       1 -3.14 -0.21  -2.57e-17 θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0         
##  2       2 -3.10 -0.210 -8.79e- 3 θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ = 0.08   
##  3       3 -3.06 -0.209 -1.76e- 2 θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin θ = 0.17
##  4       4 -3.02 -0.208 -2.63e- 2 θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin θ = 0.25
##  5       5 -2.97 -0.207 -3.50e- 2 θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin θ = 0.33
##  6       6 -2.93 -0.205 -4.37e- 2 θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin θ = 0.41
##  7       7 -2.89 -0.203 -5.22e- 2 θ = -1.84 π, cos θ = 0.88, sin θ = 0.48
##  8       8 -2.85 -0.201 -6.07e- 2 θ = -1.81 π, cos θ = 0.83, sin θ = 0.55
##  9       9 -2.81 -0.198 -6.91e- 2 θ = -1.79 π, cos θ = 0.78, sin θ = 0.62
## 10      10 -2.76 -0.195 -7.73e- 2 θ = -1.76 π, cos θ = 0.73, sin θ = 0.68
## # … with 140 more rows

　フレームごとの角マークの中点に角ラベルを配置するために、 $\frac{\theta}{2}$ のラジアンを作成して、円弧上の点の座標を計算します。

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# 関数直線の線分の座標を格納
anim_function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cos", "cos", "sin", "sin") |> 
    rep(each = frame_num) |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num), 
    rep(0, times = frame_num), cos(theta_i)
  ), 
  y_from = c(
    rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), rep(0, times = frame_num)
  ), 
  x_to = c(
    cos(theta_i), cos(theta_i), 
    rep(0, times = frame_num), cos(theta_i)
  ), 
  y_to = c(
    rep(0, times = frame_num), sin(theta_i), 
    sin(theta_i), sin(theta_i)
  ), 
  label_flag = c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE) |> 
    rep(each = frame_num), # 関数ラベル用
  frame_label = frame_label_vec |> 
    rep(times = 4) |> # (4は線分の数)
    factor(levels = frame_label_vec) # フレーム切替用ラベル
)
anim_function_line_df

## # A tibble: 600 × 7
##    fnc   x_from y_from  x_to  y_to label_flag frame_label                    
##    <fct>  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <lgl>      <fct>                          
##  1 cos        0      0 1         0 TRUE       θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0 
##  2 cos        0      0 0.996     0 TRUE       θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ… 
##  3 cos        0      0 0.986     0 TRUE       θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin…
##  4 cos        0      0 0.969     0 TRUE       θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin…
##  5 cos        0      0 0.944     0 TRUE       θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin…
##  6 cos        0      0 0.914     0 TRUE       θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin…
##  7 cos        0      0 0.876     0 TRUE       θ = -1.84 π, cos θ = 0.88, sin…
##  8 cos        0      0 0.833     0 TRUE       θ = -1.81 π, cos θ = 0.83, sin…
##  9 cos        0      0 0.784     0 TRUE       θ = -1.79 π, cos θ = 0.78, sin…
## 10 cos        0      0 0.729     0 TRUE       θ = -1.76 π, cos θ = 0.73, sin…
## # … with 590 more rows

　「グラフの作成」のときと同様に、線分ごとにframe_num個の座標を格納します。
　また、関数ラベルを描画する線分をlabel_flag列に指定しておきます。関数ごとに、ラベルを表示する1つの線分をTRUE、それ以外をFALSEとします。

　関数名をラベルとして描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数ラベルの座標を計算
anim_function_label_df <- anim_function_line_df |> 
  dplyr::filter(label_flag) |> # ラベル付けする線分を抽出
  dplyr::group_by(fnc, frame_label) |> # 中点の計算用
  dplyr::summarise(
    x = median(c(x_from, x_to)), 
    y = median(c(y_from, y_to)), .groups = "drop"
  ) |> # 線分の中点に配置
  tibble::add_column(
    angle = c(0, 90) |> 
      rep(each = frame_num), 
    v = c(1, -0.5) |> 
      rep(each = frame_num), 
    fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") |> 
      rep(each = frame_num) # 関数ラベル
  )
anim_function_label_df

## # A tibble: 300 × 7
##    fnc   frame_label                              x     y angle     v fnc_label
##    <fct> <fct>                                <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>    
##  1 cos   θ = -2 π, cos θ = 1, sin θ = 0       0.5       0     0     1 cos~theta
##  2 cos   θ = -1.97 π, cos θ = 1, sin θ = 0.08 0.498     0     0     1 cos~theta
##  3 cos   θ = -1.95 π, cos θ = 0.99, sin θ…    0.493     0     0     1 cos~theta
##  4 cos   θ = -1.92 π, cos θ = 0.97, sin θ…    0.484     0     0     1 cos~theta
##  5 cos   θ = -1.89 π, cos θ = 0.94, sin θ…    0.472     0     0     1 cos~theta
##  6 cos   θ = -1.87 π, cos θ = 0.91, sin θ…    0.457     0     0     1 cos~theta
##  7 cos   θ = -1.84 π, cos θ = 0.88, sin θ…    0.438     0     0     1 cos~theta
##  8 cos   θ = -1.81 π, cos θ = 0.83, sin θ…    0.416     0     0     1 cos~theta
##  9 cos   θ = -1.79 π, cos θ = 0.78, sin θ…    0.392     0     0     1 cos~theta
## 10 cos   θ = -1.76 π, cos θ = 0.73, sin θ…    0.364     0     0     1 cos~theta
## # … with 290 more rows

　anim_function_line_dfからlabel_flag列がTRUEの行(線分)を取り出して、fnc, frame_label列でグループ化して関数(線分)とフレームごとに、中点の座標をmedian()で計算します。
　また、ラベル用の文字列などの列を追加します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたアニメーションを作成します。

# グラフサイズ用の値を指定
axis_size <- 1.3

# 単位円上の三角関数直線のアニメーションを作図
anim <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_point(data = anim_point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = anim_radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = anim_angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = anim_angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = anim_function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = anim_function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  gganimate::transition_manual(frames = frame_label) + # フレーム
  coord_fixed(ratio = 1, 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = "{current_frame}", 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")

# gif画像を作成
gganimate::animate(plot = anim, nframes = frame_num, fps = 100, width = 600, height = 600)

　gganimateパッケージを利用して、アニメーション(gif画像)を作成します。
　transition_manual()のフレーム制御の引数framesにフレーム(変数)ラベル列frame_labelを指定して、グラフを作成します。
　animate()のplot引数にグラフオブジェクト、nframes引数にフレーム数frame_numを指定して、gif画像を作成します。また、fps引数に1秒当たりのフレーム数を指定できます。

単位円上の点とcos関数曲線の関係の可視化

　最後は、単位円上におけるcos関数の値(直線)と、cos関数の曲線の関係をグラフで確認します。

グラフの作成

　変数を固定したcos関数をグラフで確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　変数の値(スカラ)を設定します。

# 単位円上の点用のラジアンを指定
theta <- 5/4 * pi

# 曲線上の点の座標を計算
point_df <- tibble::tibble(
  t = theta, 
  sin_t = sin(theta), 
  cos_t = cos(theta)
)
point_df

## # A tibble: 1 × 3
##       t  sin_t  cos_t
##   <dbl>  <dbl>  <dbl>
## 1  3.93 -0.707 -0.707

　曲線上の点の座標計算に用いる変数(ラジアン) $\theta$ をthetaとして値を指定します。

　「単位円上のcos関数の可視化」のコードで4つのデータフレームを作成します。

　ここまでは、共通の処理です。ここからは、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cos", "cos", "cos", "sin", "sin") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 0, 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, sin(theta), 0, 
    0, 0
  ), 
  x_to = c(
    cos(theta), cos(theta), 0, 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, sin(theta), cos(theta), 
    sin(theta), sin(theta)
  ), 
  type = c("main", "main", "sub", "main", "main") # 線の種類用
)
function_line_df

## # A tibble: 5 × 6
##   fnc   x_from y_from   x_to   y_to type 
##   <fct>  <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl> <chr>
## 1 cos    0      0     -0.707  0     main 
## 2 cos    0     -0.707 -0.707 -0.707 main 
## 3 cos    0      0      0     -0.707 sub  
## 4 sin    0      0      0     -0.707 main 
## 5 sin   -0.707  0     -0.707 -0.707 main

　「単位円上のcos関数の可視化」のときのコードに、cos直線の1つを90°回転(軸を変換)した線分の座標を格納します。

　軸の変換前後の点を描画するためのデータフレームを作成します。

# 変換曲線の先端の座標を格納
adapt_point_df <- tibble::tibble(
  x = c(cos(theta), 0), 
  y = c(0, cos(theta))
)
adapt_point_df

## # A tibble: 2 × 2
##        x      y
##    <dbl>  <dbl>
## 1 -0.707  0    
## 2  0     -0.707

　x軸・y軸の値をそれぞれ $0, \cos \theta$ とする2点の座標を格納します。

　x軸の値を90度回転する曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 軸変換曲線の描画用
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = ifelse(
    test = rep(cos(theta) >= 0, times = 100), 
    yes = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    no = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
  ), 
  x = abs(cos(theta)) * cos(rad), 
  y = abs(cos(theta)) * sin(rad)
)
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
  x = cos(theta) * cos(rad), 
  y = cos(theta) * sin(rad)
)
adapt_line_df

## # A tibble: 100 × 3
##       rad      x       y
##     <dbl>  <dbl>   <dbl>
##  1 0      -0.707  0     
##  2 0.0159 -0.707 -0.0112
##  3 0.0317 -0.707 -0.0224
##  4 0.0476 -0.706 -0.0336
##  5 0.0635 -0.706 -0.0448
##  6 0.0793 -0.705 -0.0560
##  7 0.0952 -0.704 -0.0672
##  8 0.111  -0.703 -0.0784
##  9 0.127  -0.701 -0.0895
## 10 0.143  -0.700 -0.101 
## # … with 90 more rows

　軸を変換する軌道として、半径が $|\cos \theta|$ の弧を描画します。全体値 $|x|$ はabs()で計算できます。
　 $\cos \theta \geq 0$ のときx軸の正の部分からy軸の正の部分への変化を示すため $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ のラジアン、 $\cos \theta \lt 0$ のときx軸の負の部分からy軸の負の部分への変化を示すため $\pi \leq t \leq \frac{3 \pi}{2}$ のラジアンを用いて、弧のx軸の値 $x = |\cos \theta| \cos t$ とy軸の値 $y = |\cos \theta| \sin t$ を計算します。
　または、 $- \cos x = \cos (x + \pi)$ なのを利用して、 $\theta$ の値に関わらず、 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ のラジアンを用いて、 $x = \cos \theta \cos t$ 、 $y = \cos \theta \sin t$ でも弧の座標を計算できます。

　単位円上の点とcos曲線上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# cos曲線との対応線の座標を格納
l <- 0.5
segment_circle_df <- tibble::tibble(
  x = 0, 
  y = cos(theta), 
  x_to = axis_size+l
)
segment_circle_df

## # A tibble: 1 × 3
##       x      y  x_to
##   <dbl>  <dbl> <dbl>
## 1     0 -0.707   1.8

　単位円上の点からy軸の反対側へ水平線を引くように座標を指定します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# 変数ラベル用の文字列を作成
variable_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta, digits = 2), 
  ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# 単位円上の三角関数直線を作図
circle_graph <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_point(data = adapt_point_df, 
             mapping = aes(x = x, y = y), 
             size = 4) + # cos関数の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                             color = fnc, size = type, linetype = type)) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  geom_path(data = adapt_line_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1, linetype = "dotted") + # 
  geom_segment(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # cos曲線との対応線
  scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                        values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
  scale_size_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                    values = c(1, 1.5), guide ="none") + # (線が重なる対策)
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")
circle_graph

　「単位円上のcos関数の可視化」のときと同様に、作図します。

　cos関数の曲線を描画するためのデータフレームを作成します。

# cos関数を計算
cos_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), 
  cos_t = cos(t)
)
cos_df

## # A tibble: 601 × 2
##         t cos_t
##     <dbl> <dbl>
##  1 0      1    
##  2 0.0105 1.00 
##  3 0.0209 1.00 
##  4 0.0314 1.00 
##  5 0.0419 0.999
##  6 0.0524 0.999
##  7 0.0628 0.998
##  8 0.0733 0.997
##  9 0.0838 0.996
## 10 0.0942 0.996
## # … with 591 more rows

　「cos関数の作図」のときと同様にして、曲線の座標を計算します。

　cos曲線上の点と単位円における点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# cos直線との対応線の座標を格納
l <- 0.7
d <- 1.1
segment_cos_df <- tibble::tibble(
  x = c(theta, theta), 
  y = c(cos(theta), cos(theta)), 
  x_to = c(theta, -l), 
  y_to = c(-axis_size*d, cos(theta))
)
segment_cos_df

## # A tibble: 2 × 4
##       x      y  x_to   y_to
##   <dbl>  <dbl> <dbl>  <dbl>
## 1  3.93 -0.707  3.93 -1.43 
## 2  3.93 -0.707 -0.7  -0.707

　曲線上の点からx軸とy軸へ垂直線と水平線を引くように座標を指定します。

　x軸目盛を設定するためのベクトルを作成します。

# 半周期の目盛の数(分母の値)を指定
denom <- 6

# 目盛の通し番号(分子の値)を作成
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
head(numer_vec); head(label_vec)

## [1] 0 1 2 3 4 5
## [1] "frac(0, 6)~pi" "frac(1, 6)~pi" "frac(2, 6)~pi" "frac(3, 6)~pi"
## [5] "frac(4, 6)~pi" "frac(5, 6)~pi"

　「cos関数の作図」のときと同様にして、目盛ラベル用の値と文字列を作成します。

　cos関数曲線のグラフを作成します。

# 関数ラベル用の文字列を作成
cos_label <- paste0(
  "list(", 
  "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
  ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
  ")"
)

# cos関数曲線を作図
cos_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = cos_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
            size = 1) + # cos曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
             size = 4) + # 曲線上の点
  geom_segment(data = segment_cos_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "cosine function", 
       subtitle = parse(text = cos_label), 
       x = expression(theta), 
       y = expression(cos~theta))
cos_graph

　「cos関数の作図」のときと同様に、作図します。

　2つのグラフを並べて描画します。

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(circle_graph, cos_graph)

　patchworkパッケージのwrap_plots()を使ってグラフを並べます。

　2つのグラフで、円周上の点のx軸の値とcos曲線上の点のy軸の値、なす角の値とx軸の値がそれぞれ一致するのが分かります。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　三角関数を直線として描画するためのデータフレームを作成します。

# 関数直線の線分の座標を格納
function_line_df <- tibble::tibble(
  fnc = c("cos", "cos", "sin", "sin") |> 
    factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
  x_from = c(
    0, 0, 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_from = c(
    0, sin(theta), 
    0, 0
  ), 
  x_to = c(
    cos(theta), cos(theta), 
    0, cos(theta)
  ), 
  y_to = c(
    0, sin(theta), 
    sin(theta), sin(theta)
  )
)
function_line_df

## # A tibble: 4 × 5
##   fnc   x_from y_from   x_to   y_to
##   <fct>  <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl>
## 1 cos    0      0     -0.707  0    
## 2 cos    0     -0.707 -0.707 -0.707
## 3 sin    0      0      0     -0.707
## 4 sin   -0.707  0     -0.707 -0.707

　「単位円上のcos関数の可視化」のときのコードで線分の座標を格納します。

　単位円における点と軸の変換図上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# 軸変換曲線との対応線の座標を格納
l <- 0.4
segment_circle_df <- tibble::tibble(
  x = cos(theta), 
  y = sin(theta), 
  y_to = -axis_size-l
)
segment_circle_df

## # A tibble: 1 × 3
##        x      y  y_to
##    <dbl>  <dbl> <dbl>
## 1 -0.707 -0.707  -1.7

　単位円上の点からx軸へ垂直線を引くように座標を指定します。

　単位円上に三角関数の直線を重ねたグラフを作成します。

# 単位円上の三角関数直線を作図
circle_graph <- ggplot() + 
  geom_path(data = circle_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1) + # 円周
  geom_segment(data = radian_lable_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
               color = "white") + # 角度目盛グリッド
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
            size = 2) + # 角度目盛指示線
  geom_text(data = radian_lable_df, 
            mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
             size = 4) + # 円周上の点
  geom_segment(data = radius_df, 
               mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1) + # 半径直線
  geom_path(data = angle_mark_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 0.5) + # 角マーク
  geom_text(data = angle_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
            size = 5) + # 角ラベル
  geom_segment(data = function_line_df, 
               mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
               size = 1) + # 関数直線
  geom_text(data = function_label_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                          hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
  geom_segment(data = segment_circle_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
  labs(title = "circular functions", 
       subtitle = parse(text = variable_label), 
       color = "function", 
       x = "x", y = "y")
circle_graph

　「単位円上のcos関数の可視化」のときと同様に、作図します。

　x軸の値を90度回転する線を描画するためのデータフレームを作成します。

# cos関数の軸変換曲線の座標を計算
adapt_line_df <- tibble::tibble(
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), 
  x = axis_size + (axis_size-cos(theta)) * cos(rad), 
  y = axis_size + (axis_size-cos(theta)) * sin(rad)
)
adapt_line_df

## # A tibble: 100 × 3
##      rad      x     y
##    <dbl>  <dbl> <dbl>
##  1  3.14 -0.707  1.3 
##  2  3.16 -0.707  1.27
##  3  3.17 -0.706  1.24
##  4  3.19 -0.705  1.20
##  5  3.21 -0.703  1.17
##  6  3.22 -0.701  1.14
##  7  3.24 -0.698  1.11
##  8  3.25 -0.695  1.08
##  9  3.27 -0.691  1.05
## 10  3.28 -0.687  1.01
## # … with 90 more rows

　グラフのサイズをaxis_sizeの2倍としました。axis_sizeを $S$ で表します。軸を変換する軌道として、中心の座標が $(S, S)$ で半径が $r = S - \cos \theta$ の弧を描画します。また、弧の中心が図の右上隅になるようにします。
　 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ を用いて、弧のx軸の値 $x = S + r \cos t$ とy軸の値 $y = S + r \sin t$ を計算します。
　円の座標計算については「円周の作図」を参照してください。

　軸の変換図のグリッド線を描画するためのデータフレームを作成します。

# 軸変換図のグリッド線の描画用
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = axis_size - seq(from = -1, to = 1, by = 0.5), # グリッド線の位置を指定
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = axis_size + d * cos(rad), 
    y = axis_size + d * sin(rad)
  )
adapt_grid_df

## # A tibble: 500 × 4
##        d   rad      x     y
##    <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl>
##  1   2.3  3.14 -1     1.3  
##  2   2.3  3.16 -1.00  1.26 
##  3   2.3  3.17 -0.999 1.23 
##  4   2.3  3.19 -0.997 1.19 
##  5   2.3  3.21 -0.995 1.15 
##  6   2.3  3.22 -0.993 1.12 
##  7   2.3  3.24 -0.990 1.08 
##  8   2.3  3.25 -0.986 1.05 
##  9   2.3  3.27 -0.981 1.01 
## 10   2.3  3.28 -0.977 0.973
## # … with 490 more rows

　軸の変換曲線と同様に、グリッド線として、等間隔の半径の複数の曲線を描画します。この例では、半径を $d = -1, -0.5, 0, 0.5, 1$ とします。
　半径 $d$ の値を指定してd列、ラジアン $t$ の値を作成してrad列とします。d, rad列の全ての組み合わせをexpand_grid()で作成することで、半径ごとに曲線用のラジアンを複製します。
　弧の座標を $x = S + d \cos t$ 、 $y = S + d \sin t$ で計算します。

　軸の変換図上の点とcos曲線上の点・単位円上の点を結ぶ補助線(の半分)を描画するためのデータフレームを作成します。

# cos曲線・直線との対応線の座標を格納
l <- 0.7
segment_adapt_df <- tibble::tibble(
  x = c(cos(theta), axis_size), 
  y = c(axis_size, cos(theta)), 
  x_to = c(cos(theta), axis_size+l), 
  y_to = c(axis_size+l, cos(theta))
)
segment_adapt_df

## # A tibble: 2 × 4
##        x      y   x_to   y_to
##    <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl>
## 1 -0.707  1.3   -0.707  2    
## 2  1.3   -0.707  2     -0.707

　曲線の両端からx軸とy軸の反対側へ水平線と垂直線を引くように座標を指定します。

　軸の変換図を作成します。

# 軸の変換曲線を作図
adapt_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = adapt_grid_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
            color = "white") + # グリッド線
  geom_line(data = adapt_line_df, 
            mapping = aes(x = x, y = y), 
            size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
  geom_point(data = segment_adapt_df, 
             mapping = aes(x = x, y = y), 
             size = 4) + # cos関数の点
  geom_segment(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
  #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(x = "x", y = "x")
adapt_graph

　軸の変換曲線とグリッド線をそれぞれgeom_line()で描画します。

　「パターン1」のときのコードで、cos関数曲線のグラフを作成します。

### 資料作成用:(値の変更)

# 変換曲線との対応線の座標を格納
l <- 1.2
d <- 1.1
segment_cos_df <- tibble::tibble(
  x = c(theta, theta), 
  y = c(cos(theta), cos(theta)), 
  x_to = c(theta, -l), 
  y_to = c(-axis_size*d, cos(theta))
)

# cos関数曲線を作図
cos_graph <- ggplot() + 
  geom_line(data = cos_df, 
            mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
            size = 1) + # cos曲線
  geom_point(data = point_df, 
             mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
             size = 4) + # 曲線上の点
  geom_segment(data = segment_cos_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
               size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
  scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                     labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
  coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
              xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
  labs(title = "cosine function", 
       subtitle = parse(text = cos_label), 
       x = expression(theta), 
       y = expression(cos~theta))
cos_graph

　3つのグラフを並べて描画します。

# 並べて描画
patchwork::wrap_plots(
  circle_graph, patchwork::plot_spacer(), 
  adapt_graph, cos_graph, 
  nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, 2, 1, 2), heights = c(1, 1, 1, 1)
)

　グラフを配置しない位置をplot_spacer()で指定します。
　(サイズを調整しないと線がズレるようです。凡例を非表示にすると合いやすいかも?)

　分かりやすい方の図を参考にしてください。

アニメーションの作成

　続いて、変数の値を変化させたアニメーションで確認します。

1周期

　円周上を1周した際のcos関数の直線と曲線上の点の関係を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 60

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] 0.0000000 0.1047198 0.2094395 0.3141593 0.4188790 0.5235988

　フレーム数frame_numを指定して、円周上と曲線上の点の座標計算に用いるの変数(ラジアン)として $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ の範囲でframe_num個の等間隔の値を作成します。

　「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# cos関数を計算
cos_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), 
  cos_t = cos(t)
)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
denom <- 6
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "cos", "cos", "sin", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, sin(theta), 0, 
      0, 0
    ), 
    x_to = c(
      cos(theta), cos(theta), 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, sin(theta), cos(theta), 
      sin(theta), sin(theta)
    ), 
    type = c("main", "main", "sub", "main", "main") # 線の種類用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 * cos(theta), 
      0
    ), 
    y = c(
      0,
      0.5 * sin(theta)
    ), 
    angle = c(0, 90), 
    v = c(1, -0.5), 
    fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 変換曲線の先端の座標を格納
  adapt_point_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), 0), 
    y = c(0, cos(theta))
  )
  
  # 軸変換曲線の描画用
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = cos(theta) * cos(rad), 
    y = cos(theta) * sin(rad)
  )
  
  # cos曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 0, 
    y = cos(theta), 
    x_to = axis_size+l
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = adapt_point_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = type, linetype = type)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_path(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos曲線との対応線
    scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                          values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    scale_size_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                      values = c(1, 1.5), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # cos直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.8
  d <- 1.1
  segment_cos_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(cos(theta), cos(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(-axis_size*d, cos(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cos_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cos関数曲線を作図
  cos_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = cos_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
              size = 1) + # cos曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cos_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cosine function", 
         subtitle = parse(text = cos_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cos~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(circle_graph, cos_graph)
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 500, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　変数の値ごとに「グラフの作成」のときと同様に処理します。作成したグラフをggsave()で保存します。

　cos関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cos_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　全てのファイルパスを作成して、image_read()で画像ファイルを読み込んで、image_animate()でgif画像に変換して、image_write_gif()でgifファイルとして書き出します。delay引数に1秒当たりのフレーム数の逆数を指定します。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcos関数とsin関数を並べて可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# sin・cos関数を計算
curve_df <- tibble::tibble(
  t = seq(from = 0, to = 2*pi, length.out = 601), 
  sin_t = sin(t), 
  cos_t = cos(t)
)

# 目盛ラベル用の文字列を作成
denom <- 6
numer_vec <- seq(from = 0, to = 2*pi / pi * denom, by = 1)
label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")

# 軸変換図のグリッド線の描画用
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = axis_size - seq(from = -1, to = 1, by = 0.5), # グリッド線の位置を指定
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = axis_size + d * cos(rad), 
    y = axis_size + d * sin(rad)
  )

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "cos", "sin", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, sin(theta), 
      0, 0
    ), 
    x_to = c(
      cos(theta), cos(theta), 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, sin(theta), 
      sin(theta), sin(theta)
    )
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 * cos(theta), 
      0
    ), 
    y = c(
      0,
      0.5 * sin(theta)
    ), 
    angle = c(0, 90), 
    v = c(1, -0.5), 
    fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # sin・cos曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), cos(theta)), 
    y = c(sin(theta), sin(theta)), 
    x_to = c(axis_size+l, cos(theta)), 
    y_to = c(sin(theta), -axis_size-l)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
                 size = 1) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "left") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## sin曲線の作図処理
  
  # sin直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.4
  d <- 1.1
  segment_sin_df <- tibble::tibble(
    x = theta, 
    y = sin(theta), 
    x_to = -l
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  sin_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # sin関数曲線を作図
  sin_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = sin_t), 
              size = 1) + # sin曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_sin_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # sin直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "sine function", 
         subtitle = parse(text = sin_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(sin~theta))
  
  ## 軸の変換図の作図処理
  
  # cos関数の軸変換曲線の座標を計算
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100), 
    x = axis_size + (axis_size-cos(theta)) * cos(rad), 
    y = axis_size + (axis_size-cos(theta)) * sin(rad)
  )
  
  # cos曲線・直線との対応線の座標を格納
  l <- 1
  segment_adapt_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), axis_size), 
    y = c(axis_size, cos(theta)), 
    x_to = c(cos(theta), axis_size+l), 
    y_to = c(axis_size+l, cos(theta))
  )
  
  # 軸の変換曲線を作図
  adapt_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = adapt_grid_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
              color = "white") + # グリッド線
    geom_line(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
    geom_point(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = segment_adapt_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
    #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(x = "x", y = "x")
  
  ## cos曲線の作図処理
  
  # cos直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.2
  d <- 1.1
  segment_cos_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(axis_size*d, cos(theta)), 
    x_to = c(theta, -l), 
    y_to = c(axis_size*d+l, cos(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cos_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cos関数曲線を作図
  cos_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
              size = 1) + # cos曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cos_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(0, 2*pi), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cosine function", 
         subtitle = parse(text = cos_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cos~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(
    circle_graph, sin_graph, 
    adapt_graph, cos_graph, 
    nrow = 2, ncol = 2, widths = c(1, 2, 1, 2), heights = c(1, 1, 1, 1)
  )
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 900, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　先ほどと同様に処理します。

　cos関数とsin関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cos_sin_1cycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

n周期

　円周上を複数回周回した際のcos関数の直線と曲線上の点の関係を可視化することで、周期性を確認します。

・作図コード(クリックで展開)

　フレーム数を指定して、変数として用いる値を作成します。

# フレーム数を指定
frame_num <- 120

# 変数の値を作成
theta_i <- seq(from = -2*pi, to = 2*pi, length.out = frame_num+1)[1:frame_num]
head(theta_i)

## [1] -6.283185 -6.178466 -6.073746 -5.969026 -5.864306 -5.759587

　フレーム数frame_numを指定して、frame_num個の $\theta$ の値を作成します。theta_iの範囲が $2 \pi$ の倍数だと、アニメーションの最後と最初のフレームの繋がりが良くなります。

　「グラフの作成」のときと同様に、2つの方法で図示します。

パターン1

　1つ目の方法では、単位円の図上で横軸を縦軸に変換してcos関数を可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "cos", "cos", "sin", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, sin(theta), 0, 
      0, 0
    ), 
    x_to = c(
      cos(theta), cos(theta), 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, sin(theta), cos(theta), 
      sin(theta), sin(theta)
    ), 
    type = c("main", "main", "sub", "main", "main") # 線の種類用
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 * cos(theta), 
      0
    ), 
    y = c(
      0,
      0.5 * sin(theta)
    ), 
    angle = c(0, 90), 
    v = c(1, -0.5), 
    fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # 変換曲線の先端の座標を格納
  adapt_point_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), 0), 
    y = c(0, cos(theta))
  )
  
  # 軸変換曲線の描画用
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = cos(theta) * cos(rad), 
    y = cos(theta) * sin(rad)
  )
  
  # cos曲線との対応線の座標を格納
  l <- 0.6
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = 0, 
    y = cos(theta), 
    x_to = -axis_size-l
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_point(data = adapt_point_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, 
                               color = fnc, size = type, linetype = type)) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_path(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos曲線との対応線
    scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                          values = c("solid", "twodash"), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    scale_size_manual(breaks = c("main", "sub"), 
                      values = c(1, 1.5), guide ="none") + # (線が重なる対策)
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "right") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 関数曲線の作図処理
  
  # 作図用の変数の値を作成
  theta_size <- 2 * pi
  theta_min  <- theta - theta_size
  theta_vec  <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000)
  
  # 目盛ラベル用の文字列を作成
  denom <- 6
  numer_vec <- seq(
    from = floor(theta_min / pi * denom), 
    to = ceiling(theta / pi * denom), 
    by = 1
  )
  label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
  
  # cos関数を計算
  cos_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    cos_t = cos(t)
  )
  
  # cos直線との対応線の座標を格納
  l <- 0.5
  d <- 1.1
  segment_cos_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(cos(theta), cos(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(-axis_size*d, cos(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cos_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cos関数曲線を作図
  cos_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = cos_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
              size = 1) + # cos曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cos_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cosine function", 
         subtitle = parse(text = cos_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cos~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(cos_graph, circle_graph)
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 500, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。

　cos関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cos_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　先ほどと同様にして、gifファイルを作成します。

　単位円上の点が1周する $2 \pi$ の間隔で、曲線が同じ形になるのが分かります。

パターン2

　2つ目の方法では、横軸を縦軸に変換する図を挟んでcos関数とsin関数を並べて可視化します。

・作図コード(クリックで展開)

　theta_iから順番に値を取り出してグラフを作成し、画像ファイルとして書き出す処理を繰り返します。

# 一時保存フォルダを指定
dir_path <- "tmp_folder"

# 関数ラベルのレベルを指定
fnc_level_vec <- c("cos", "sin")

# グラフサイズ用の値を設定
axis_size <- 1.3

# 軸変換図のグリッド線の描画用
adapt_grid_df <- tidyr::expand_grid(
  d = axis_size - seq(from = -1, to = 1, by = 0.5), # グリッド線の位置を指定
  rad = seq(from = pi, to = 1.5*pi, length.out = 100)
) |> # グリッド線の数に応じてラジアンを複製
  dplyr::mutate(
    x = axis_size + d * cos(rad), 
    y = axis_size + d * sin(rad)
  )

# 変数ごとに作図
for(i in 1:frame_num) {
  
  # i番目の値を取得
  theta <- theta_i[i]
  
  # 曲線上の点の座標を計算
  point_df <- tibble::tibble(
    t = theta, 
    sin_t = sin(theta), 
    cos_t = cos(theta)
  )
  
  ## 単位円上の関数直線の作図処理
  
  # 半径の線分の座標を格納
  radius_df <- tibble::tibble(
    x_to = c(1, cos(theta)), 
    y_to = c(0, sin(theta))
  )
  
  # 角マークの座標を計算
  d <- 0.15
  angle_mark_df <- tibble::tibble(
    t = seq(from = 0, to = theta, length.out = 100), 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 角ラベルの座標を計算
  d <- 0.25
  angle_label_df <- tibble::tibble(
    t = 0.5 * theta, 
    x = d * cos(t), 
    y = d * sin(t)
  )
  
  # 関数直線の線分の座標を格納
  function_line_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "cos", "sin", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x_from = c(
      0, 0, 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_from = c(
      0, sin(theta), 
      0, 0
    ), 
    x_to = c(
      cos(theta), cos(theta), 
      0, cos(theta)
    ), 
    y_to = c(
      0, sin(theta), 
      sin(theta), sin(theta)
    )
  )
  
  # 関数ラベルの座標を格納
  function_label_df <- tibble::tibble(
    fnc = c("cos", "sin") |> 
      factor(levels = fnc_level_vec), # 色用
    x = c(
      0.5 * cos(theta), 
      0
    ), 
    y = c(
      0,
      0.5 * sin(theta)
    ), 
    angle = c(0, 90), 
    v = c(1, -0.5), 
    fnc_label = c("cos~theta", "sin~theta") # 関数ラベル
  )
  
  # sin・cos曲線との対応線の座標を格納
  l <- 1.4
  segment_circle_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), cos(theta)), 
    y = c(sin(theta), sin(theta)), 
    x_to = c(-axis_size-l, cos(theta)), 
    y_to = c(sin(theta), axis_size+l)
  )
  
  # 変数ラベル用の文字列を作成
  variable_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # 単位円上の三角関数直線を作図
  circle_graph <- ggplot() + 
    geom_path(data = circle_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1) + # 円周
    geom_segment(data = radian_lable_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x, yend = y), 
                 color = "white") + # 角度目盛グリッド
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, angle = t_deg+90), label = "|", 
              size = 2) + # 角度目盛指示線
    geom_text(data = radian_lable_df, 
              mapping = aes(x = label_x, y = label_y, label = rad_label, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE) + # 角度目盛ラベル
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = cos_t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 円周上の点
    geom_segment(data = radius_df, 
                 mapping = aes(x = 0, y = 0, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1) + # 半径直線
    geom_path(data = angle_mark_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 0.5) + # 角マーク
    geom_text(data = angle_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), label = "theta", parse = TRUE, 
              size = 5) + # 角ラベル
    geom_segment(data = function_line_df, 
                 mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc), 
                 size = 1) + # 関数直線
    geom_text(data = function_label_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, 
                            hjust = 0.5, vjust = v, angle = angle), parse = TRUE, show.legend = FALSE) + # 関数ラベル
    geom_segment(data = segment_circle_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線との対応線
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    theme(legend.position = "right") + # 凡例の位置
    labs(title = "circular functions", 
         subtitle = parse(text = variable_label), 
         color = "function", 
         x = "x", y = "y")
  
  ## 変数の作成処理
  
  # 作図用の変数の値を作成
  theta_size <- 2 * pi
  theta_min  <- theta - theta_size
  theta_vec  <- seq(from = max(min(theta_i), theta_min), to = theta, length.out = 1000)
  
  # 目盛ラベル用の文字列を作成
  denom <- 6
  numer_vec <- seq(
    from = floor(theta_min / pi * denom), 
    to = ceiling(theta / pi * denom), 
    by = 1
  )
  label_vec <- paste0(c("", "-")[(numer_vec < 0)+1], "frac(", abs(numer_vec), ", ", denom, ")~pi")
  
  # sin・cos関数を計算
  curve_df <- tibble::tibble(
    t = theta_vec, 
    sin_t = sin(t), 
    cos_t = cos(t)
  )
  
  ## sin曲線の作図処理
  
  # sin直線との対応線の座標を格納
  l <- 1
  d <- 1.1
  segment_sin_df <- tibble::tibble(
    x = c(theta, theta), 
    y = c(axis_size*d, sin(theta)), 
    x_to = c(theta, theta+l), 
    y_to = c(axis_size*d+l, sin(theta))
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  sin_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", sin~theta==", round(sin(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # sin関数曲線を作図
  sin_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = sin_t), 
              size = 1) + # sin曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = sin_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_sin_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # sin直線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "sine function", 
         subtitle = parse(text = sin_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(sin~theta))
  
  ## 軸の変換図の作図処理
  
  # cos関数の軸変換曲線の座標を計算
  adapt_line_df <- tibble::tibble(
    rad = seq(from = 0, to = 0.5*pi, length.out = 100), 
    x = -axis_size + (axis_size+cos(theta)) * cos(rad), 
    y = -axis_size + (axis_size+cos(theta)) * sin(rad)
  )
  
  # cos曲線・直線との対応線の座標を格納
  lx <- 1.2
  ly <- 0.1
  segment_adapt_df <- tibble::tibble(
    x = c(cos(theta), -axis_size), 
    y = c(-axis_size, cos(theta)), 
    x_to = c(cos(theta), -axis_size-lx), 
    y_to = c(-axis_size-ly, cos(theta))
  )
  
  # 軸の変換曲線を作図
  adapt_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = adapt_grid_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y, group = d), 
              color = "white") + # グリッド線
    geom_line(data = adapt_line_df, 
              mapping = aes(x = x, y = y), 
              size = 1, linetype = "dotted") + # 軸変換曲線
    geom_point(data = segment_adapt_df, 
               mapping = aes(x = x, y = y), 
               size = 4) + # cos関数の点
    geom_segment(data = segment_adapt_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y_to), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # cos直線・曲線との対応線
    #theme(panel.grid = element_blank()) + # 元のグリッド線を非表示
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(-axis_size, axis_size), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(x = "x", y = "x")
  
  ## cos曲線の作図処理
  
  # cos直線との対応線の座標を格納
  l <- 1.5
  d <- 1.1
  segment_cos_df <- tibble::tibble(
    x = theta, 
    y = cos(theta), 
    x_to = theta+l
  )
  
  # 関数ラベル用の文字列を作成
  cos_label <- paste0(
    "list(", 
    "theta==", round(theta/pi, digits = 2), "*pi", 
    ", cos~theta==", round(cos(theta), digits = 2), 
    ")"
  )
  
  # cos関数曲線を作図
  cos_graph <- ggplot() + 
    geom_line(data = curve_df, 
              mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
              size = 1) + # cos曲線
    geom_point(data = point_df, 
               mapping = aes(x = t, y = cos_t), 
               size = 4) + # 曲線上の点
    geom_segment(data = segment_cos_df, 
                 mapping = aes(x = x, y = y, xend = x_to, yend = y), 
                 size = 1, linetype = "dotted") + # 変換曲線との対応線
    geom_vline(xintercept = theta, size = 1, linetype = "dotted") + # x軸との対応線
    scale_x_continuous(breaks = numer_vec/denom*pi, 
                       labels = parse(text = label_vec)) + # 角度目盛ラベル
    coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", 
                xlim = c(theta_min, theta), ylim = c(-axis_size, axis_size)) + # 描画領域
    labs(title = "cosine function", 
         subtitle = parse(text = cos_label), 
         x = expression(theta), 
         y = expression(cos~theta))
  
  # 並べて描画
  graph <- patchwork::wrap_plots(
    cos_graph, adapt_graph, 
    sin_graph, circle_graph, 
    nrow = 2, ncol = 2, widths = c(2, 1, 2, 1), heights = c(1, 1, 1, 1)
  )
  
  # ファイルを書き出し
  file_path <- paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(i, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png")
  ggplot2::ggsave(filename = file_path, plot = graph, width = 1500, height = 900, units = "px", dpi = 100)
  
  # 途中経過を表示
  message("\r", i, " / ", frame_num, appendLF = FALSE)
}

　「1周期」のときと同様に処理します。こちらは、軸目盛の関係から上下左右の図を入れ替えます。そのため、対応線の方向などが変わっています。

　cos関数とsin関数のアニメーションを作成します。

# gif画像を作成
paste0(dir_path, "/", stringr::str_pad(1:frame_num, width = nchar(frame_num), pad = "0"), ".png") |> # ファイルパスを作成
  magick::image_read() |> # 画像ファイルを読込
  magick::image_animate(fps = 1, dispose = "previous") |> # gif画像を作成
  magick::image_write_gif(path = "cos_sin_ncycle.gif", delay = 0.1) -> tmp_path # gifファイル書き出し

　この記事では、cos関数を可視化しました。次の記事では、tan関数を可視化します。

参考書籍

『三角関数(改定第3版)』(Newton別冊)ニュートンプレス,2022年.

おわりに

　単位円に対してどこにコサイン波を置けば分かりやすいのかな、別にどこでも置けるんだな、とりあえず4つともやってみよう、で結局どれが分かりやすいんだろう、全部載せとくか。という脳内会議がありました。

　まーちゃんのソロデビュー決定！！！！

#佐藤優樹始動 pic.twitter.com/5aheCLoV8Y
— 佐藤優樹スタッフ【公式】 (@masaki_staff) 2023年1月27日

ということで、とてもめでたい。楽しみ♬

2023.05.10：加筆修正しました。

　元々は、単位円の上・下・左上・右下にコサイン曲線を配置した4種類の図でした。4つあっても逆に分かりにくいと分かったので、再構成の必要を感じていました。他の関数の記事の構成とあわせて書き直したら、右・左・右下・左上の4種類になりました。ついでに空いてるスペースにサイン曲線も描いておきました。その他にもあれこれ図を加えました。さてこれは分かりやすいのでしょうかね。
　一応その時々で自分が一番分かりやすい構成だと信じて書いているんですがね。

　最後の図とか見てると、浮いたり沈んだり、近付いたり離れたり、連動してるようなしてないような、なんだかやる気曲線って感じ。

【次の内容】

からっぽのしょこ

読んだら書く！書いたら読む！同じ事は二度調べ(たく)ない

【R】cos関数の可視化

はじめに

cos関数の可視化

cos関数の作図

単位円の作図

単位円上のcos関数の可視化

グラフの作成

アニメーションの作成

単位円上の点とcos関数曲線の関係の可視化

グラフの作成

パターン1

パターン2

アニメーションの作成

1周期

パターン1

パターン2

n周期

パターン1

パターン2

参考書籍

おわりに