はじめに

　『トピックモデル』(MLPシリーズ)の勉強会資料のまとめです。各種モデルやアルゴリズムを「数式」と「プログラム」を用いて解説します。
　本の補助として読んでください。

　この記事では、ユニグラムモデルにおけるMAP推定(ハイパーパラメータ推定)の数式の行間を埋めます。

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【この節の内容】

はじめに
2.7 ユニグラムモデルのMAP推定の導出：ハイパーパラメータ推定
- MAP解の設定
- 不動点反復法の更新式の導出
参考書籍
おわりに

2.7 ユニグラムモデルのMAP推定の導出：ハイパーパラメータ推定

　ユニグラムモデル(unigram model)に対する不動点反復法(固定点反復法・fixed point iteration)を用いた最大事後確率推定(MAP推定・maximum a posteriori estimation)におけるハイパーパラメータの計算式を導出する。この節では、ハイパーパラメータに事前分布を設定して、ハイパーパラメータを推定する。
　ユニグラムモデルの定義や記号については「2.2：ユニグラムモデルの生成モデルの導出【青トピックモデルのノート】 - からっぽのしょこ」、ハイパーパラメータに事前分布を設定しない(パラメータを推定する)場合については「2.4：ユニグラムモデルの最大事後確率推定【『トピックモデル』の勉強ノート】 - からっぽのしょこ」を参照のこと。

MAP解の設定

　ここでは、単語分布のハイパーパラメータ $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \cdots, \beta_V)$ を一様な値 $\beta_1 = \cdots = \beta_V = \beta$ として $\beta$ で表す( $V$ 次元ベクトルをスカラで表記する)。
　また、ハイパーパラメータ $\beta$ の事前確率(事前分布)として、パラメータ $c, d$ を持つガンマ分布 $\mathrm{Gam}(\beta | c, d)$ を設定する。

　ハイパーパラメータに事前確率を設定したMAP推定では、事後確率 $p(\beta | \mathbf{W}, c, d)$ を最大化するハイパーパラメータ $\beta$ を求める。

$\displaystyle \begin{align} \beta_{\mathrm{MAP}} &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} p(\beta | \mathbf{W}, c, d) \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \log p(\beta | \mathbf{W}, c, d) \tag{1} \end{align}$

　 $\mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{x} f(x)$ は、関数 $f(x)$ を最大化させる引数(変数) $x$ を表す。また、単語分布のハイパーパラメータのMAP解を $\beta_{\mathrm{MAP}}$ とする。
　計算を簡単にするため、対数をとった事後確率 $\log p(\beta | \mathbf{W}, c, d)$ の最大化を考える。

　ハイパーパラメータに事前分布を設定したユニグラムモデルにおける事後確率は、ベイズの定理より、パラメータ $\boldsymbol{\phi}$ を周辺化した周辺尤度 $p(\mathbf{W} | \beta)$ とハイパーパラメータ $\beta$ の事前確率 $p(\beta | c, d)$ を用いて、次の式で定義される。

$\displaystyle p(\beta | \mathbf{W}, c, d) = \frac{ p(\mathbf{W} | \beta) p(\beta | c, d) }{ p(\mathbf{W} | c, d) } \tag{2.5'}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: ベイズ定理 $p(B | A) = \frac{p(A | B) p(B)}{p(A)}$ より、確率変数(観測データ)とパラメータの条件関係を入れ替える。

　ベイズの定理に当てはめなくても得られる。

$\displaystyle \begin{aligned} p(\beta | \mathbf{W}, c, d) &= \frac{ p(\mathbf{W}, \beta | c, d) }{ p(\mathbf{W} | c, d) } \\ &= \frac{ \int p(\mathbf{W}, \boldsymbol{\phi}, \beta | c, d) \mathrm{d} \boldsymbol{\phi} }{ \iint p(\mathbf{W}, \boldsymbol{\phi}, \beta | c, d) \mathrm{d} \boldsymbol{\phi} \mathrm{d} \beta } \\ &= \frac{ \int p(\mathbf{W} | \boldsymbol{\phi}) p(\boldsymbol{\phi} | \beta) p(\beta | c, d) \mathrm{d} \boldsymbol{\phi} }{ \iint p(\mathbf{W} | \boldsymbol{\phi}) p(\boldsymbol{\phi} | \beta) p(\beta | c, d) \mathrm{d} \boldsymbol{\phi} \mathrm{d} \beta } \end{aligned}$

1: 条件付き確率 $p(A | B) = \frac{p(A, B)}{p(B)}$ より、項を分割する。
2: 連続型の確率変数の周辺化 $p(A) = \int p(A, B) \mathrm{d} B$ より、周辺化されていたパラメータ $\boldsymbol{\phi}$ を明示する。
3: 乗法定理 $p(A, B) = p(A | B) p(B)$ より、依存関係に従い項を分割する。

　分母は、 $\boldsymbol{\phi}, \beta$ を周辺化した周辺確率 $p(\mathbf{W} | c, d)$ であり、 $\beta$ に影響しない。

　この式を式(1)に代入して、式を整理する。

$\displaystyle \begin{align} \beta_{\mathrm{MAP}} &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \left[ \log \frac{ p(\mathbf{W} | \beta) p(\beta | c, d) }{ p(\mathbf{W} | c, d) } \right] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Bigl[ \log p(\mathbf{W} | \beta) + \log p(\beta | c, d) - \log p(\mathbf{W} | c, d) \Bigr] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Bigl[ \log p(\mathbf{W} | \beta) + \log p(\beta | c, d) \Bigr] \tag{2}\\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Biggl[ \log \left( \frac{ \Gamma(\sum_{v=1}^V \beta_v) }{ \Gamma(N + \sum_{v=1}^V \beta_v) } \prod_{v=1}^V \frac{\Gamma(N_v + \beta_v)}{\Gamma(\beta_v)} \right) \Biggr. \\ &\qquad \qquad \qquad \Biggl. + \log \left( \frac{d^c}{\Gamma(c)} \beta^{c-1} \exp(- d \beta) \right) \Biggr] \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 式(1)の事後確率の項を事後確率の式(2.5')に置き換える。
2: 対数の性質 $\log (x y) = \log x + \log y$ 、 $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ より、分数を分解する。
3: $\beta$ と無関係な周辺確率の項を省く。
4: ユニグラムモデルの定義(2.2節)より、周辺尤度(パラメータを周辺化した文書集合の生成確率)とハイパーパラメータの事前確率(ガンマ分布)を具体的な式に置き換える。

　周辺尤度の式については「2.2：ユニグラムモデルの生成モデルの導出【青トピックモデルのノート】 - からっぽのしょこ」を参照のこと。
　 $\beta$ に影響しない項は省ける。
　事後確率を最大化するパラメータは、周辺尤度と事前確率の対数の和を最大化するパラメータを求めればよいことが分かった。
　ただし、周辺尤度を解析的に計算するのは困難である。そこで、不動点反復法により繰り返し値を更新してMAP解を近似することを考える。

不動点反復法の更新式の導出

　周辺尤度(2.8')に関して、2つの項をそれぞれ

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\Gamma(V \beta)}{\Gamma(N + V \beta)} &\geq \frac{\Gamma(V \beta)}{\Gamma(N + V \beta)} \exp \Bigl( V (\beta - \beta^{\mathrm{new}}) b \Bigr) \\ \frac{\Gamma(N_v + \beta)}{\Gamma(\beta)} &\geq \frac{\Gamma(N_v + \beta)}{\Gamma(\beta)} \beta^{-a} (\beta^{\mathrm{new}})^a \end{aligned}$

に置き換えて、下限 $G$ とおく。

$\displaystyle \begin{align} p(\mathbf{W} | \beta) &= \frac{\Gamma(V \beta)}{\Gamma(N + V \beta)} \prod_{v=1}^V \frac{\Gamma(N_v + \beta)}{\Gamma(\beta)} \tag{2.8'}\\ &\geq \frac{\Gamma(V \beta)}{\Gamma(N + V \beta)} \exp \Bigl( (V \beta - V \beta^{\mathrm{new}}) b \Bigr) \prod_{v=1}^V \frac{\Gamma(N_v + \beta)}{\Gamma(\beta)} \beta^{-a} (\beta^{\mathrm{new}})^a \equiv G \end{align}$

　また(式が長くなるので)、次のようにおいた。

$\displaystyle \begin{aligned} a &= \Bigl( \Psi(N_v + \beta) - \Psi(\beta) \Bigr) \beta \\ b &= \Psi(N + V \beta) - \Psi(V \beta) \end{aligned} \tag{3}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 対数ガンマとディガンマ関数の不等式を用いて、式を置き換える。

　 $\hat{x} \geq 0$ に対して、 $x \gt 0$ 、 $n \geq 0$ のとき、次の関係が成り立つ。

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(n + x)} &\geq \frac{\Gamma(\hat{x})}{\Gamma(n + \hat{x})} \exp \Bigl( (\hat{x} - x) b \Bigr) \\ b &= \Psi(n + \hat{x}) - \Psi(\hat{x}) \end{aligned}$

　 $V \beta$ を $\hat{x}$ 、 $V \beta^{\mathrm{new}}$ を $x$ に対応させて項を変形する。
　また、 $\hat{x} \geq 0$ に対して、 $n \geq 1$ のとき、次の関係が成り立つ。

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\Gamma(n + x)}{\Gamma(x)} &\geq \frac{\Gamma(n + \hat{x})}{\Gamma(\hat{x})} \hat{x}^{-a} x^a \\ a &= \Bigl( \Psi(n + \hat{x}) - \Psi(\hat{x}) \Bigr) \hat{x} \end{aligned}$

　 $\beta$ を $\hat{x}$ 、 $\beta^{\mathrm{new}}$ を $x$ に対応させて項を変形する。

　現在の値を $\beta$ 、更新後の値を $\beta^{\mathrm{new}}$ とする。周辺尤度に関して $\beta$ の周りでテイラー展開(近似)して下限として用いる。
　詳しくは「対数ガンマ関数とディガンマ関数の不等式の導出【青トピックモデルのノート】 - からっぽのしょこを参照のこと。

　周辺尤度の代わりに下限を用いて、近似的な事後確率を最大化するハイパーパラメータを考える。

$\displaystyle \begin{align} \beta^{\mathrm{new}} &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Bigl[ \log G + \log p(\beta | c, d) \Bigr] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Biggl[ \log \left( \frac{\Gamma(V \beta)}{\Gamma(N + V \beta)} \exp \Bigl( (V \beta - V \beta^{\mathrm{new}}) b \Bigr) \prod_{v=1}^V \frac{\Gamma(N_v + \beta)}{\Gamma(\beta)} \beta^{-a} (\beta^{\mathrm{new}})^a \right) \Biggr. \\ &\qquad \qquad \qquad \Biggl. + \log \left( \frac{d^c}{\Gamma(c)} (\beta^{\mathrm{new}})^{c-1} \exp(- d \beta^{\mathrm{new}}) \right) \Biggr] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \Biggl[ \log \Gamma(V \beta) - \log \Gamma(N + V \beta) + (V \beta - V \beta^{\mathrm{new}}) b \Biggr. \\ &\qquad \qquad \qquad \Biggl. + \sum_{v=1}^V \Bigl\{ \log \Gamma(N_v + \beta) - \log \Gamma(\beta) - a \log \beta + a \log \beta^{\mathrm{new}} \Bigr\} \\ &\qquad \qquad \qquad \Biggl. c \log d - \log \Gamma(c) + (c - 1) \log \beta^{\mathrm{new}} - d \beta^{\mathrm{new}} \Biggr] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \left[ - V b \beta^{\mathrm{new}} + \sum_{v=1}^V a \log \beta^{\mathrm{new}} + (c - 1) \log \beta^{\mathrm{new}} - d \beta^{\mathrm{new}} \right] \\ &= \mathop{\mathrm{argmax}}\limits_{\beta} \left[ - (d + V b) \beta^{\mathrm{new}} + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \log \beta^{\mathrm{new}} \right] \end{align}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: 周辺尤度と事前確率の対数の和(2)に関して、周辺尤度を下限(近似) $p(\mathbf{W} | \beta) \approx G$ に置き換える。
2: 周辺尤度の下限とハイパーパラメータの事前確率(ガンマ分布)を具体的な式に置き換える。
3: 対数の性質 $\log (x y) = \log x + \log y$ 、 $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ 、 $\log x^a = a \log x$ より、積が和、商が差、べき乗が積になる。
4: $\beta^{\mathrm{new}}$ と無関係な項を省く。
5: $\beta^{\mathrm{new}}, \log \beta^{\mathrm{new}}$ の項をそれぞれまとめる。

　 $\beta^{\mathrm{new}}$ に影響しない項は省ける。または、定数 $\mathrm{const.}$ としてまとめておくと偏微分の際に0になり消える。

　(近似的な)事後確率を最大化するハイパーパラメータは

$\displaystyle - (d + V b) \beta^{\mathrm{new}} + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \log \beta^{\mathrm{new}} \tag{4}$

を最大化するハイパーパラメータを求めればよいことが分かった。

　周辺尤度の下限 $G$ と事前確率の対数の和を $F$ とおく。また、 $\beta^{\mathrm{new}}$ に影響しない(式(4)以外の)項をまとめて $\mathrm{const.}$ とする。

$\displaystyle \begin{aligned} F &= \log G + \log p(\beta | c, d) \\ &= - (d + V b) \beta^{\mathrm{new}} + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \log \beta^{\mathrm{new}} + \mathrm{const.} \end{aligned}$

　関数 $F$ を $\beta^{\mathrm{new}}$ に関して微分する。

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} &= \frac{\partial}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} \left\{ - (d + V b) \beta^{\mathrm{new}} + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \log \beta^{\mathrm{new}} + \mathrm{const.} \right\} \\ &= \frac{\partial}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} \Bigl\{ - (d + V b) \beta^{\mathrm{new}} \Bigr\} + \frac{\partial}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} \left\{ \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \log \beta^{\mathrm{new}} \right\} + \frac{\partial \mathrm{const.}}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} \\ &= - (d + V b) \frac{\partial \beta^{\mathrm{new}}}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \frac{\partial \log \beta^{\mathrm{new}}}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} + 0 \\ &= - (d + V b) + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \frac{1}{\beta^{\mathrm{new}}} \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: $F$ の式全体の微分を考える。ただし、 $\beta^{\mathrm{new}}$ に関する微分なので、 $\beta$ は定数として扱う。
2: 和の微分 $\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)$ より、項ごとの微分の和に分割する。
3: $\beta^{\mathrm{new}}$ の係数は $\frac{\partial}{\partial \beta^{\mathrm{new}}}$ の外に出せ、定数の微分は(定数 $a$ を $x$ で微分すると) $\{a\}' = 0$ である。
4: 変数の微分は(変数 $x$ を $x$ で微分すると) $\{x\}' = 1$ 、自然対数の微分は $\{\log x\}' = \frac{1}{x}$ である。

　 $\frac{\partial G}{\partial \beta^{\mathrm{new}}} = 0$ となる $\beta^{\mathrm{new}}$ を求める。

$\displaystyle \begin{aligned} && - (d + V b) + \left( c - 1 + \sum_{v=1}^V a \right) \frac{1}{\beta^{\mathrm{new}}} &= 0 \\ \Rightarrow && \beta^{\mathrm{new}} &= \frac{ c - 1 + \sum_{v=1}^V a }{ d + V b } \\ && &= \frac{ c - 1 + \sum_{v=1}^V \Bigl( \Psi(N_v + \beta) - \Psi(\beta) \Bigr) \beta }{ d + V \Bigl( \Psi(N + V \beta) - \Psi(V \beta) \Bigr) } \\ && &= \frac{ c - 1 + \beta \left( \sum_{v=1}^V \Psi(N_v + \beta) - V \Psi(\beta) \right) }{ d + V \Psi(N + V \beta) - V \Psi(V \beta) } \end{aligned}$

途中式の途中式(クリックで展開)

1: $\frac{\partial F}{\partial \beta^{\mathrm{new}}}$ を $0$ とおく。
2: $\beta^{\mathrm{new}}$ について式を整理する。
3: $a, b$ に具体的な式(3)を代入する。
4: 括弧を展開する。

　不動点反復法によるハイパーパラメータの更新式が得られた。

　 $i$ 回目の更新において、 $\beta$ を現ステップ(更新前)の値( $i-1$ 回目の更新値) $\beta^{(i-1)}$ 、 $\beta^{\mathrm{new}}$ を次ステップ(更新後)の値( $i$ 回目の更新値) $\beta^{(i)}$ とする。

$\displaystyle \beta^{(i)} = \frac{ c - 1 + \beta^{(i-1)} \left( \sum_{v=1}^V \Psi \Bigl( N_v + \beta^{(i-1)} \Bigr) - V \Psi \Bigl( \beta^{(i-1)} \Bigr) \right) }{ d + V \Psi \Bigl( N + V \beta^{(i-1)} \Bigr) - V \Psi \Bigl( V \beta^{(i-1)} \Bigr) }$

　また、ハイパーパラメータの初期値を $\beta^{(0)}$ とする。
　この式により更新を繰り返すことで、MAP解 $\beta_{\mathrm{MAP}}$ に近付いていく。

　この記事では、ユニグラムモデルにおける不動点反復法によるハイパーパラメータのMAP推定を数式で確認した。次の記事では、プログラムで確認する。
　またこの章では、ユニグラムモデルを扱った。次章では、混合ユニグラムモデルを扱う。

参考書籍

岩田具治(2015)『トピックモデル』(機械学習プロフェッショナルシリーズ)講談社

おわりに

2024.05.07：加筆修正の際に「一様なハイパーパラメータの場合の経験ベイズ推定の導出」から記事を分割しました。

　本で数行、修正前の記事でも30行ほどだった内容を丁寧に書いたら1記事分になりました。
　順序立てて書くために問題設定から追ってみて分かった(分からなくなった)のですが、これはMAP推定ってことですよね。4週目にしてようやくそれらしいキーワードで書かれていることを認識できました。
　2.7節では2手法を扱ってるから節タイトルが目的である「ハイパーパラメータ推定」になってたんですかね。

　この手法でも多様ハイパラ版を書くつもりで始めたんですが、パラメータ推定のMAP推定では書かなかったですし、書かなくていいですよね。実装はどうしましょうか。
　この記事の更新時点で、2章の数式読解編は全て書き直せました。実装編は2つ組めて解説は未着手な状況です。実装しなければこれが2章最後の記事です。

【次節の内容】

からっぽのしょこ

読んだら書く！書いたら読む！同じ事は二度調べ(たく)ない

2.7：ユニグラムモデルのMAP推定の導出：ハイパーパラメータ推定【青トピックモデルのノート】

はじめに

2.7 ユニグラムモデルのMAP推定の導出：ハイパーパラメータ推定

MAP解の設定

不動点反復法の更新式の導出

参考書籍

おわりに