はじめに

　『スタンフォード　ベクトル・行列からはじめる最適化数学』の学習ノートです。
　本の内容に関して「Pythonを使って再現」や「数式の行間埋め」によって理解を目指します。本と一緒に読んでください。

　この記事は1.2節「ベクトルの和」の内容です。
　ベクトルの和を可視化します。

【前の内容】

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【他の内容】

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【今回の内容】

はじめに
ベクトルの和の可視化
- 2次元の場合
- 3次元の場合
参考書籍
おわりに

ベクトルの和の可視化

　2つのベクトルの和をグラフで確認します。
　ベクトルの作図については「【Python】ベクトルの例【『スタンフォード線形代数入門』のノート】 - からっぽのしょこ」を参照してください。

　利用するライブラリを読み込みます。

# 利用ライブラリ
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

2次元の場合

　まずは、2次元空間(平面)上でベクトルの和を可視化します。

　2つの2次元ベクトルを指定します。

# ベクトルを指定
a = np.array([5.0, 1.0])
b = np.array([-1.0, 3.0])

　 $\mathbf{a} = (a_1, a_2)^{\top}$ をa、 $\mathbf{b} = (b_1, b_2)^{\top}$ をbとして値を指定します。ただし、Pythonでは0からインデックスが割り当てられるので、 $a_1$ の値はa[0]に対応します。

　2次元空間(平面)上に2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1]])) + 1

# (原点からの)2Dベクトルを作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4.5), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
ax.annotate(xy=0.5*a, text='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
ax.annotate(xy=0.5*b, text='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('vector a, b', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ のグラフをaxes.quiver()で描画します。第1・2引数に始点の座標、第3・4引数にベクトルのサイズ(変化量)を指定します。この例では、原点を始点とします。
　配列a, bの前に*を付けてアンパック(展開)して指定しています。

　 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ のベクトルを描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) + 1

# 2Dベクトル和を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.quiver(*b, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
ax.quiver(*a, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, *a+b, color='purple', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa+b
ax.annotate(xy=0.5*a, text='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
ax.annotate(xy=0.5*b, text='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
ax.annotate(xy=0.5*(a+b), text='a+b', size=15, ha='left', va='top') # ベクトルa+bラベル
ax.annotate(xy=0.5*(b+a), text='b+a', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルb+aラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('vector a+b, b+a', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ (下の組み合わせ)と $\mathbf{b} + \mathbf{a}$ (上の組み合わせ)が一致するのが分かります。

　原点と点 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a} + \mathbf{b}$ を重ねて描画します。

# 2Dベクトル和を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5), facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1, label='a') # ベクトルa
ax.quiver(*b, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1, label='b') # ベクトルb
ax.quiver(*a, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, *a+b, color='purple', angles='xy', scale_units='xy', scale=1, label='a+b') # ベクトルa+b
ax.scatter(0, 0, c='orange', s=100) # 原点
ax.scatter(*a, c='red', s=100) # 点a
ax.scatter(*b, c='blue', s=100) # 点b
ax.scatter(*a+b, c='purple', s=100) # 点a+b
ax.annotate(xy=[0, 0], text='O', size=15, ha='right', va='top') # 原点ラベル
ax.annotate(xy=a, text='a', size=15, ha='left', va='top') # 点aラベル
ax.annotate(xy=b, text='b', size=15, ha='right', va='bottom') # 点bラベル
ax.annotate(xy=a+b, text='a+b', size=15, ha='center', va='bottom') # 点a+bラベル
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.grid()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('point a, b, a+b', fontsize=20)
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　点 $\mathbf{a}$ から $\mathbf{b}$ 移動した点は $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ 、点 $\mathbf{b}$ から $\mathbf{a}$ 移動した点も $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ になるのが分かります。

　ベクトルの値を変化させたアニメーションを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を設定
frame_num = 51

# 各次元の要素として利用する値を指定
a_vals = np.array(
    [np.linspace(start=-6.0, stop=6.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=0.0, stop=10.0, num=frame_num)]
).T
b_vals = np.array(
    [np.linspace(start=-1.0, stop=-1.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=3.0, stop=3.0, num=frame_num)]
).T

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, *a_vals[:, 0], *b_vals[:, 0], *a_vals[:, 0]+b_vals[:,0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, *a_vals[:, 0], *b_vals[:, 0], *a_vals[:, 0]+b_vals[:, 0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, *a_vals[:, 1], *b_vals[:, 1], *a_vals[:, 1]+b_vals[:, 1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, *a_vals[:, 1], *b_vals[:, 1], *a_vals[:, 1]+b_vals[:, 1]])) + 1

# 作図用のオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), facecolor='white')
fig.suptitle('vector a+b', fontsize=20)
    
# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目のベクトルを作成
    a = a_vals[i]
    b = b_vals[i]
    
    # 2Dベクトル和を作図
    ax.quiver(0, 0, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
    ax.quiver(*b, *a, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa
    ax.quiver(0, 0, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
    ax.quiver(*a, *b, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルb
    ax.quiver(0, 0, *a+b, color='purple', angles='xy', scale_units='xy', scale=1) # ベクトルa+b
    ax.annotate(xy=0.5*a, text='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
    ax.annotate(xy=0.5*b, text='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
    ax.annotate(xy=0.5*(a+b), text='a+b', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルa+bラベル
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
    ax.grid()
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+'), ' + 
                 'b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')', loc='left')
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save('sum_vector_2d.gif')

　作図処理をupdate()として定義して、FuncAnimation()でgif画像を作成します。

3次元の場合

　続いて、3次元空間上でベクトルの和を可視化します。

　3次元ベクトルを指定します。

# ベクトルを指定
a = np.array([5.0, 1.0, 3.0])
b = np.array([-1.0, 3.0, 2.0])

　 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^{\top}$ をa、 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)^{\top}$ をbとして値を指定します。

　3次元空間上に2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ を描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], b[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], b[2]])) + 1

# (原点からの)3Dベクトルを作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), subplot_kw={'projection': '3d'}, facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, 0, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
ax.text(*0.5*a, s='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
ax.text(*0.5*b, s='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0]], [0, a[1], b[1]], [z_min, z_min, z_min], 
          [0, 0, 0], [0, 0, 0], [-z_min, a[2]-z_min, b[2]-z_min], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
ax.set_zlim(z_min, z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('vector a, b', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　axes.quiver()の第1・2・3引数に始点の座標、第4・5・6引数にベクトルのサイズを指定します。この例では、原点を始点とします。

　 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ のベクトルを描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], b[2], a[2]+b[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], b[2], a[2]+b[2]])) + 1

# ３Dベクトル和を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), subplot_kw={'projection': '3d'}, facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, 0, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
ax.quiver(*b, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
ax.quiver(*a, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, 0, *a+b, color='purple', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa+b
ax.text(*0.5*a, s='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
ax.text(*0.5*b, s='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
ax.text(*0.5*(a+b), s='a+b', size=15, ha='left', va='top') # ベクトルa+bラベル
ax.text(*0.5*(b+a), s='b+a', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルb+aラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0], a[0]+b[0]], [0, a[1], b[1], a[1]+b[1]], [z_min, z_min, z_min, z_min], 
          [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [-z_min, a[2]-z_min, b[2]-z_min, a[2]+b[2]-z_min], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
ax.set_zlim(z_min, z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('vector a+b, b+a', fontsize=20)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　3次元の場合も $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$ となるのが分かります。

　原点と点 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a} + \mathbf{b}$ を重ねて描画します。

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, a[0], b[0], a[0]+b[0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, a[1], b[1], a[1]+b[1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, a[2], b[2], a[2]+b[2]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, a[2], b[2], a[2]+b[2]])) + 1

# 3Dベクトル和を作図
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), subplot_kw={'projection': '3d'}, facecolor='white')
ax.quiver(0, 0, 0, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05, label='a') # ベクトルa
ax.quiver(*b, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
ax.quiver(0, 0, 0, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05, label='b') # ベクトルb
ax.quiver(*a, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
ax.quiver(0, 0, 0, *a+b, color='purple', arrow_length_ratio=0.05, label='a+b') # ベクトルa+b
ax.scatter(0, 0, 0, c='orange', s=100) # 原点
ax.scatter(*a, c='red', s=100) # 点a
ax.scatter(*b, c='blue', s=100) # 点b
ax.scatter(*a+b, c='purple', s=100) # 点a+b
ax.text(0, 0, 0, s='O', size=15, ha='center', va='top', zorder=20) # 原点ラベル
ax.text(*a, s='a', size=15, ha='center', va='top', zorder=20) # 点aラベル
ax.text(*b, s='b', size=15, ha='right', va='center', zorder=20) # 点bラベル
ax.text(*a+b, s='a+b', size=15, ha='right', va='bottom', zorder=20) # 点bラベル
ax.quiver([0, a[0], b[0], a[0]+b[0]], 
          [0, a[1], b[1], a[1]+b[1]], 
          [z_min, z_min, z_min, z_min], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [0, 0, 0, 0], 
          [-z_min, a[2]-z_min, b[2]-z_min, a[2]+b[2]-z_min], 
          color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
ax.set_zlim(z_min, z_max)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a))+'), ' + 
             'b=('+', '.join(map(str, b))+')', loc='left')
fig.suptitle('point a, b, a+b', fontsize=20)
ax.legend()
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

　3次元でも、点 $\mathbf{a}$ から $\mathbf{b}$ 移動した点、点 $\mathbf{b}$ から $\mathbf{a}$ 移動した点が $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ になるのが分かります。

　ベクトルの値を変化させたアニメーションを作成します。

・作図コード(クリックで展開)

# フレーム数を設定
frame_num = 51

# 各次元の要素として利用する値を指定
a_vals = np.array(
    [np.linspace(start=-6.0, stop=6.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=0.0, stop=10.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=-2.0, stop=3.0, num=frame_num)]
).T
b_vals = np.array(
    [np.linspace(start=-1.0, stop=-1.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=3.0, stop=3.0, num=frame_num), 
     np.linspace(start=2.0, stop=2.0, num=frame_num)]
).T

# 作図用の値を設定
x_min = np.floor(np.min([0.0, *a_vals[:, 0], *b_vals[:, 0], *a_vals[:, 0]+b_vals[:,0]])) - 1
x_max = np.ceil(np.max([0.0, *a_vals[:, 0], *b_vals[:, 0], *a_vals[:, 0]+b_vals[:, 0]])) + 1
y_min = np.floor(np.min([0.0, *a_vals[:, 1], *b_vals[:, 1], *a_vals[:, 1]+b_vals[:, 1]])) - 1
y_max = np.ceil(np.max([0.0, *a_vals[:, 1], *b_vals[:, 1], *a_vals[:, 1]+b_vals[:, 1]])) + 1
z_min = np.floor(np.min([0.0, *a_vals[:, 2], *b_vals[:, 2], *a_vals[:, 2]+b_vals[:, 1]])) - 1
z_max = np.ceil(np.max([0.0, *a_vals[:, 2], *b_vals[:, 2], *a_vals[:, 2]+b_vals[:, 1]])) + 1

# 作図用のオブジェクトを初期化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8), subplot_kw={'projection': '3d'}, facecolor='white')
fig.suptitle('vector a+b', fontsize=20)

# 作図処理を関数として定義
def update(i):
    
    # 前フレームのグラフを初期化
    plt.cla()
    
    # i番目のベクトルを作成
    a = a_vals[i]
    b = b_vals[i]
    
    # 3Dベクトル和を作図
    ax.quiver(0, 0, 0, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
    ax.quiver(*b, *a, color='red', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa
    ax.quiver(0, 0, 0, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
    ax.quiver(*a, *b, color='blue', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルb
    ax.quiver(0, 0, 0, *a+b, color='purple', arrow_length_ratio=0.05) # ベクトルa+b
    ax.text(*0.5*a, s='a', size=15, ha='center', va='top') # ベクトルaラベル
    ax.text(*0.5*b, s='b', size=15, ha='right', va='center') # ベクトルbラベル
    ax.text(*0.5*(a+b), s='a+b', size=15, ha='right', va='bottom') # ベクトルb+aラベル
    ax.quiver([0, a[0], b[0], a[0]+b[0]], 
              [0, a[1], b[1], a[1]+b[1]], 
              [z_min, z_min, z_min, z_min], 
              [0, 0, 0, 0], 
              [0, 0, 0, 0], 
              [-z_min, a[2]-z_min, b[2]-z_min, a[2]+b[2]-z_min], 
              color='gray', arrow_length_ratio=0, linestyle=':') # 補助線
    ax.set_xticks(ticks=np.arange(x_min, x_max+1))
    ax.set_yticks(ticks=np.arange(y_min, y_max+1))
    ax.set_zticks(ticks=np.arange(z_min, z_max+1))
    ax.set_zlim(z_min, z_max)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_zlabel('z')
    ax.set_title('a=('+', '.join(map(str, a.round(2)))+'), ' + 
                 'b=('+', '.join(map(str, b.round(2)))+')', loc='left')
    ax.set_aspect('equal')

# gif画像を作成
ani = FuncAnimation(fig=fig, func=update, frames=frame_num, interval=100)

# gif画像を保存
ani.save('sum_vector_3d.gif')