はじめに
機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。
ポアソン分布の特性関数を導出します。
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ポアソン分布の特性関数の導出
ポアソン分布(Poisson Distribution)の特性関数を導出します。ポアソン分布については「ポアソン分布の定義式 - からっぽのしょこ」を参照してください。
特性関数は、$e^{itx}$の期待値として定義されます。$e$はネイピア数、$i$は虚数単位です。
$$
\begin{aligned}
\varphi(t)
&= \mathbb{E}[e^{itx}]
\\
&= \sum_{x=0}^{\infty}
e^{itx}
\mathrm{Poi}(x | \lambda)
\\
&= \sum_{x=0}^{\infty}
e^{itx}
\frac{\lambda^x}{x!}
e^{-\lambda}
\end{aligned}
$$
ここで、$\mathrm{Poi}(x | \lambda)$はポアソン分布を表し、$x$は単位時間における事象の発生回数、$\lambda$は発生回数の期待値です。
$e^{itx} = (e^{it})^x$と$\lambda^x$をまとめます。
$$
\varphi(t)
= e^{-\lambda}
\sum_{x=0}^{\infty}
\frac{(e^{it} \lambda)^x}{x!}
$$
指数関数のマクローリン展開$e^x = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^n}{x!}$の形をしているので、右辺から左辺の式に変形します。
$$
\begin{aligned}
\varphi(t)
&= e^{-\lambda}
e^{e^{it} \lambda}
\\
&= e^{e^{it} \lambda-\lambda}
\\
&= e^{\lambda(e^{it}-1)}
\end{aligned}
$$
特性関数の式が得られました。モーメント母関数の$t$を$it$に置き換えた式と一致します。
指数部分が分かりやすいように、指数関数を$e^x = \exp(x)$で表現すると
$$
\begin{aligned}
\varphi(t)
&= \exp(- \lambda)
\exp \Bigl(
\exp(i t) \lambda
\Bigr)
\\
&= \exp \Bigl(
\exp(i t) \lambda
- \lambda
\Bigr)
\\
&= \exp \Bigl(
\lambda (\exp(i t) - 1)
\Bigr)
\end{aligned}
$$
となります。
参考文献
- 星野満博・西崎雅仁『数理統計の探求』晃洋書房,2012年.
おわりに
なるべく記事を分けて書く方針に切り替えたのですが、「公開する」ボタンを押す時に文字数の表示を見てブログってこんな短くてよかったんだっけとまだ少し躊躇してしまいます。ちなみにこの記事だとLaTeXコマンド込みで2千字ちょっとです。これまでは、コードにLaTeXコマンド込み込みで1万字を下回ることはほとんどない感じでした。
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