からっぽのしょこ

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ポアソン分布のモーメント母関数の導出

はじめに

 機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。

 ポアソン分布のモーメント母関数を導出します。

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【この記事の内容】

ポアソン分布のモーメント母関数の導出

 ポアソン分布(Poisson Distribution)のモーメント母関数(積率母関数)を導出します。ポアソン分布については「ポアソン分布の定義式の確認 - からっぽのしょこ」、モーメン母関数については「モーメント母関数 - からっぽのしょこ」を参照してください。

 モーメント母関数は、$e^{tx}$の期待値として定義されます。$e$はネイピア数です。

$$ \begin{aligned} M(t) &= \mathbb{E}[e^{tx}] \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \mathrm{Poi}(x | \lambda) \\ &= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} \end{aligned} $$

 ここで、$\mathrm{Poi}(x | \lambda)$はポアソン分布を表し、$x$は単位時間における事象の発生回数、$\lambda$は発生回数の期待値です。
 $e^{tx} = (e^t)^x$と$\lambda^x$をまとめます。

$$ M(t) = e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(e^t \lambda)^x}{x!} $$

 指数関数のマクローリン展開$e^x = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^n}{x!}$の形をしているので、右辺から左辺の式に変形します。

$$ \begin{aligned} M(t) &= e^{-\lambda} e^{e^t \lambda} \\ &= e^{e^t \lambda-\lambda} \\ &= e^{\lambda(e^t-1)} \end{aligned} $$

 モーメント母関数の式が得られました。

 指数部分が分かりやすいように、指数関数を$e^x = \exp(x)$で表現すると

$$ \begin{aligned} M(t) &= \exp(- \lambda) \exp \Bigl( \exp(t) \lambda \Bigr) \\ &= \exp \Bigl( \exp(t) \lambda - \lambda \Bigr) \\ &= \exp \Bigl( \lambda (\exp(t) - 1) \Bigr) \end{aligned} $$

となります。

参考文献

  • 星野満博・西崎雅仁『数理統計の探求』晃洋書房,2012年.

おわりに

 モーメント母関数ってモーニング娘。感あるよね?

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