はじめに
機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。
ポアソン分布の定義を確認します。
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ポアソン分布の定義式の確認
ポアソン分布(Poisson Distribution)の定義を確認します。
定義式
稀に起こる(発生確率が低い)事象が、一定期間に発生する回数の確率分布をポアソン分布と言います。
単位時間における生起回数を$x$で表します。$x$は、0以上の整数になります。$x$が非負の整数をとることを
$$
x \in \{0, 1, 2, \ldots\}
$$
で表します。
単位時間における生起回数の期待値を$\lambda$で表すことにします。$\lambda$は、0より大きい実数
$$
\lambda > 0
$$
を満たす必要があります。
ポアソン分布は、パラメータ$\lambda$を用いて次の式で定義されます。
$$
\mathrm{Poi}(x | \lambda)
= \frac{\lambda^x}{x!}
e^{-\lambda}
$$
$x!$は$x$の階乗、$e$はネイピア数です。
ポアソン分布の対数をとると
$$
\log \mathrm{Poi}(x | \lambda)
= x \log \lambda
- \log x!
- \lambda
$$
となります。対数の性質より$\log x^a = a \log x$、$\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$です。
他の分布との関係
二項分布との関係性をいつか書きたい。
統計量の計算式
ポアソン分布の平均と分散は、どちらも$\lambda$になります。詳しくは「ポアソン分布の平均と分散の導出：定義式を利用 - からっぽのしょこ」を参照してください。
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}[x]
&= \lambda
\\
\mathbb{V}[x]
&= \lambda
\end{aligned}
$$
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参考文献
- 須山敦志『ベイズ推論による機械学習入門』(機械学習スタートアップシリーズ)杉山将監修,講談社,2017年.
おわりに
もう少し書き足したいのですが知識が足りませんでした。
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幾何分布と負の二項分布もやってみたいが…
