はじめに

　『Pythonで学ぶ空間データサイエンス入門』の独学時のまとめノートです。「導出編」「実装編」「可視化編」の三部構成でモデルやアルゴリズムの理解を目指します。
　本の内容から寄り道・回り道しながら進めます。本を読んだ上で補助的に読んでください。

　この記事では、境界の共有による空間重み行列について、数式を使って解説します。

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【今回の内容】

はじめに
2.2 空間重み行列の定義式：境界の共有
- 定義式
- 計算式
参考文献
おわりに

2.2 空間重み行列の定義式：境界の共有

　空間重み行列(spatial weight matrix)の定義(仮定)を数式で確認します。この記事では、境界を共有している(実際に隣接している・contiguity)かにより隣接関係(adjacency relationship)を設定します。
　空間隣接行列については「2.1：空間隣接行列の定義式【空間データサイエンス入門のノート】 - からっぽのしょこ」を参照してください。

定義式

　まずは、空間重み行列の定義を数式で確認します。

　区域数を $N$ 、区域番号(インデックス)を $n \in \{1, 2, \dots, N\}$ とします。 $n$ 番目の区域や区域 $n$ と呼びます。場合によっては、 $i, j$ などでも区域を表します。

　区域 $i$ と区域 $j$ の隣接関係を $\tilde{w}_{ij}$ とします。2値変数 $\tilde{w}_{ij} \in \{0, 1\}$ により隣接関係を表します。
　区域 $i$ に関する $N$ 個の区域との隣接関係をまとめて、区域 $i$ に関する隣接関係 $\tilde{\mathbf{w}}_i$ とします。

$\displaystyle \tilde{\mathbf{w}}_i = \begin{pmatrix} \tilde{w}_{i1} & \tilde{w}_{i2} & \cdots & \tilde{w}_{iN} \end{pmatrix}$

　区域 $n$ の隣接数(隣接する区域の数・ $\tilde{\mathbf{w}}_i$ の総和)を $\sum_{j=1}^N \tilde{w}_{nj} = N_n$ で表します。
　 $N$ 個の区域に関する隣接関係をまとめて、空間隣接行列を $\tilde{\mathbf{W}}$ とします。

$\displaystyle \tilde{\mathbf{W}} = \begin{pmatrix} \tilde{\mathbf{w}}_1 \\ \tilde{\mathbf{w}}_2 \\ \vdots \\ \tilde{\mathbf{w}}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tilde{w}_{11} & \tilde{w}_{12} & \cdots & \tilde{w}_{1N} \\ \tilde{w}_{21} & \tilde{w}_{22} & \cdots & \tilde{w}_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{w}_{N1} & \tilde{w}_{N2} & \cdots & \tilde{w}_{NN} \end{pmatrix}$

　区域 $i$ に関する隣接関係 $\tilde{\mathbf{w}}_i$ は $\tilde{\mathbf{W}}$ の $i$ 行目に対応します。

　区域 $i$ に関して、他の区域 $j$ に対する重みを $w_{ij}$ とします。
　区域 $i$ に関する $N$ 個の区域に対する重みをまとめて、区域 $i$ に関する重み $\mathbf{w}_i$ とします。

$\displaystyle \mathbf{w}_i = \begin{pmatrix} w_{i1} & w_{i2} & \cdots & w_{iN} \end{pmatrix}$

　 $\mathbf{w}_i$ の各要素は、0から1の値であり、総和が1になる条件を満たす必要があります。

$\displaystyle 0 \leq w_{ij} \leq 1 ,\ \sum_{j=1}^N w_{ij} = 1$

　対象の区域 $i$ に関して、2つの区域 $i, j$ に隣接関係がない場合は $w_{ij} = 0$ 、隣接関係がある場合は $w_{ij} = \frac{1}{N_i}$ になり、区域 $i$ に関する重みは2値をとります。

$\displaystyle w_{ij} \in \left\{ 0, \frac{1}{N_i} \right\}$

　重みの値については「計算式」で確認します。
　 $N$ 個の区域に関する重みをまとめて、空間重み行列を $\mathbf{W}$ とします。

$\displaystyle \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 \\ \mathbf{w}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{w}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1N} \\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{N1} & w_{N2} & \cdots & w_{NN} \end{pmatrix}$

　区域 $i$ に関する重み $\mathbf{w}_i$ は $\mathbf{W}$ の $i$ 行目に対応します。
　2つの区域 $i, j$ に隣接関係がない場合、重みは $\tilde{w}_{ij} = w_{ij} = 0$ です。

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計算式

　次は、空間重み行列に関する計算を数式で確認します。

　各区域 $i$ に関する重み $\mathbf{w}_i$ の各要素 $w_{ij}$ は、 $w_{ij}$ に対応する隣接関係 $\tilde{w}_{ij}$ を対象の区域 $i$ に関する隣接関係 $\tilde{\mathbf{w}}_i$ の総和で割った値で定義されます。

$\displaystyle w_{ij} = \frac{\tilde{w}_{ij}}{\sum_{ij'=1}^N \tilde{w}_{ij'}} = \frac{\tilde{w}_{ij}}{N_i}$

　 $\tilde{\mathbf{W}}$ の各要素 $\tilde{w}_{ij}$ を $\tilde{\mathbf{W}}$ の行和 $\sum_{ij=1}^N \tilde{w}_{ij}$ で割ることで、 $\mathbf{W}$ の各要素 $w_{ij}$ は、0から1の値 $0 \leq w_{ij} \leq 1$ で行和が1になる値 $\sum_{ij=1}^N w_{ij} = 1$ に正規化(規準化)されます。
　 $\mathbf{W}$ の列和 $\sum_{i=1}^N w_{ij}$ は、基本的に1になりません(たまたま1になることはあります)。
　 $\tilde{w}_{ij}$ は0か1の値をとり、 $\sum_{ij=1}^N \tilde{w}_{ij}$ は区域 $i$ の隣接数 $N_i$ なので、 $w_{ij}$ は0か隣接数の逆数 $\frac{1}{N_i}$ の値になります。