はじめに

　機械学習や統計学で登場する各種の確率分布について、「計算式の導出・計算のスクラッチ実装・計算過程や結果の可視化」などの「数式・プログラム・図」を用いた解説により、様々な角度から理解を目指すシリーズです。

　この記事では、負の二項分布のパラメータの影響についてR言語を使って確認します。

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はじめに
負の二項分布のパラメータの可視化
- パラメータの影響
参考文献
おわりに

負の二項分布のパラメータの可視化

　負の二項分布(Negative Binomial distribution)のグラフやアニメーションを作成して、パラメータの影響を図で確認します。この記事では、Rのggplot2パッケージを利用して作図します。
　負の二項分布については「負の二項分布の定義式 - からっぽのしょこ」、グラフ作成については「【R】負の二項分布の作図 - からっぽのしょこ」、Pythonを利用する場合は「Python版」を参照してください。

パラメータの影響

　前の記事(「分布の作図」)では、複数のパラメータのグラフを並べて描画しました。

　この記事では、パラメータの値を少しずつ変化させてグラフの変化をアニメーションで確認します。
　作図コードについては「Probability-Distribution/code/negative_binomial/parameter.R at main · anemptyarchive/Probability-Distribution · GitHub」を参照してください。

パラメータと形状の関係

　成功確率パラメータ $\phi$ を変化させたときの負の二項分布の形状の変化をアニメーションにします。

　パラメータ(成功確率) $\phi$ が大きくなるほど、確率のピークとなる確率変数の値(失敗回数) $x$ が小さくなる(山が左に移動する)のが分かります。

　成功回数パラメータ $r$ による変化をアニメーションにします。

　成功回数 $r$ が増えるほど、確率のピークとなる確率変数の値(失敗回数) $x$ が大きくなる(山が右に移動する)のが分かります。

パラメータと統計量の関係

　成功確率 $\phi$ を変化させたときの負の二項分布の統計量の変化をアニメーションにします。

　期待値を破線、最頻値(mode)を鎖線、期待値を中心に標準偏差1つ分離れた値を点線、また標準偏差2つ分(左右1つずつ)の範囲を水平の線分で示します。

　 $\phi$ が大きくなる(1に近付く)ほど、期待値と最頻値が小さくなる(左に移動する)のが分かります。また、標準偏差(分散)が小さくなり、分布の裾が狭く確率の最大値が大きくなる(山が高くなる)のも分かります。

　このことを、 $\phi$ と $\frac{1 - \phi}{\phi}$ の関係をグラフで確認します。

　期待値などの計算式について、 $\phi$ が1に近付くほど、 $\phi$ に関する項が0に近付き(最小になり)ます。

　成功回数 $r$ による変化をアニメーションにします。

　 $r$ が大きくなるほど、期待値や最頻値、標準偏差(分散)が大きくなるのが分かります。

　これらのことは、それぞれの計算式からも分かります。

$\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{E}[x] &= \frac{r (1 - \phi)}{\phi} \\ \mathbb{V}[x] &= \frac{r (1 - \phi)}{\phi^2} \\ \mathrm{mode}[x] &= \begin{cases} \left\lfloor \frac{(r - 1) (1 - \phi)}{\phi} \right\rfloor &\quad (r \gt 1) \\ 0 &\quad (r \leq 1) \end{cases} \end{aligned}$

パラメータとモーメントの関係

　成功確率 $\phi$ を変化させたときの負の二項分布の歪度と尖度の変化をアニメーションにします。

　分布の形状の比較用に、負の二項分布の期待値 $\mu = \mathbb{E}[x]$ と標準偏差 $\sigma = \mathbb{s}[x]$ に一致するガウス分布(正規分布)を赤色の破線の曲線で示します。
　比較しやすいように、負の二項分布の $x$ がとりうる離散値ごとの確率値(バーの高さ)に点を表示し、緑色の実線で結んでいます。

　 $\phi$ が大きくなるほど、歪度(skewness)と尖度(kurtosis)が0に近付く(正規分布の形状に近付く)のが分かります。

　発生回数 $r$ による変化をアニメーションにします。

　 $r$ が大きくなるほど、歪度(skewness)と尖度(kurtosis)が0に近付く(正規分布の形状に近付く)のが分かります。

　これらのことは、それぞれの計算式からも分かります。

$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Skewness} = \frac{ 2 - \phi }{ \sqrt{(1 - \phi) r} } \\ \mathrm{Kurtosis} = \frac{6}{\phi} + \frac{ \phi^2 }{ (1 - \phi) r } \end{aligned}$