はじめに
R言語で三角関数の定義や公式を可視化しようシリーズです。
この記事では、2つの角の和に関する三角関数の加法定理のグラフを作成します。
【他の記事一覧】
【この記事の内容】
三角関数の加法定の可視化：その1(2角の和)
三角関数における加法定理(2つの角の和のサインとコサイン)をグラフで可視化します。
利用するパッケージを読み込みます。
# 利用パッケージ library(tidyverse) library(gganimate)
この記事では、基本的にパッケージ名::関数名()の記法を使うので、パッケージを読み込む必要はありません。ただし、作図コードがごちゃごちゃしないようにパッケージ名を省略しているためggplot2を読み込む必要があります。
また、ネイティブパイプ演算子|>を使っています。magrittrパッケージのパイプ演算子%>%に置き換えても処理できますが、その場合はmagrittrも読み込む必要があります。
加法定理の公式
三角関数の加法定理として、次の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\sin(\alpha + \beta)
&= \sin \alpha \cos \beta
+ \cos \alpha \sin \beta
\\
\sin(\alpha - \beta)
&= \sin \alpha \cos \beta
- \cos \alpha \sin \beta
\\
\cos(\alpha + \beta)
&= \cos \alpha \cos \beta
- \sin \alpha \sin \beta
\\
\cos(\alpha - \beta)
&= \cos \alpha \cos \beta
+ \sin \alpha \sin \beta
\\
\tan(\alpha + \beta)
&= \frac{
\tan \alpha + \tan \beta
}{
1 - \tan \alpha \tan \beta
}
\\
\tan(\alpha - \beta)
&= \frac{
\tan \alpha - \tan \beta
}{
1 + \tan \alpha \tan \beta
}
\end{aligned}
$$
この記事では、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha + \beta)$の式に関して可視化して確認します。
加法定理の可視化
三角関数の加法定理($\sin(\alpha + \beta), \cos(\alpha + \beta)$)をグラフで確認します。
グラフの作成
まずは、角度を固定したグラフを作成します。
角度を指定して、ラジアンに変換します。
# 角度を指定 a <- 30 b <- 45 # ラジアンに変換 alpha <- a / 180 * pi beta <- b / 180 * pi alpha; beta
## [1] 0.5235988 ## [1] 0.7853982
度数法における角度$0^{\circ} \leq a \leq 90^{\circ}$、$0^{\circ} \leq b \leq 90^{\circ}$、$a + b \leq 90^{\circ}$を指定します。
指定した角度を、弧度法におけるラジアン$\alpha = a \frac{2 \pi}{360}$、$\beta = b \frac{2 \pi}{360}$に変換します。$\pi$は円周率でpiで扱えます。
・コード(クリックで展開)
(第1象限における)単位円を描画するためのデータフレームを作成します。
# 単位円(の4分の1)の描画用 sector_df <- tibble::tibble( c = seq(from = 0, to = 90, by = 1), theta = c / 180 * pi, x = cos(theta), y = sin(theta) ) sector_df
## # A tibble: 91 × 4 ## c theta x y ## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 0 0 1 0 ## 2 1 0.0175 1.00 0.0175 ## 3 2 0.0349 0.999 0.0349 ## 4 3 0.0524 0.999 0.0523 ## 5 4 0.0698 0.998 0.0698 ## 6 5 0.0873 0.996 0.0872 ## 7 6 0.105 0.995 0.105 ## 8 7 0.122 0.993 0.122 ## 9 8 0.140 0.990 0.139 ## 10 9 0.157 0.988 0.156 ## # … with 81 more rows
作図用の角度$0^{\circ} \leq c \leq 90^{\circ}$を作成して、ラジアン$\theta = c \frac{2 \pi}{360}$に変換します。
x軸の値は$x = \cos \theta$、y軸の値は$y = \sin \theta$で単位円を描くための点の座標を計算します。
単位正方形を描画するためのデータフレームを作成します。
# 単位正方形の描画用 square_df <- tibble::tibble( x = c(0, 0, 1, 1, 0), y = c(0, 1, 1, 0, 0) ) square_df
## # A tibble: 5 × 2 ## x y ## <dbl> <dbl> ## 1 0 0 ## 2 0 1 ## 3 1 1 ## 4 1 0 ## 5 0 0
単位正方形の頂点の座標を格納します。
加法定理を構成する辺(線分)を描画するためのデータフレームを作成します。
# 因子レベルを指定 fnc_level <- c( "1", "sin(a)", "cos(a)", "sin(a) cos(b)", "cos(a) sin(b)", "sin(a) sin(b)", "cos(a) cos(b)", "sin(a+b)", "cos(a+b)" ) # 辺の描画用 segment_df <- tibble::tribble( ~fnc, ~type, ~x_from, ~y_from, ~x_to, ~y_to, "1", "main", 0, 0, cos(alpha+beta), sin(alpha+beta), "sin(a)", "main", cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*sin(beta), cos(alpha+beta), sin(alpha+beta), "cos(a)", "main", 0, 0, cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*sin(beta), "cos(a)", "sub", cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*sin(beta), cos(beta), sin(beta), "sin(a) cos(b)", "main", cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*sin(beta), cos(alpha)*cos(beta), sin(alpha+beta), "cos(a) sin(b)", "main", cos(alpha)*cos(beta), 0, cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*sin(beta), "sin(a) sin(b)", "main", cos(alpha+beta), sin(alpha+beta), cos(alpha)*cos(beta), sin(alpha+beta), "cos(a) cos(b)", "main", 0, 0, cos(alpha)*cos(beta), 0, "sin(a+b)", "target", cos(alpha+beta), 0, cos(alpha+beta), sin(alpha+beta), "cos(a+b)", "target", 0, 0, cos(alpha+beta), 0 ) |> # 座標を格納 dplyr::mutate( fnc = factor(fnc, levels = fnc_level) # 因子レベルを設定 ) |> dplyr::arrange(fnc) # 並びを統一 segment_df
## # A tibble: 10 × 6 ## fnc type x_from y_from x_to y_to ## <fct> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> ## 1 1 main 0 0 0.259 0.966 ## 2 sin(a) main 0.612 0.612 0.259 0.966 ## 3 cos(a) main 0 0 0.612 0.612 ## 4 cos(a) sub 0.612 0.612 0.707 0.707 ## 5 sin(a) cos(b) main 0.612 0.612 0.612 0.966 ## 6 cos(a) sin(b) main 0.612 0 0.612 0.612 ## 7 sin(a) sin(b) main 0.259 0.966 0.612 0.966 ## 8 cos(a) cos(b) main 0 0 0.612 0 ## 9 sin(a+b) target 0.259 0 0.259 0.966 ## 10 cos(a+b) target 0 0 0.259 0
各辺の値を格納しやすいように、tribble()を使ってデータフレームを作成します。線分の始点の座標をx_from, y_from列、終点の座標をx_to, y_to列とします。次の「関数名ラベル」の関数の値は線分の長さであり、座標の値とは異なります。
各関数(辺)を区別するためのfnc列、「加法定理を示す線("target)」・「加法定理を求めるための線("main)」・「補助線("sub)」を区別するためのtype列を作成します。fnc列は色分け、type列は線の装飾に使います。
線の描画順(重なり順)や色付け順は、fnc列の因子レベルに依存するので、fnc_levelとして指定しておきます。
線分ごとに関数名ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数名ラベルの描画用 segment_label_df <- segment_df |> dplyr::filter(type %in% c("main", "target")) |> # 補助線を除去 dplyr::group_by(fnc) |> # 中点の計算用 dplyr::mutate( # 線分の中点に配置 x = median(c(x_from, x_to)), y = median(c(y_from, y_to)) ) |> dplyr::ungroup() |> dplyr::select(fnc, x, y) |> tibble::add_column( # ラベルが重ならないように調整 h = c(1.0, 1.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5), v = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.0, 0.0, 0.5, 1.0), # ラベルを作成 fnc_label = c( "1", paste0("sin~alpha==", round(sin(alpha), digits = 2)), paste0("cos~alpha==", round(cos(alpha), digits = 2)), paste0("sin~alpha ~ cos~beta==", round(sin(alpha)*cos(beta), digits = 2)), paste0("cos~alpha ~ sin~beta==", round(cos(alpha)*sin(beta), digits = 2)), paste0("sin~alpha ~ sin~beta==", round(sin(alpha)*sin(beta), digits = 2)), paste0("cos~alpha ~ cos~beta==", round(cos(alpha)*cos(beta), digits = 2)), paste0("sin~(alpha+beta)==", round(sin(alpha+beta), digits = 2)), paste0("cos~(alpha+beta)==", round(cos(alpha+beta), digits = 2)) ) ) segment_label_df
## # A tibble: 9 × 6 ## fnc x y h v fnc_label ## <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 1 0.129 0.483 1 0.5 1 ## 2 sin(a) 0.436 0.789 1 0.5 sin~alpha==0.5 ## 3 cos(a) 0.306 0.306 0.5 0.5 cos~alpha==0.87 ## 4 sin(a) cos(b) 0.612 0.789 0 0.5 sin~alpha ~ cos~beta==0.35 ## 5 cos(a) sin(b) 0.612 0.306 0 0.5 cos~alpha ~ sin~beta==0.61 ## 6 sin(a) sin(b) 0.436 0.966 0.5 0 sin~alpha ~ sin~beta==0.35 ## 7 cos(a) cos(b) 0.306 0 0.5 0 cos~alpha ~ cos~beta==0.61 ## 8 sin(a+b) 0.259 0.483 0.5 0.5 sin~(alpha+beta)==0.97 ## 9 cos(a+b) 0.129 0 0.5 1 cos~(alpha+beta)==0.26
補助線を取り除いて、各線分の中点にラベルを配置することにします。
辺ごとに(fnc列でグループ化して)、x軸の値はx_from, x_to列、y軸の値はy_from, y_to列の中央値を計算します。
ラベルとして数式を表示するにはexpression()の記法を使います。
直角を示すためのデータフレームを作成します。
# 直角マークの描画用 d <- 0.05 right_angle_df <- tibble::tibble( x = c( cos(alpha+beta), cos(alpha+beta)-d, cos(alpha+beta)-d, cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*cos(beta)-d, cos(alpha)*cos(beta)-d, cos(alpha)*cos(beta)-d, cos(alpha)*cos(beta)-d, cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*cos(beta) + c(cos(beta+0.5*pi)*d, cos(beta+0.5*pi)*d+cos(beta+pi)*d, cos(beta+pi)*d) ), y = c( d, d, 0, d, d, 0, sin(alpha+beta), sin(alpha+beta)-d, sin(alpha+beta)-d, cos(alpha)*sin(beta) + c(sin(beta+0.5*pi)*d, sin(beta+0.5*pi)*d+sin(beta+pi)*d, sin(beta+pi)*d) ), group = rep(1:4, each = 3) # 角ラベル ) right_angle_df
## # A tibble: 12 × 3 ## x y group ## <dbl> <dbl> <int> ## 1 0.259 0.05 1 ## 2 0.209 0.05 1 ## 3 0.209 0 1 ## 4 0.612 0.05 2 ## 5 0.562 0.05 2 ## 6 0.562 0 2 ## 7 0.562 0.966 3 ## 8 0.562 0.916 3 ## 9 0.612 0.916 3 ## 10 0.577 0.648 4 ## 11 0.542 0.612 4 ## 12 0.577 0.577 4
直角マークの頂点の座標を計算して格納します。
鋭角を示すためのデータフレームを作成します。
# 角度マーク(扇形)の描画用 d <- 0.09 angle_df <- tibble::tibble( # 原点を中心としたときの角度 c = c( seq(from = 0, to = b, by = 1), seq(from = b, to = a+b, by = 1), seq(from = 90, to = 90+b, by = 1), seq(from = 180+b, to = 270, by = 1) ), # 角度 theta = c / 180 * pi, # ラジアン group = c( rep("b1", times = length(seq(from = 0, to = b, by = 1))), rep("a", times = length(seq(from = b, to = a+b, by = 1))), rep("b2", times = length(seq(from = 90, to = 90+b, by = 1))), rep("90-b", times = length(seq(from = 180+b, to = 270, by = 1))) ) |> # 角ラベル factor(levels = c("b1", "a", "b2", "90-b")), # 因子レベルを設定 # 原点を中心としたときの座標 x = cos(theta) * d, y = sin(theta) * d ) |> dplyr::mutate( # 角ごとに配置 x = x + c( rep(0, times = length(seq(from = 0, to = b, by = 1))), rep(0, times = length(seq(from = b, to = a+b, by = 1))), rep(cos(alpha)*cos(beta), times = length(seq(from = 90, to = 90+b, by = 1))), rep(cos(alpha)*cos(beta), times = length(seq(from = 180+b, to = 270, by = 1))) ), y = y + c( rep(0, times = length(seq(from = 0, to = b, by = 1))), rep(0, times = length(seq(from = b, to = a+b, by = 1))), rep(cos(alpha)*sin(beta), times = length(seq(from = 90, to = 90+b, by = 1))), rep(cos(alpha)*sin(beta), times = length(seq(from = 180+b, to = 270, by = 1))) ) ) angle_df
## # A tibble: 169 × 5 ## c theta group x y ## <dbl> <dbl> <fct> <dbl> <dbl> ## 1 0 0 b1 0.09 0 ## 2 1 0.0175 b1 0.0900 0.00157 ## 3 2 0.0349 b1 0.0899 0.00314 ## 4 3 0.0524 b1 0.0899 0.00471 ## 5 4 0.0698 b1 0.0898 0.00628 ## 6 5 0.0873 b1 0.0897 0.00784 ## 7 6 0.105 b1 0.0895 0.00941 ## 8 7 0.122 b1 0.0893 0.0110 ## 9 8 0.140 b1 0.0891 0.0125 ## 10 9 0.157 b1 0.0889 0.0141 ## # … with 159 more rows
4つの扇形(角度マーク)を描画するための点の角度$0^{\circ} \leq c \leq a + b$、$90^{\circ} \leq c \leq 90^{\circ} + b$、$180^{\circ} + b \leq c \leq 270^{\circ}$を作成して、それぞれラジアン$\theta = c \frac{2 \pi}{360}$に変換して、$x = \cos \theta, y = \sin \theta$で原点を頂点(円の中心)としたときの座標に変換し、角ごとに頂点の座標を加えてプロット位置を変更します。
dはサイズ調整用の値です。
角度ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# 角度ラベルの描画用 d <- 0.11 angle_label_df <- angle_df |> dplyr::group_by(group) |> # 中点の計算用 dplyr::summarise( # 角度の中点に配置 c = median(c), .groups = "drop" ) |> dplyr::mutate( # 原点を中心としたときの角度 theta = c / 180 * pi, label = c("beta", "alpha", "beta", "90*degree-beta"), # 角ラベル # 原点を中心としたときの座標 x = cos(theta) * d, y = sin(theta) * d, # 角ごとに配置 x = x + c(0, 0, cos(alpha)*cos(beta), cos(alpha)*cos(beta)), y = y + c(0, 0, cos(alpha)*sin(beta), cos(alpha)*sin(beta)) ) angle_label_df
## # A tibble: 4 × 6 ## group c theta label x y ## <fct> <dbl> <dbl> <chr> <dbl> <dbl> ## 1 b1 22.5 0.393 beta 0.102 0.0421 ## 2 a 60 1.05 alpha 0.055 0.0953 ## 3 b2 112. 1.96 beta 0.570 0.714 ## 4 90-b 248. 4.32 90*degree-beta 0.570 0.511
角ごとに角度の中点に配置することにします。
角ごとに(group列でグループ化して)、summarise()を使って角度の中央値を計算して、それぞれ座標を計算します。
加法定理の可視化グラフを作成します。
# タイトル用のラベルを作成 title_label <- paste0( "atop(", "sin~(alpha+beta) == sin~alpha ~ cos~beta + cos~alpha ~ sin~beta", ", cos~(alpha+beta) == cos~alpha ~ cos~beta - sin~alpha ~ sin~beta", ")" ) ver_label <- paste0( "list(", "a==", a, "*degree", ", b==", b, "*degree", ", alpha==", round(a/180, 2), "*pi, beta==", round(b/180, 2), "*pi", ")" ) # 加法定理の可視化 ggplot() + geom_path(data = sector_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 単位円 geom_path(data = square_df, mapping = aes(x = x, y = y), linetype = "dotted") + # 単位正方形 geom_path(data = right_angle_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = group)) + # 直角マーク geom_path(data = angle_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = group)) + # 角度マーク geom_text(data = angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = label), parse = TRUE) + # 角度ラベル geom_segment(data = segment_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type, linetype = type)) + # 関数の線分 geom_label(data = segment_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE, alpha = 0.5, size = 4) + # 関数ラベル scale_size_manual(breaks = c("main", "sub", "target"), values = c(1, 1, 1.5)) + # 目的の線を強調 scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub", "target"), values = c("solid", "dotted", "dashed")) + # 目的の線を強調 theme(legend.position = "none") + # 凡例を非表示 coord_fixed(ratio = 1, clip = "off") + # アスペクト比 labs(title = parse(text = title_label), subtitle = parse(text = ver_label), x = "x", y = "y")
単位円(扇形の線)をgeom_path()、線分をgeom_segment()、ラベル(文字列)をgeom_text()またはgeom_label()で描画します。ラベルとして数式を描画する場合は、parse引数をTRUEにします。
2つの破線とそれぞれ平行な実線を比較すると、次の関係が成り立つのが分かります。
$$
\begin{aligned}
\sin(\alpha + \beta)
&= \sin \alpha \cos \beta
+ \cos \alpha \sin \beta
\\
\cos(\alpha + \beta)
&= \cos \alpha \cos \beta
- \sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}
$$
アニメーションの作成
次は、角度と加法定理の関係をアニメーションで確認します。
フレームごとに変化させる角度を指定して、ラジアンに変換します。
# フレーム数を指定 frame_num <- 61 # 角度として利用する値を指定:(a,αを変化させる場合) a_vals <- seq(from = 0, to = 60, length.out = frame_num) b_vals <- rep(30, times = frame_num) # 角度として利用する値を指定:(b,βを変化させる場合) #a_vals <- rep(30, times = frame_num) #b_vals <- seq(from = 0, to = 60, length.out = frame_num) # ラジアンに変換 alpha_vals <- a_vals / 180 * pi beta_vals <- b_vals / 180 * pi head(a_vals); head(b_vals); head(alpha_vals); head(beta_vals)
## [1] 0 1 2 3 4 5 ## [1] 30 30 30 30 30 30 ## [1] 0.00000000 0.01745329 0.03490659 0.05235988 0.06981317 0.08726646 ## [1] 0.5235988 0.5235988 0.5235988 0.5235988 0.5235988 0.5235988
フレーム数frame_numを指定してframe_num個の角度$a, b$を作成してa_vals, b_valsとします。$a$を変化させる場合は、a_valsを一定間隔の値にして、b_valsの値を固定します。$b$を変化させる場合は、a_valsの値を固定して、b_valsを一定間隔の値にします。
作成した角度をそれぞれラジアン$\alpha, \beta$に変換してalpha_vals, beta_valsとします。
・コード(クリックで展開)
辺を描画するためのデータフレームを作成します。
# 辺の描画用 anim_segment_df <- tidyr::expand_grid( tibble::tibble( frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号 alpha = alpha_vals, beta = beta_vals ), tibble::tibble( fnc = c( "1", "sin(a)", "cos(a)", "cos(a)", "sin(a) cos(b)", "sin(a) cos(b)", "cos(a) sin(b)", "cos(a) sin(b)", "sin(a) sin(b)", "cos(a) cos(b)", "sin(a+b)", "cos(a+b)" ) |> factor(levels = fnc_level), # 因子レベルを設定 type = c( "main", "main", "main", "sub", "main", "sub", "main", "sub", "main", "main", "target", "target" ) ) ) |> # フレームごとに受け皿(行)を複製 dplyr::group_by(frame_i) |> dplyr::mutate( # 座標を計算 x_from = c( 0, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), 0, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha)+unique(beta)), 0, cos(unique(alpha)+unique(beta)), 0 ), y_from = c( 0, cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), 0, cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), sin(unique(alpha)+unique(beta)), 0, 0, sin(unique(alpha)+unique(beta)), 0, 0, 0 ), x_to = c( cos(unique(alpha)+unique(beta)), cos(unique(alpha)+unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha)+unique(beta)), cos(unique(alpha)+unique(beta)) ), y_to = c( sin(unique(alpha)+unique(beta)), sin(unique(alpha)+unique(beta)), cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), sin(unique(beta)), sin(unique(alpha)+unique(beta)), 1.1, cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), -0.1, sin(unique(alpha)+unique(beta)), 0, sin(unique(alpha)+unique(beta)), 0 ), # 変数ラベルを作成 frame_label = paste0( "a=", a_vals[unique(frame_i)], "°, b=", b_vals[unique(frame_i)], "°", ", α=", round(a_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π, β=", round(b_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π" ) |> factor( levels = paste0( "a=", a_vals, "°, b=", b_vals, "°", ", α=", round(a_vals/180, 2), "π, β=", round(b_vals/180, 2), "π" ) ) # フレーム順序を設定 ) |> dplyr::ungroup() |> dplyr::arrange(frame_i, fnc) # 並びを統一 anim_segment_df
## # A tibble: 732 × 10 ## frame_i alpha beta fnc type x_from y_from x_to y_to frame_label ## <int> <dbl> <dbl> <fct> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <fct> ## 1 1 0 0.524 1 main 0 0 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 2 1 0 0.524 sin(a) main 0.866 0.5 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 3 1 0 0.524 cos(a) main 0 0 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 4 1 0 0.524 cos(a) sub 0.866 0.5 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 5 1 0 0.524 sin(a) cos(b) main 0.866 0.5 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 6 1 0 0.524 sin(a) cos(b) sub 0.866 0.5 0.866 1.1 a=0°, b=3… ## 7 1 0 0.524 cos(a) sin(b) main 0.866 0 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 8 1 0 0.524 cos(a) sin(b) sub 0.866 0 0.866 -0.1 a=0°, b=3… ## 9 1 0 0.524 sin(a) sin(b) main 0.866 0.5 0.866 0.5 a=0°, b=3… ## 10 1 0 0.524 cos(a) cos(b) main 0 0 0.866 0 a=0°, b=3… ## # … with 722 more rows
フレーム番号と対応する角度(ラジアン)を格納したデータフレームと、関数名(色分け用)と線分のタイプ(線の装飾用)を格納したデータフレームの、全ての行の組み合わせをexpand_grid()で作成することで、フレームごとにラベル(値の受け皿となる行)を複製します。
フレームごとに(frame_i列でグループ化して)、線分の始点と終点の座標を計算します。処理の仕方は異なりますが「グラフの作成」のときと同様に計算します。ただし、角度列alpha, betaは行数分の値を持つので、unique()で1つの値にして計算に使います。
また、フレーム切替用のラベル列frame_labelを作成します。因子のレベルがフレームの順番に対応します。
関数名ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# 関数名ラベルの描画用 anim_segment_label_df <- anim_segment_df |> dplyr::filter(type %in% c("main", "target")) |> # 補助線を除去 dplyr::group_by(frame_i, fnc) |> # 中点の計算用 dplyr::mutate( # 線分の中点に配置 x = median(c(x_from, x_to)), y = median(c(y_from, y_to)) ) |> dplyr::select(frame_i, frame_label, fnc, alpha, beta, x, y) |> dplyr::group_by(frame_i) |> dplyr::mutate( # ラベルが重ならないように調整 h = c(1.0, 1.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5), v = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.0, 0.0, 0.5, 1.0), # ラベルを作成 fnc_label = c( "1", paste0("sin~alpha==", round(sin(unique(alpha)), digits = 2)), paste0("cos~alpha==", round(cos(unique(alpha)), digits = 2)), paste0("sin~alpha ~ cos~beta==", round(sin(unique(alpha))*cos(unique(beta)), digits = 2)), paste0("cos~alpha ~ sin~beta==", round(cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), digits = 2)), paste0("sin~alpha ~ sin~beta==", round(sin(unique(alpha))*sin(unique(beta)), digits = 2)), paste0("cos~alpha ~ cos~beta==", round(cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), digits = 2)), paste0("sin~(alpha+beta)==", round(sin(unique(alpha)+unique(beta)), digits = 2)), paste0("cos~(alpha+beta)==", round(cos(unique(alpha)+unique(beta)), digits = 2)) ) ) |> dplyr::ungroup() |> dplyr::arrange(frame_i, fnc) # 並びを統一 anim_segment_label_df
## frame_i frame_label fnc alpha beta x y h v fnc_label ## <int> <fct> <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 1 a=0°, b=30°, … 1 0 0.524 0.433 0.25 1 0.5 1 ## 2 1 a=0°, b=30°, … sin(a) 0 0.524 0.866 0.5 1 0.5 sin~alph… ## 3 1 a=0°, b=30°, … cos(a) 0 0.524 0.433 0.25 0.5 0.5 cos~alph… ## 4 1 a=0°, b=30°, … sin(a)… 0 0.524 0.866 0.5 0 0.5 sin~alph… ## 5 1 a=0°, b=30°, … cos(a)… 0 0.524 0.866 0.25 0 0.5 cos~alph… ## 6 1 a=0°, b=30°, … sin(a)… 0 0.524 0.866 0.5 0.5 0 sin~alph… ## 7 1 a=0°, b=30°, … cos(a)… 0 0.524 0.433 0 0.5 0 cos~alph… ## 8 1 a=0°, b=30°, … sin(a+… 0 0.524 0.866 0.25 0.5 0.5 sin~(alp… ## 9 1 a=0°, b=30°, … cos(a+… 0 0.524 0.433 0 0.5 1 cos~(alp… ## 10 2 a=1°, b=30°, … 1 0.0175 0.524 0.429 0.258 1 0.5 1 ## # … with 539 more rows
補助線を取り除いて、フレームと辺ごとに(frame_i, fnc列でグループ化して)、「グラフの作成」のときと同様に処理します。
直角を示すためのデータフレームを作成します。
# 直角マークの描画用 d <- 0.05 anim_right_angle_df <- tidyr::expand_grid( tibble::tibble( frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号 alpha = alpha_vals, beta = beta_vals ), group = rep(1:4, each = 3) # 角ラベル ) |> dplyr::group_by(frame_i) |> # 値の作成用 dplyr::mutate( x = c( cos(unique(alpha)+unique(beta)), cos(unique(alpha)+unique(beta))-d, cos(unique(alpha)+unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)) + c(cos(unique(beta)+0.5*pi)*d, cos(unique(beta)+0.5*pi)*d+cos(unique(beta)+pi)*d, cos(unique(beta)+pi)*d) ), y = c( d, d, 0, d, d, 0, sin(unique(alpha)+unique(beta)), sin(unique(alpha)+unique(beta))-d, sin(unique(alpha)+unique(beta))-d, cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)) + c(sin(unique(beta)+0.5*pi)*d, sin(unique(beta)+0.5*pi)*d+sin(unique(beta)+pi)*d, sin(unique(beta)+pi)*d) ), # 変数ラベルを作成 frame_label = paste0( "a=", a_vals[unique(frame_i)], "°, b=", b_vals[unique(frame_i)], "°", ", α=", round(a_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π, β=", round(b_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π" ) |> factor( levels = paste0( "a=", a_vals, "°, b=", b_vals, "°", ", α=", round(a_vals/180, 2), "π, β=", round(b_vals/180, 2), "π" ) ) # フレーム順序を設定 ) |> dplyr::ungroup() anim_right_angle_df
## # A tibble: 732 × 7 ## frame_i alpha beta group x y frame_label ## <int> <dbl> <dbl> <int> <dbl> <dbl> <fct> ## 1 1 0 0.524 1 0.866 0.05 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 2 1 0 0.524 1 0.816 0.05 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 3 1 0 0.524 1 0.816 0 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 4 1 0 0.524 2 0.866 0.05 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 5 1 0 0.524 2 0.816 0.05 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 6 1 0 0.524 2 0.816 0 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 7 1 0 0.524 3 0.816 0.5 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 8 1 0 0.524 3 0.816 0.45 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 9 1 0 0.524 3 0.866 0.45 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## 10 1 0 0.524 4 0.841 0.543 a=0°, b=30°, α=0π, β=0.17π ## # … with 722 more rows
フレームごとに角度に応じて、直角マークの頂点の座標を計算します。
先に作成したフレーム切り替え用のラベル列と一致するようにラベルを作成します。
鋭角を示すためのデータフレームを作成します。
# 角度マーク(扇形)の描画用 d <- 0.09 anim_angle_df <- tibble::tibble( frame_i = 1:frame_num, # フレーム番号 a = a_vals, b = b_vals, alpha = alpha_vals, beta = beta_vals ) |> dplyr::group_by(frame_i, a, b, alpha, beta) |> # 値の作成用 dplyr::summarise( # 原点を中心としたときの角度 c = c( seq(from = 0, to = b, by = 1), seq(from = b, to = a+b, by = 1), seq(from = 90, to = 90+b, by = 1), seq(from = 180+b, to = 270, by = 1) ), .groups = "drop" ) |> dplyr::group_by(frame_i) |> dplyr::mutate( # 原点を中心としたときの角度 theta = c / 180 * pi, group = c( rep("b1", times = length(seq(from = 0, to = unique(b), by = 1))), rep("a", times = length(seq(from = unique(b), to = unique(a)+unique(b), by = 1))), rep("b2", times = length(seq(from = 90, to = 90+unique(b), by = 1))), rep("90-b", times = length(seq(from = 180+unique(b), to = 270, by = 1))) ) |> # 角ラベル factor(levels = c("b1", "a", "b2", "90-b")), # 因子レベルを設定 # 原点を中心としたときの座標 x = cos(theta) * d, y = sin(theta) * d, # 角ごとに配置 x = x + c( rep(0, times = length(seq(from = 0, to = unique(b), by = 1))), rep(0, times = length(seq(from = unique(b), to = unique(a)+unique(b), by = 1))), rep(cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), times = length(seq(from = 90, to = 90+unique(b), by = 1))), rep(cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), times = length(seq(from = 180+unique(b), to = 270, by = 1))) ), y = y + c( rep(0, times = length(seq(from = 0, to = unique(b), by = 1))), rep(0, times = length(seq(from = unique(b), to = unique(a)+unique(b), by = 1))), rep(cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), times = length(seq(from = 90, to = 90+unique(b), by = 1))), rep(cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), times = length(seq(from = 180+unique(b), to = 270, by = 1))) ), # 変数ラベルを作成 frame_label = paste0( "a=", unique(a), "°, b=", unique(b), "°", ", α=", round(a_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π, β=", round(b_vals[unique(frame_i)]/180, 2), "π" ) |> factor( levels = paste0( "a=", a_vals, "°, b=", b_vals, "°", ", α=", round(a_vals/180, 2), "π, β=", round(b_vals/180, 2), "π" ) ) # フレーム順序を設定 ) |> dplyr::ungroup() |> dplyr::arrange(frame_i, group) # 並びを統一 anim_angle_df
## # A tibble: 9,394 × 11 ## frame_i a b alpha beta c theta group x y frame_label ## <int> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <fct> <dbl> <dbl> <fct> ## 1 1 0 30 0 0.524 0 0 b1 0.09 0 a=0°, b=3… ## 2 1 0 30 0 0.524 1 0.0175 b1 0.0900 0.00157 a=0°, b=3… ## 3 1 0 30 0 0.524 2 0.0349 b1 0.0899 0.00314 a=0°, b=3… ## 4 1 0 30 0 0.524 3 0.0524 b1 0.0899 0.00471 a=0°, b=3… ## 5 1 0 30 0 0.524 4 0.0698 b1 0.0898 0.00628 a=0°, b=3… ## 6 1 0 30 0 0.524 5 0.0873 b1 0.0897 0.00784 a=0°, b=3… ## 7 1 0 30 0 0.524 6 0.105 b1 0.0895 0.00941 a=0°, b=3… ## 8 1 0 30 0 0.524 7 0.122 b1 0.0893 0.0110 a=0°, b=3… ## 9 1 0 30 0 0.524 8 0.140 b1 0.0891 0.0125 a=0°, b=3… ## 10 1 0 30 0 0.524 9 0.157 b1 0.0889 0.0141 a=0°, b=3… ## # … with 9,384 more rows
フレームごとに角度に応じて、角度マークを描画するための点の角度をsummarise()で作成して、それぞれ座標を計算します。
角度ラベルを描画するためのデータフレームを作成します。
# 角度ラベルの描画用 d <- 0.11 anim_angle_label_df <- anim_angle_df |> dplyr::group_by(frame_i, frame_label, alpha, beta, group) |> # 中点の計算用 dplyr::summarise( # 角度の中点に配置 c = median(c), .groups = "drop" ) |> dplyr::mutate( # 原点を中心としたときの座標 theta = c / 180 * pi, x = cos(theta) * d, y = sin(theta) * d ) |> dplyr::group_by(frame_i) |> dplyr::mutate( # 角ごとに配置 x = x + c(0, 0, cos(unique(alpha))*cos(unique(beta)), cos(unique(alpha))*cos(unique(beta))), y = y + c(0, 0, cos(unique(alpha))*sin(unique(beta)), cos(unique(alpha))*sin(unique(beta))), label = c("beta", "alpha", "beta", "90*degree-beta") # 角ラベル ) |> dplyr::ungroup() anim_angle_label_df
## # A tibble: 244 × 10 ## frame_i frame_label alpha beta group c theta x y label ## <int> <fct> <dbl> <dbl> <fct> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> ## 1 1 a=0°, b=30°, α… 0 0.524 b1 15 0.262 0.106 0.0285 beta ## 2 1 a=0°, b=30°, α… 0 0.524 a 30 0.524 0.0953 0.055 alpha ## 3 1 a=0°, b=30°, α… 0 0.524 b2 105 1.83 0.838 0.606 beta ## 4 1 a=0°, b=30°, α… 0 0.524 90-b 240 4.19 0.811 0.405 90*degr… ## 5 2 a=1°, b=30°, α… 0.0175 0.524 b1 15 0.262 0.106 0.0285 beta ## 6 2 a=1°, b=30°, α… 0.0175 0.524 a 30.5 0.532 0.0948 0.0558 alpha ## 7 2 a=1°, b=30°, α… 0.0175 0.524 b2 105 1.83 0.837 0.606 beta ## 8 2 a=1°, b=30°, α… 0.0175 0.524 90-b 240 4.19 0.811 0.405 90*degr… ## 9 3 a=2°, b=30°, α… 0.0349 0.524 b1 15 0.262 0.106 0.0285 beta ## 10 3 a=2°, b=30°, α… 0.0349 0.524 a 31 0.541 0.0943 0.0567 alpha ## # … with 234 more rows
フレームと角ごとに(frame_i, group列と中央値の計算後に利用する列でグループ化して)、summaraise()で角度の中点を計算して、それぞれ座標を計算します。
加法定理の可視化アニメーションを作成します。
# 加法定理の可視化アニメーションの作図 anim <- ggplot() + geom_path(data = sector_df, mapping = aes(x = x, y = y), size = 1) + # 単位円 geom_path(data = square_df, mapping = aes(x = x, y = y), linetype = "dotted") + # 単位正方形 geom_path(data = anim_right_angle_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = group)) + # 直角マーク geom_path(data = anim_angle_df, mapping = aes(x = x, y = y, group = group)) + # 角度マーク geom_text(data = anim_angle_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = label), parse = TRUE) + # 角度ラベル geom_segment(data = anim_segment_df, mapping = aes(x = x_from, y = y_from, xend = x_to, yend = y_to, color = fnc, size = type, linetype = type)) + # 関数の線分 geom_label(data = anim_segment_label_df, mapping = aes(x = x, y = y, label = fnc_label, color = fnc, hjust = h, vjust = v), parse = TRUE, alpha = 0.5, size = 4) + # 関数ラベル gganimate::transition_manual(frame = frame_label) + scale_size_manual(breaks = c("main", "sub", "target"), values = c(1, 1, 1.5)) + # 目的の線を強調 scale_linetype_manual(breaks = c("main", "sub", "target"), values = c("solid", "dotted", "dashed")) + # 目的の線を強調 theme(legend.position = "none") + # 凡例を非表示 coord_fixed(ratio = 1, clip = "off", xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1)) + # アスペクト比 labs(title = parse(text = title_label), subtitle = "{current_frame}") # gif画像を作成 gganimate::animate(plot = anim, nframe = frame_num, fps = 10, width = 600, height = 600)
transition_manual()にフレームの順序を表す列を指定します。この例では、因子型のラベルのレベルの順に描画されます。
animate()のnframes引数にフレーム数、fps引数に1秒当たりのフレーム数を指定します。fps引数の値が大きいほどフレームが早く切り替わります。ただし、値が大きいと意図通りに動作しません。
$\alpha + \beta$が$0^{\circ}$から$90^{\circ}$に近付くほど、$\sin(\alpha + \beta)$が0から1に、$\cos(\alpha + \beta)$が1から0に近付くのを確認できます。
この記事では、2角の和について可視化しました。次の記事では、2角の差について可視化します。
参考書籍
- 『三角関数(改定第3版)』(Newton別冊)ニュートンプレス,2022年.
おわりに
とりあえず本の図を再現したくなる今日この頃です。この図だと2つの式しか説明できないことに途中で気付きました。他の式の図もあるもんだと思って調べてみたら、あんまりないんですね。2つだけ書いてもなぁでもお蔵入りもなぁと悩んだ結果、自分で図を考えてみました。それが上手くいく予定なので、こっちをアップしました。
数式での導出もしてみたいのですが、それはまたの機会に。
【次の内容】
