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1次元スチューデントのt分布の定義式の確認

はじめに

 機械学習で登場する確率分布について色々な角度から理解したいシリーズです。

 この記事では、1次元(一変量)スチューデントのt分布の定義を確認します。

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【この記事の内容】

1次元スチューデントのt分布の定義式の確認

 1次元スチューデントのt分布(Student's t-Distribution)の定義を確認します。

定義式

 標準化されたスチューデントのt分布と一般化された(標準化されていない)スチューデントのt分布の定義式を確認します。(標準化・一般化という表現は雰囲気です。正しい言い方があれば教えてください。)

標準化t分布

 標準化t分布は、自由度$\nu$を用いて、次の式で定義されます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu) = \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \sqrt{\pi \nu} \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( 1 + \frac{x^2}{\nu} \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{1} $$

 ここで、$\pi$は円周率、$\Gamma(x)$はガンマ関数です。
 $x$は実数をとり、$\nu$は正の整数を満たす必要があります。

 標準化t分布の対数をとると

$$ \log \mathrm{St}(x | \nu) = \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu + 1}{2}\Bigr) - \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu}{2}\Bigr) - \frac{1}{2} \left\{ \log (\pi \nu) + (\nu + 1) \log \Bigl( 1 + \frac{x^2}{\nu} \Bigr) \right\} $$

となります。対数の性質より$\log x^a = a \log x$、$\log (x y) = \log x + \log y$、$\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$です。また、平方根は2分の1乗$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$です。

一般化t分布

 一般化t分布は、パラメータ$\nu, \mu, \sigma$を用いて、次の式で定義されます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) = \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{1}{\sqrt{\pi \nu} \sigma} \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \Bigl( \frac{x - \mu}{\sigma} \Bigr)^2 \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{2} $$

 または、$\lambda$を用いて、次の式でも定義されます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \lambda) = \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{\lambda}{\pi \nu} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{\lambda (x - \mu)^2}{\nu} \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{3} $$

 ここで、$\nu$は形状パラメータ(自由度)、$\mu$は位置パラメータ、$\sigma$はスケールパラメータ、$\lambda$は逆スケールパラメータです。
 $\mu$は実数、$\sigma$は正の実数、$\lambda$は正の実数を満たす必要があります。また、$\sigma = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$、$\lambda = \frac{1}{\sigma^2}$の関係が成り立ちます。

 一般化t分布の対数をとると、それぞれ

$$ \begin{aligned} \log \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) &= \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu + 1}{2}\Bigr) - \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu}{2}\Bigr) \\ &\quad - \frac{1}{2} \left[ \log (\pi \nu) + 2 \log \sigma + (\nu + 1) \log \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \Bigl( \frac{x - \mu}{\sigma} \Bigr)^2 \right\} \right] \\ \log \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \lambda) &= \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu + 1}{2}\Bigr) - \log \Gamma \Bigl(\frac{\nu}{2}\Bigr) \\ &\quad - \frac{1}{2} \left[ \log (\pi \nu) - \log \lambda + (\nu + 1) \log \left\{ 1 + \frac{\lambda (x - \mu)^2}{\nu} \right\} \right] \end{aligned} $$

となります。

定義式の関係

 3つの定義式の対応関係を導出します。

スケールパラメータと逆スケールパラメータの変換

 まずは、$\sigma$と$\lambda$の関係を考えます。

 $\sigma$の2乗の逆数で$\lambda$が定義されます。

$$ \frac{1}{\sigma^2} = \lambda $$

 両辺の逆数をとり

$$ \sigma^2 = \frac{1}{\lambda} $$

さらに平方根をとると

$$ \sigma = \sqrt{\frac{1}{\lambda}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} $$

$\sigma$と$\lambda$の関係が得られます。

スケールパラメータによる式と逆スケールパラメータによる式の変換

 続いて、$\sigma$を用いた定義式と$\lambda$を用いた定義式の関係を考えます。

 $\sigma$を用いた定義式(2)について、$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$、$a = (a^2)^{\frac{1}{2}}$より、変形します。

$$ \begin{align} \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{1}{\sqrt{\pi \nu} \sigma} \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \Bigl( \frac{x - \mu}{\sigma} \Bigr)^2 \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{2}\\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{1}{\pi \nu \sigma^2} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2} \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \end{align} $$

 $\sigma^2 = \frac{1}{\lambda}$を代入します。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \lambda) = \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{\lambda}{\pi \nu} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{\lambda (x - \mu)^2}{\nu} \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{3} $$

 $\lambda$を用いた定義式(3)が得られました。

一般化された式と標準化された式の関係

 一般化した定義式と標準化した定義式の関係を考えます。

 $\sigma$を用いた定義式(2)に、$\mu = 0$と$\sigma = 1$を代入します。

$$ \begin{align} \mathrm{St}(x | \nu, \mu = 0, \sigma = 1) &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{1}{\sqrt{\pi \nu} \sigma} \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \Bigl( \frac{x - \mu}{\sigma} \Bigr)^2 \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{2}\\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}} \Bigl( 1 + \frac{1}{\nu} x^2 \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \sqrt{\pi \nu} \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( 1 + \frac{x^2}{\nu} \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} = \mathrm{St}(x | \nu) \tag{1} \end{align} $$

 標準化した定義式(1)が得られました。

 同様に、$\lambda$を用いた定義式(3)に、$\mu = 0$と$\lambda = 1$を代入します。

$$ \begin{align} \mathrm{St}(x | \nu, \mu = 0, \lambda = 1) &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{\lambda}{\pi \nu} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{\lambda (x - \mu)^2}{\nu} \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{3}\\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{1}{\pi \nu} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left( 1 + \frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \sqrt{\pi \nu} \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( 1 + \frac{x^2}{\nu} \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} = \mathrm{St}(x | \nu) \tag{1} \end{align} $$

 標準化した定義式(1)が得られました。

標準化の計算

 一般化t分布の計算を標準化t分布の計算で代用することを考えます。確率密度を計算する(プログラム上の)関数が、標準化t分布の場合を想定しています。

 $\sigma$を用いた定義式(2)を考えます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) = \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{1}{\sqrt{\pi \nu} \sigma} \left\{ 1 + \frac{1}{\nu} \Bigl( \frac{x - \mu}{\sigma} \Bigr)^2 \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{2} $$

 $x$に関する項について

$$ y = \frac{x - \mu}{\sigma} $$

とおきます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma} \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \sqrt{\pi \nu} \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( 1 + \frac{y^2}{\nu} \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} $$

 $\frac{1}{\sigma}$以外の項に注目すると、自由度$\nu$の$y$の標準化t分布の式になっています。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma} \mathrm{St}(y | \nu) $$

 自由度$\nu$の$y$の確率密度に$\sigma$の逆数を掛けて計算できます。

 続いて、$\lambda$を用いた定義式(3)を考えます。式を変形します。

$$ \begin{align*} \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \lambda) &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( \frac{\lambda}{\pi \nu} \Bigr)^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{\lambda (x - \mu)^2}{\nu} \right\}^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \tag{3}\\ &= \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{\pi \nu}} \left[ 1 + \frac{\{\sqrt{\lambda} (x - \mu)\}^2}{\nu} \right]^{-\frac{(\nu+1)}{2}} \end{align*} $$

 $x$に関する項について

$$ y = \sqrt{\lambda} (x - \mu) $$

とおきます。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \sigma) = \sqrt{\lambda} \frac{ \Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) }{ \sqrt{\pi \nu} \Gamma(\frac{\nu}{2}) } \Bigl( 1 + \frac{y^2}{\nu} \Bigr)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} $$

 $\sqrt{\lambda}$以外の項に注目すると、自由度$\nu$の$y$の標準化t分布の式になっています。

$$ \mathrm{St}(x | \nu, \mu, \lambda) = \sqrt{\lambda} \mathrm{St}(y | \nu) $$

 自由度$\nu$の$y$の確率密度に$\lambda$の平方根を掛けて計算できます。

統計量の計算式

 t分布の期待値・分散・最頻値は、次の式で計算できます。詳しくはいつか書きます。

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[x] &= \mu \quad (\nu > 1) \\ \mathbb{V}[x] &= \sigma^2 \frac{\nu}{\nu - 2} \quad (\nu > 2) \\ &= \frac{1}{\lambda} \frac{\nu}{\nu - 2} \quad (\nu > 2) \\ \mathrm{mode}[x] &= \mu \end{aligned} $$

 $\nu$が1未満の場合は期待値が定義されません。また、2未満であれば分散が定義されません。
 スケールパラメータ$\sigma$の2乗が分散ではないことが分かります。また、逆スケールパラメータ$\lambda$が、ガウス分布における精度パラメータではないことも分かります。

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参考文献

  • C.M.ビショップ著,元田 浩・他訳『パターン認識と機械学習 上』,丸善出版,2012年.

おわりに

 ガウス分布のベイズ推論で登場して、その際にスケールパラメータのところで微妙に違和感を持ちつつも見なかったことにしていたのを、そろそろやってみようと書きました。ところで、この記事で一般化t分布と呼んでいる方の定義が全然引っ掛からなかったのですが、なぜ?

【次の内容】

つづく